Campo tensor - Tensor field

Em matemática e física , um campo tensorial atribui um tensor a cada ponto de um espaço matemático (normalmente um espaço ou variedade euclidiana ). Os campos tensores são usados ​​em geometria diferencial , geometria algébrica , relatividade geral , na análise de tensões e deformações em materiais e em inúmeras aplicações nas ciências físicas . Como um tensor é uma generalização de um escalar (um número puro que representa um valor, por exemplo, velocidade) e um vetor (um número puro mais uma direção, como a velocidade), um campo tensor é uma generalização de um campo escalar ou campo vetorial que atribui, respectivamente, um escalar ou vetor a cada ponto do espaço.

Muitas estruturas matemáticas chamadas "tensores" são campos tensores. Por exemplo, o tensor de curvatura de Riemann não é um tensor, como o nome indica, mas um campo tensorial : é nomeado após Bernhard Riemann , e associa um tensor a cada ponto de uma variedade Riemanniana , que é um espaço topológico .

Introdução geométrica

Intuitivamente, um campo vetorial é mais bem visualizado como uma "seta" ligada a cada ponto de uma região, com comprimento e direção variáveis. Um exemplo de campo vetorial em um espaço curvo é um mapa meteorológico que mostra a velocidade horizontal do vento em cada ponto da superfície da Terra.

A ideia geral de campo tensorial combina a exigência de geometria mais rica - por exemplo, um elipsóide variando de ponto a ponto, no caso de um tensor métrico - com a ideia de que não queremos que nossa noção dependa do método particular de mapeando a superfície. Deve existir independentemente da latitude e longitude, ou qualquer "projeção cartográfica" particular que estejamos usando para introduzir as coordenadas numéricas.

Via transições de coordenadas

Seguindo Schouten (1951) e McConnell (1957) , o conceito de tensor depende de um conceito de referencial (ou sistema de coordenadas ), que pode ser fixo (em relação a algum referencial de fundo), mas em geral pode ser permitido variam dentro de alguma classe de transformações desses sistemas de coordenadas.

Por exemplo, as coordenadas pertencentes ao espaço de coordenadas reais n- dimensional podem ser submetidas a transformações afins arbitrárias : ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle x ^ {k} \ mapsto A_ {j} ^ {k} x ^ {j} + a ^ {k}}$

(com índices n- dimensionais, soma implícita ). Um vetor covariante, ou covetor, é um sistema de funções que se transforma sob esta transformação afim pela regra ${\ displaystyle v_ {k}}$

${\ displaystyle v_ {k} \ mapsto v_ {i} A_ {k} ^ {i}.}$

A lista de vetores de base de coordenadas cartesianas se transforma como covetor, já que sob a transformação afim . Um vetor contravariante é um sistema de funções das coordenadas que, sob tal transformação afim, sofre uma transformação ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {k} \ mapsto A_ {k} ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$${\ displaystyle v ^ {k}}$

${\ displaystyle v ^ {k} \ mapsto (A ^ {- 1}) _ {j} ^ {k} v ^ {j}.}$

Este é precisamente o requisito necessário para garantir que a quantidade seja um objeto invariável que não dependa do sistema de coordenadas escolhido. De forma mais geral, um tensor de valência ( p , q ) tem p índices de baixo e q índices de cima, com a lei de transformação sendo ${\ displaystyle v ^ {k} \ mathbf {e} _ {k}}$

${\ displaystyle {T_ {i_ {1} \ cdots i_ {p}}} ^ {j_ {1} \ cdots j_ {q}} \ mapsto A_ {i_ {1}} ^ {i '_ {1}} \ cdots A_ {i_ {p}} ^ {i '_ {p}} {T_ {i' _ {1} \ cdots i '_ {p}}} ^ {j' _ {1} \ cdots j '_ { q}} (A ^ {- 1}) _ {j '_ {1}} ^ {j_ {1}} \ cdots (A ^ {- 1}) _ {j' _ {q}} ^ {j_ { q}}.}$

O conceito de um campo tensorial pode ser obtido pela especialização das transformações de coordenadas permitidas para serem suaves (ou diferenciáveis , analíticas , etc.). Um campo covetor é uma função das coordenadas que se transforma pelo Jacobiano das funções de transição (na classe dada). Da mesma forma, um campo vetorial contravariante se transforma pelo inverso Jacobiano. ${\ displaystyle v_ {k}}$${\ displaystyle v ^ {k}}$

Feixes de tensores

Um feixe tensor é um feixe de fibra onde a fibra é um produto tensorial de qualquer número de cópias do espaço tangente e / ou espaço cotangente do espaço de base, que é uma variedade. Como tal, a fibra é um espaço vetorial e o feixe tensor é um tipo especial de feixe vetorial .

O feixe é um vector ideia natural de "espaço vectorial dependendo continuamente (ou suavemente) em parâmetros" - os parâmetros sendo os pontos de um colector de M . Por exemplo, um espaço vetorial de uma dimensão dependendo de um ângulo pode se parecer com uma faixa de Möbius ou, alternativamente, com um cilindro . Dado um feixe vetorial V sobre M , o conceito de campo correspondente é chamado de seção do feixe: para m variando sobre M , uma escolha de vetor

v _m em V _m ,

onde V _m é o espaço vetorial "em" m .

Como o conceito de produto tensorial é independente de qualquer escolha de base, tomar o produto tensorial de dois feixes vetoriais em M é rotina. Começando com o feixe tangente (o feixe de espaços tangentes ), todo o aparato explicado no tratamento sem componentes de tensores é executado de forma rotineira - novamente independentemente das coordenadas, como mencionado na introdução.

Portanto, podemos dar uma definição de campo tensorial , nomeadamente como uma seção de algum feixe tensorial . (Existem feixes de vetores que não são feixes de tensores: a banda de Möbius, por exemplo.) Este é então o conteúdo geométrico garantido, já que tudo foi feito de forma intrínseca. Mais precisamente, um campo tensorial atribui a qualquer ponto da variedade um tensor no espaço

${\ displaystyle V \ otimes \ cdots \ otimes V \ otimes V ^ {*} \ otimes \ cdots \ otimes V ^ {*},}$

onde V é o espaço tangente naquele ponto e V ^∗ é o espaço cotangente . Veja também pacote tangente e pacote cotangente .

Dados dois feixes tensores E → M e F → M , um mapa linear A : Γ ( E ) → Γ ( F ) do espaço das seções de E às seções de F pode ser considerado como uma seção tensorial de se e somente se satisfaz Um ( fs ) = fA ( s ), para cada seco s em Γ ( e ) e cada função suave f on M . Assim, uma seção tensorial não é apenas um mapa linear no espaço vetorial das seções, mas um mapa C ^∞ ( M ) -linear no módulo das seções. Esta propriedade é usada para verificar, por exemplo, que embora a derivada de Lie e a derivada covariante não sejam tensores, os tensores de torção e curvatura construídos a partir delas o são. ${\ displaystyle \ scriptstyle E ^ {*} \ otimes F}$

Notação

A notação para campos tensores às vezes pode ser confusamente semelhante à notação para espaços tensores. Assim, o feixe tangente TM = T ( M ) pode às vezes ser escrito como

${\ displaystyle T_ {0} ^ {1} (M) = T (M) = TM}$

de salientar que o feixe de tangente é o espaço gama dos campos (1,0) do tensor (isto é, campos vector) sobre o colector de M . Isso não deve ser confundido com a notação de aparência muito semelhante

${\ displaystyle T_ {0} ^ {1} (V)}$;

neste último caso, só temos um espaço tensor, enquanto que no primeiro caso, temos um espaço tensor definidos para cada ponto no colector M .

Curly (script) letras às vezes são usados para designar o conjunto de infinitamente diferenciáveis campos tensores sobre M . Assim,

${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {n} ^ {m} (M)}$

são as seções do feixe tensorial ( m , n ) em M que são infinitamente diferenciáveis. Um campo tensor é um elemento deste conjunto.

A explicação do módulo C ^∞ ( M )

Existe outra maneira mais abstrata (mas frequentemente útil) de caracterizar campos tensores em uma variedade M , que transforma os campos tensores em tensores honestos (ou seja, mapeamentos multilineares únicos ), embora de um tipo diferente (embora não seja normalmente por isso que se diz " tensor "quando realmente significa" campo tensor "). Em primeiro lugar, podemos considerar o conjunto de todos os campos vetoriais suaves (C ^∞ ) em M , (consulte a seção sobre notação acima) como um único espaço - um módulo sobre o anel de funções suaves, C ^∞ ( M ), por escalar pontual multiplicação. As noções de multilinearidade e produtos tensores estendem-se facilmente ao caso de módulos sobre qualquer anel comutativo . ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} (M)}$

Como um exemplo motivador, considere o espaço dos campos de covetor suaves ( formulários 1 ), também um módulo sobre as funções suaves. Estes atuam em campos de vetores suaves para produzir funções suaves por avaliação pontual, ou seja, dado um campo covetor ω e um campo vetorial X , definimos ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {*} (M)}$

( ω ( X )) ( p ) = ω ( p ) ( X ( p )).

Devido à natureza pontual de tudo o que está envolvido, a ação de ω em X é um mapa linear C ^∞ ( M ), ou seja,

( ω ( fX )) ( p ) = f ( p ) ω ( p ) ( X ( p )) = ( fω ) ( p ) ( X ( p )) = ( fω ( X )) ( p )

para qualquer p em M e função suave f . Assim, podemos considerar campos covetores não apenas como seções do pacote cotangente, mas também mapeamentos lineares de campos vetoriais em funções. Pela construção duplo-dual, os campos vetoriais podem ser expressos da mesma forma como mapeamentos de campos covetores em funções (a saber, poderíamos começar "nativamente" com campos covetores e continuar a partir daí).

Em um paralelo completo à construção de tensores simples ordinários (não campos de tensores!) Em M como mapas multilineares em vetores e covetores, podemos considerar campos tensores gerais ( k , l ) em M como mapas C ^∞ ( M ) -multilineares definidos em l cópias de e k cópias de em C ^∞ ( M ). ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} (M)}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {*} (M)}$

Agora, dado qualquer mapeamento arbitrário T de um produto de k cópias de e l cópias de em C ^∞ ( M ), verifica-se que surge de um campo tensorial em M se e somente se ele é multilinear sobre C ^∞ ( M ) . Assim, esse tipo de multilinearidade expressa implicitamente o fato de que estamos realmente lidando com um objeto definido por pontos, ou seja, um campo tensorial, em oposição a uma função que, mesmo quando avaliada em um único ponto, depende de todos os valores dos campos vetoriais e 1-formulários simultaneamente. ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {*} (M)}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}} (M)}$

Um exemplo de aplicação frequente desta regra geral é que mostra que a ligação de Levi-Civita , que é um mapeamento dos campos vectoriais lisas , tendo um par de campos vectoriais de um campo vectorial, não definem um campo tensor em H . Isso ocorre porque ele é apenas R -linear em Y (no lugar de C ^∞ ( M ) -linearidade completa, ele satisfaz a regra de Leibniz, )). No entanto, deve ser enfatizado que mesmo não sendo um campo tensorial, ele ainda se qualifica como um objeto geométrico com uma interpretação livre de componentes. ${\ displaystyle (X, Y) \ mapsto \ nabla _ {X} Y}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {X} (fY) = (Xf) Y + f \ nabla _ {X} Y}$

Formulários

O tensor de curvatura é discutido na geometria diferencial e o tensor tensão-energia é importante na física, e esses dois tensores são relacionados pela teoria da relatividade geral de Einstein .

No eletromagnetismo , os campos elétricos e magnéticos são combinados em um campo tensor eletromagnético .

É importante notar que as formas diferenciais , usadas na definição da integração em variedades, são um tipo de campo tensorial.

Cálculo tensorial

Na física teórica e em outros campos, as equações diferenciais apresentadas em termos de campos tensores fornecem uma maneira muito geral de expressar relações que são tanto de natureza geométrica (garantida pela natureza tensorial) quanto convencionalmente ligadas ao cálculo diferencial . Até mesmo para formular tais equações é necessária uma nova noção, a derivada covariante . Isso lida com a formulação da variação de um campo tensorial ao longo de um campo vetorial . A noção original de cálculo diferencial absoluto , que mais tarde foi chamada de cálculo tensorial , levou ao isolamento do conceito geométrico de conexão .

Torcendo por um pacote de linha

Uma extensão da ideia campo tensor incorpora um extra de linha de pacote L em M . Se W representa o pacote de produto tensor de V com G , então W é um conjunto de espaços vector de apenas a mesma dimensão que V . Isso permite definir o conceito de densidade de tensor , um tipo 'torcido' de campo tensorial. A densidade do tensor é o caso especial em que L é o feixe de densidades de um colector , a saber o pacote determinante do feixe co-tangente . (Para ser estritamente preciso, deve-se também aplicar o valor absoluto às funções de transição - isso faz pouca diferença para uma variedade orientável .) Para uma explicação mais tradicional, consulte o artigo sobre densidade do tensor .

Uma característica do feixe de densidades (novamente assumindo orientabilidade) L é que L ^s é bem definido para valores de número real de s ; isso pode ser lido nas funções de transição, que assumem valores reais estritamente positivos. Isso significa, por exemplo, que podemos pegar uma meia densidade , o caso em que s = ½. Em geral, podemos pegar seções de W , o produto tensorial de V com L ^s , e considerar campos de densidade tensorial com peso s .

Meias densidades são aplicadas em áreas como a definição de operadores integrais em variedades e quantização geométrica .

A caixa plana

Quando M é um espaço euclidiano e todos os campos são considerados invariantes pelas translações dos vetores de M , voltamos a uma situação em que um campo tensorial é sinônimo de um tensor 'sentado na origem'. Isso não causa grandes danos e é frequentemente usado em aplicativos. Quando aplicado a densidades de tensores, faz diferença. O feixe de densidades não pode ser seriamente definido "em um ponto"; e, portanto, uma limitação do tratamento matemático contemporâneo de tensores é que as densidades de tensores são definidas de forma indireta.

Cociclos e regras de cadeia

Como uma explicação avançada do conceito de tensor , pode-se interpretar a regra da cadeia no caso multivariável, aplicada para coordenar mudanças, também como o requisito para conceitos autoconsistentes de tensor dando origem a campos tensores.

Abstratamente, podemos identificar a regra da cadeia como um 1- cociclo . Dá a consistência necessária para definir o feixe tangente de forma intrínseca. Os outros feixes vector de tensores têm cociclos comparáveis, que vêm de aplicação functorial propriedades de construções tensor para a regra da cadeia em si; é por isso que eles também são conceitos intrínsecos (leia-se, 'naturais').

O que geralmente é chamado de abordagem "clássica" dos tensores tenta interpretar isso ao contrário - e, portanto, é uma abordagem heurística post hoc , em vez de uma abordagem verdadeiramente fundamental. Implícito na definição de tensores pela maneira como eles se transformam sob uma mudança de coordenada está o tipo de autoconsistência que o cociclo expressa. A construção de densidades de tensores é uma 'torção' no nível do cociclo. Os geômetras não têm dúvidas sobre a natureza geométrica das grandezas tensoriais ; esse tipo de argumento descendente justifica abstratamente toda a teoria.

Generalizações

Densidades de tensor

O conceito de campo tensorial pode ser generalizado considerando objetos que se transformam de maneiras diferentes. Um objeto que se transforma como um campo tensorial comum sob transformações de coordenadas, exceto que também é multiplicado pelo determinante do Jacobiano da transformação de coordenadas inversas à potência w , é chamado de densidade tensorial com peso w . Invariavelmente, na linguagem da álgebra multilinear, pode-se pensar em densidades de tensores como mapas multilineares tomando seus valores em um pacote de densidade , como o espaço (unidimensional) de n- formas (onde n é a dimensão do espaço), como vez de tomar seus valores em apenas R . "Pesos" mais altos correspondem apenas a obter produtos tensores adicionais com este espaço na faixa.

Um caso especial são as densidades escalares. As densidades escalares 1 são especialmente importantes porque faz sentido definir sua integral sobre uma variedade. Eles aparecem, por exemplo, na ação de Einstein-Hilbert na relatividade geral. O exemplo mais comum de uma densidade escalar 1 é o elemento de volume , que na presença de um tensor métrico g é a raiz quadrada de seu determinante em coordenadas, denotado . O tensor métrico é um tensor covariante de ordem 2 e, portanto, sua escala determinante pelo quadrado da transição de coordenadas: ${\ displaystyle {\ sqrt {\ det g}}}$

${\ displaystyle \ det (g ') = \ left (\ det {\ frac {\ partial x} {\ partial x'}} \ right) ^ {2} \ det (g),}$

que é a lei de transformação para uma densidade escalar de peso +2.

Mais geralmente, qualquer densidade de tensor é o produto de um tensor comum com uma densidade escalar de peso apropriado. Na linguagem dos feixes vetoriais , o feixe determinante do feixe tangente é um feixe de linhas que pode ser usado para 'torcer' outros feixes w vezes. Embora localmente a lei de transformação mais geral possa de fato ser usada para reconhecer esses tensores, surge uma questão global, refletindo que na lei de transformação pode-se escrever o determinante Jacobiano ou seu valor absoluto. Potências não integrais das funções de transição (positivas) do feixe de densidades fazem sentido, de modo que o peso de uma densidade, nesse sentido, não se restringe a valores inteiros. Restringir a mudanças de coordenadas com determinante Jacobiano positivo é possível em variedades orientáveis , porque há uma maneira global consistente de eliminar os sinais de menos; mas, caso contrário, o pacote linear de densidades e o pacote linear de n formas são distintos. Para saber mais sobre o significado intrínseco, consulte densidade em uma variedade .

Veja também

• Jet bundle
• Cálculo de Ricci  - notação de índice de tensor para cálculos baseados em tensor
• Campo Spinor

Notas

Referências

• Frankel, T. (2012), The Geometry of Physics (3ª edição) , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-60260-1.
• Lambourne [Open University], RJA (2010), Relativity, Gravitation, and Cosmology , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-13138-4.
• Lerner, RG ; Trigg, GL (1991), Encyclopaedia of Physics (2ª edição) , VHC Publishers.
• McConnell, AJ (1957), Applications of Tensor Analysis , Dover Publications, ISBN 9780486145020.
• McMahon, D. (2006), Relativity DeMystified , McGraw Hill (EUA), ISBN 0-07-145545-0.
• C. Misner, KS Thorne, JA Wheeler (1973), Gravitation , WH Freeman & Co, ISBN 0-7167-0344-0CS1 maint: vários nomes: lista de autores ( link ).
• Parker, CB (1994), McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2ª edição) , McGraw Hill, ISBN 0-07-051400-3.
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• Steenrod, Norman (5 de abril de 1999). A topologia dos feixes de fibra . Princeton Mathematical Series. 14 . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC  40734875 .