Tensor - Tensor

O tensor de tensão de Cauchy de segunda ordem ( ) descreve as forças de tensão experimentadas por um material em um determinado ponto. O produto do tensor de tensão e um vetor unitário , apontando em uma determinada direção, é um vetor que descreve as forças de tensão experimentadas por um material no ponto descrito pelo tensor de tensão, ao longo de um plano perpendicular a . Esta imagem mostra os vetores de tensão ao longo de três direções perpendiculares, cada uma representada por uma face do cubo. Como o tensor de tensão descreve um mapeamento que recebe um vetor como entrada e fornece um vetor como saída, é um tensor de segunda ordem.

Em matemática , um tensor é um objeto algébrico que descreve uma relação multilinear entre conjuntos de objetos algébricos relacionados a um espaço vetorial . Os objetos entre os quais os tensores podem mapear incluem vetores e escalares e até mesmo outros tensores. Existem muitos tipos de tensores, incluindo escalares e vetores (que são os tensores mais simples), vetores duais , mapas multilineares entre espaços vetoriais e até mesmo algumas operações, como o produto escalar . Os tensores são definidos independentemente de qualquer base , embora sejam frequentemente referidos por seus componentes em uma base relacionada a um sistema de coordenadas específico.

Os tensores se tornaram importantes na física porque fornecem uma estrutura matemática concisa para formular e resolver problemas físicos em áreas como mecânica ( tensão , elasticidade , mecânica dos fluidos , momento de inércia , ...), eletrodinâmica ( tensor eletromagnético , tensor de Maxwell , permissividade , susceptibilidade magnética , ...), ou relatividade geral ( tensor tensão-energia , tensor de curvatura , ...) e outros. Em aplicações, é comum estudar situações nas quais um tensor diferente pode ocorrer em cada ponto de um objeto; por exemplo, a tensão dentro de um objeto pode variar de um local para outro. Isso leva ao conceito de um campo tensorial . Em algumas áreas, os campos tensores são tão onipresentes que costumam ser chamados simplesmente de "tensores".

Tullio Levi-Civita e Gregorio Ricci-Curbastro popularizaram tensores em 1900 - continuando o trabalho anterior de Bernhard Riemann e Elwin Bruno Christoffel e outros - como parte do cálculo diferencial absoluto . O conceito permitiu uma formulação alternativa da geometria diferencial intrínseca de uma variedade na forma do tensor de curvatura de Riemann .

Definição

Embora aparentemente diferentes, as várias abordagens para definir tensores descrevem o mesmo conceito geométrico usando uma linguagem diferente e em diferentes níveis de abstração. Por exemplo, tensores são definidos e discutidos para aplicativos estatísticos e de aprendizado de máquina .

Como matrizes multidimensionais

Um tensor pode ser representado como uma matriz (potencialmente multidimensional). Assim como um vetor em um espaço n - dimensional é representado por uma matriz unidimensional com n componentes em relação a uma determinada base , qualquer tensor em relação a uma base é representado por uma matriz multidimensional. Por exemplo, um operador linear é representado em uma base como uma matriz quadrada n × n bidimensional . Os números na matriz multidimensional são conhecidos como componentes escalares do tensor ou simplesmente seus componentes . Eles são denotados por índices que dão sua posição no array, como subscritos e sobrescritos , seguindo o nome simbólico do tensor. Por exemplo, os componentes de um tensor T de ordem 2 podem ser denotados T ij  , onde i e j são índices que vão de 1 a n , ou também por Teu
j
. Se um índice é exibido como sobrescrito ou subscrito depende das propriedades de transformação do tensor, descritas abaixo. Assim, enquanto T ij e Teu
j
podem ser expressos como n por n matrizes e estão numericamente relacionados por meio de malabarismo de índice , a diferença em suas leis de transformação indica que seria impróprio soma-los. O número total de índices necessários para identificar cada componente de maneira única é igual à dimensão da matriz e é chamado de ordem , grau ou classificação do tensor. No entanto, o termo "classificação" geralmente tem outro significado no contexto de matrizes e tensores.

Assim como os componentes de um vetor mudam quando mudamos a base do espaço vetorial, os componentes de um tensor também mudam sob tal transformação. Cada tipo de tensor vem equipado com uma lei de transformação que detalha como os componentes do tensor respondem a uma mudança de base . Os componentes de um vetor podem responder de duas maneiras distintas a uma mudança de base (ver covariância e contravariância de vetores ), onde os novos vetores de base são expressos em termos dos antigos vetores de base como,

Aqui, R j i são as entradas da mudança da matriz de base, e na expressão mais à direita o sinal de soma foi suprimido: esta é a convenção de soma de Einstein , que será usada ao longo deste artigo. Os componentes v i de um vetor coluna v transformam com o inverso da matriz R ,

onde o chapéu denota os componentes na nova base. Isso é chamado de lei de transformação contravariante , porque os componentes do vetor se transformam pelo inverso da mudança de base. Em contraste, os componentes, w i , de um covetor (ou vetor linha), w se transformam com a própria matriz R ,

Isso é chamado de lei de transformação covariante , porque os componentes covetores se transformam pela mesma matriz que a mudança da matriz de base. Os componentes de uma transformada tensorial mais geral por alguma combinação de transformações covariante e contravariante, com uma lei de transformação para cada índice. Se a matriz de transformação de um índice é a matriz inversa da transformação de base, então o índice é denominado contravariante e é convencionalmente denotado com um índice superior (sobrescrito). Se a matriz de transformação de um índice é a própria transformação de base, então o índice é denominado covariante e é denotado com um índice inferior (subscrito).

Como um exemplo simples, a matriz de um operador linear em relação a uma base é uma matriz retangular que se transforma sob uma mudança de matriz de base por . Para as entradas individuais da matriz, esta lei de transformação tem a forma de modo que o tensor correspondente à matriz de um operador linear tenha um índice covariante e um índice contravariante: é do tipo (1,1).

Combinações de componentes covariantes e contravariantes com o mesmo índice nos permitem expressar invariantes geométricos. Por exemplo, o fato de um vetor ser o mesmo objeto em diferentes sistemas de coordenadas pode ser capturado pelas seguintes equações, usando as fórmulas definidas acima:

,

onde está o delta de Kronecker , que funciona de maneira semelhante à matriz de identidade e tem o efeito de renomear índices ( j em k neste exemplo). Isso mostra várias características da notação do componente: a capacidade de reorganizar os termos à vontade ( comutatividade ), a necessidade de usar índices diferentes ao trabalhar com vários objetos na mesma expressão, a capacidade de renomear índices e a maneira como o contravariante e os tensores covariantes se combinam de modo que todas as instâncias da matriz de transformação e seu inverso cancelam, de modo que expressões como podem ser imediatamente vistas como geometricamente idênticas em todos os sistemas de coordenadas.

Da mesma forma, um operador linear, visto como um objeto geométrico, não depende realmente de uma base: é apenas um mapa linear que aceita um vetor como argumento e produz outro vetor. A lei de transformação de como a matriz de componentes de um operador linear muda com a base é consistente com a lei de transformação de um vetor contravariante, de modo que a ação de um operador linear em um vetor contravariante é representada em coordenadas como o produto da matriz de seus respectivas representações de coordenadas. Ou seja, os componentes são dados por . Esses componentes se transformam de forma contravariante, uma vez que

A lei de transformação para um tensor de ordem p + q com p índices contravariantes e q índices covariantes é dada como,

Aqui, os índices iniciados denotam os componentes nas novas coordenadas e os índices não iniciados denotam os componentes nas coordenadas antigas. Tal tensor é considerado de ordem ou tipo ( p , q ) . Os termos "ordem", "tipo", "classificação", "valência" e "grau" são usados ​​às vezes para o mesmo conceito. Aqui, o termo "ordem" ou "ordem total" será usado para a dimensão total da matriz (ou sua generalização em outras definições), p + q no exemplo anterior, e o termo "tipo" para o par que dá o número de índices contravariantes e covariantes. Um tensor do tipo ( p , q ) também é chamado de ( p , q ) -tensor, abreviadamente.

Esta discussão motiva a seguinte definição formal:

Definição. Um tensor do tipo ( p , q ) é uma atribuição de uma matriz multidimensional

para cada base f = ( e 1 , ..., e n ) de um espaço vetorial n- dimensional tal que, se aplicarmos a mudança de base

então a matriz multidimensional obedece à lei de transformação

A definição de um tensor como uma matriz multidimensional que satisfaz uma lei de transformação remonta ao trabalho de Ricci.

Uma definição equivalente de um tensor usa as representações do grupo linear geral . Existe uma ação do grupo linear geral no conjunto de todas as bases ordenadas de um espaço vetorial n- dimensional. Se for uma base ordenada e for uma matriz invertível , então a ação é dada por

Seja F o conjunto de todas as bases ordenadas. Então F é um espaço homogêneo principal para GL ( n ). Seja W um espaço vetorial e seja uma representação de GL ( n ) em W (ou seja, um homomorfismo de grupo ). Então, um tensor do tipo é um mapa equivariante . Equivariância aqui significa que

Quando é uma representação de tensores do grupo linear geral, isso dá a definição usual de tensores como matrizes multidimensionais. Esta definição é freqüentemente usada para descrever tensores em variedades e prontamente generaliza para outros grupos.

Como mapas multilineares

Uma desvantagem para a definição de um tensor usando a abordagem de matriz multidimensional é que não é aparente a partir da definição que o objeto definido é de fato independente de base, como é esperado de um objeto intrinsecamente geométrico. Embora seja possível mostrar que as leis de transformação de fato garantem a independência da base, às vezes é preferível uma definição mais intrínseca. Uma abordagem comum na geometria diferencial é definir tensores relativos a um espaço vetorial fixo (dimensão finita) V , que normalmente é considerado um espaço vetorial particular de algum significado geométrico, como o espaço tangente a uma variedade. Nesta abordagem, um tensor de tipo ( p , q ) T é definido como um mapa multilinear ,

onde V é o espaço dual correspondente de covetores, que é linear em cada um de seus argumentos. O acima assume que V é um espaço vetorial sobre os números reais , . Mais geralmente, V pode ser assumido sobre qualquer campo F (por exemplo, os números complexos ), com F substituindo como o codomínio dos mapas multilineares.

Aplicando um mapa multilinear T do tipo ( p , q ) a uma base { e j } para V e uma cobase canônica { ε i } para V ,

um arranjo de componentes ( p + q ) -dimensional pode ser obtido. Uma escolha diferente de base produzirá componentes diferentes. Mas, como T é linear em todos os seus argumentos, os componentes satisfazem a lei de transformação de tensores usada na definição de array multilinear. O arranjo multidimensional de componentes de T, portanto, forma um tensor de acordo com essa definição. Além disso, uma tal matriz pode ser realizado como os componentes de alguns mapa multilinear T . Isso motiva a visualização de mapas multilineares como os objetos intrínsecos subjacentes aos tensores.

Ao observar um tensor, como um mapa multilinear, é convencional para identificar o duplo duplo V ** do espaço vectorial V , isto é, o espaço de funcionais lineares no espaço dual vector V * , com o espaço vectorial V . Existe sempre um mapa linear natural, a partir de V para o seu duplo duplo, dada pela avaliação de uma forma linear em V * contra um vector em V . Este mapeamento linear é um isomorfismo em dimensões finitas, e muitas vezes é conveniente identificar V com seu dual duplo.

Usando produtos tensores

Para algumas aplicações matemáticas, às vezes é útil uma abordagem mais abstrata. Isso pode ser alcançado definindo tensores em termos de elementos de produtos tensores de espaços vetoriais, que por sua vez são definidos por meio de uma propriedade universal . Um tensor de tipo ( p , q ) é definido neste contexto como um elemento do produto tensorial de espaços vetoriais,

Uma base v i de V e base w j de W naturalmente induzir uma base v iw j do produto tensor VW . As componentes de um tensor T são os coeficientes do tensor em relação à base obtida de uma base { e i } para V e sua base dual { ε j } , ou seja,

Usando as propriedades do produto tensorial, pode-se mostrar que esses componentes satisfazem a lei de transformação para um tensor do tipo ( p , q ) . Além disso, a propriedade universal do produto tensor dá um 1 Para- 1 correspondência entre tensores definidos desta forma e tensores definidos como mapas multilineares.

Essa correspondência de 1 para 1 pode ser arquivada da seguinte maneira, porque no caso de dimensão finita existe um isomorfismo canônico entre um espaço vetorial e seu duplo dual:

A última linha está usando a propriedade universal do produto tensorial, que há uma correspondência de 1 para 1 entre os mapas de e .

Os produtos tensores podem ser definidos em grande generalidade - por exemplo, envolvendo módulos arbitrários sobre um anel. Em princípio, pode-se definir um "tensor" simplesmente como um elemento de qualquer produto tensorial. No entanto, a literatura matemática normalmente reserva o termo tensor para um elemento de um produto tensorial de qualquer número de cópias de um único espaço vetorial V e seu dual, como acima.

Tensores em dimensões infinitas

Esta discussão sobre tensores até agora pressupõe dimensionalidade finita dos espaços envolvidos, onde os espaços de tensores obtidos por cada uma dessas construções são naturalmente isomórficos . Construções de espaços de tensores baseadas no produto tensorial e mapeamentos multilineares podem ser generalizadas, essencialmente sem modificação, para feixes de vetores ou feixes coerentes . Para espaços vetoriais de dimensão infinita, topologias inequivalentes levam a noções não equivalentes de tensor, e esses vários isomorfismos podem ou não ser válidos, dependendo do que exatamente se entende por tensor (consulte o produto do tensor topológico ). Em algumas aplicações, é o produto tensorial de espaços de Hilbert que se pretende, cujas propriedades são as mais semelhantes ao caso de dimensão finita. Uma visão mais moderna é que é a estrutura dos tensores como uma categoria monoidal simétrica que codifica suas propriedades mais importantes, ao invés dos modelos específicos dessas categorias.

Campos tensores

Em muitas aplicações, especialmente em geometria diferencial e física, é natural considerar um tensor com componentes que são funções do ponto em um espaço. Este foi o cenário da obra original de Ricci. Na terminologia matemática moderna, esse objeto é chamado de campo tensor , freqüentemente referido simplesmente como tensor.

Neste contexto, uma base de coordenadas é freqüentemente escolhida para o espaço vetorial tangente . A lei de transformação pode então ser expressa em termos de derivadas parciais das funções de coordenadas,

definindo uma transformação de coordenadas,

Exemplos

Um exemplo elementar de mapeamento descritível como tensor é o produto escalar , que mapeia dois vetores em um escalar. Um exemplo mais complexo é o tensor de tensão de Cauchy T , que pega um vetor unitário direcional v como entrada e o mapeia para o vetor de tensão T ( v ) , que é a força (por unidade de área) exercida pelo material no lado negativo do plano ortogonal av contra o material no lado positivo do plano, expressando assim uma relação entre esses dois vetores, mostrado na figura (à direita). O produto vetorial, onde dois vetores são mapeados em um terceiro, não é estritamente falando um tensor porque muda seu sinal sob as transformações que mudam a orientação do sistema de coordenadas. O símbolo totalmente anti-simétrico, no entanto, permite um manuseio conveniente do produto vetorial em sistemas de coordenadas tridimensionais igualmente orientados.

Esta tabela mostra exemplos importantes de tensores em espaços vetoriais e campos de tensores em variedades. Os tensores são classificados de acordo com seu tipo ( n , m ) , onde n é o número de índices contravariantes, m é o número de índices covariantes e n + m dá a ordem total do tensor. Por exemplo, uma forma bilinear é a mesma coisa que um (0, 2) -tensor; um produto interno é um exemplo de um (0, 2) -tensor, mas nem todos os (0, 2) -tensores são produtos internos. Na entrada (0, M ) da tabela, M denota a dimensionalidade do espaço vetorial ou variedade subjacente porque para cada dimensão do espaço, um índice separado é necessário para selecionar essa dimensão para obter um tensor antissimétrico maximamente covariante.

Exemplo de tensores em espaços vetoriais e campos de tensores em variedades
m
0 1 2 3 M
n 0 Escalar , por exemplo, curvatura escalar Covector , funcional linear , forma 1 , por exemplo , momento de dipolo , gradiente de um campo escalar Forma bilinear , por exemplo, o produto interno , momento quadrupolo , tensor métrico , curvatura de Ricci , 2-forma , forma simpléctica 3 formas, por exemplo, momento de octupolo Por exemplo, forma M, ou seja, forma de volume
1 Vetor euclidiano Transformação linear , delta de Kronecker Por exemplo: produto cruzado em três dimensões Por exemplo, tensor de curvatura de Riemann
2 Tensor métrico inverso , bivetor , por exemplo, estrutura de Poisson Ex: tensor de elasticidade
N Multivetor

Aumentar um índice em um ( n , m ) -tensor produz um ( n + 1, m - 1) -tensor; isso corresponde a mover-se diagonalmente para baixo e para a esquerda na mesa. Simetricamente, abaixar um índice corresponde a mover-se diagonalmente para cima e para a direita na mesa. A contração de uma parte superior com um índice inferior de um ( n , m ) -tensor produz um ( n - 1, m - 1) -tensor; isso corresponde a mover-se diagonalmente para cima e para a esquerda na mesa.

Orientação definida por um conjunto ordenado de vetores.
A orientação invertida corresponde a negar o produto externo.
Interpretação geométrica de elementos de grau n em uma álgebra externa real para n = 0 (ponto sinalizado), 1 (segmento de linha direcionado ou vetor), 2 (elemento plano orientado), 3 (volume orientado). O produto exterior de n vetores pode ser visualizado como qualquer forma n- dimensional (por exemplo, n - paralelotopo , n - elipsóide ); com magnitude ( hipervolume ), e orientação definida por aquela em seu limite n - 1 -dimensional e de que lado está o interior.

Propriedades

Assumindo uma base de um espaço vetorial real, por exemplo, um quadro de coordenadas no espaço ambiente, um tensor pode ser representado como uma matriz multidimensional organizada de valores numéricos com relação a essa base específica. Mudar a base transforma os valores no array de uma forma característica que permite definir tensores como objetos aderentes a este comportamento transformacional. Por exemplo, existem invariantes de tensores que devem ser preservados sob qualquer mudança de base, tornando assim apenas certos arranjos multidimensionais de números um tensor. Compare isso com a matriz que representa não ser um tensor, pois o sinal muda sob transformações que mudam a orientação.

Como os componentes dos vetores e seus duais se transformam de maneira diferente com a mudança de suas bases duais, existe uma lei de transformação covariante e / ou contravariante que relaciona as matrizes, que representam o tensor em relação a uma base e aquele em relação à outra. . Os números de, respectivamente, vetores: n ( índices contravariantes ) e vetores duais : m ( índices covariantes ) na entrada e saída de um tensor determinam o tipo (ou valência ) do tensor, um par de números naturais ( n , m ) , que determinam a forma precisa da lei de transformação. o a ordem de um tensor é a soma desses dois números.

A ordem (também grau ourank ) de um tensor é, portanto, a soma das ordens de seus argumentos mais a ordem do tensor resultante. Esta é também a dimensionalidade da matriz de números necessária para representar o tensor com relação a uma base específica, ou de forma equivalente, o número de índices necessários para rotular cada componente nessa matriz. Por exemplo, em uma base fixa, um mapa linear padrão que mapeia um vetor para um vetor, é representado por uma matriz (uma matriz bidimensional) e, portanto, é um tensor de 2ª ordem. Um vetor simples pode ser representado como uma matriz unidimensional e, portanto, um tensor de 1ª ordem. Os escalares são números simples e, portanto, tensores de ordem 0. Desta forma, o tensor que representa o produto escalar, tomando dois vetores e resultando em um escalar tem ordem2 + 0 = 2, igual ao tensor de tensão, pegando um vetor e retornando outro1 + 1 = 2. Osímbolo,mapeando dois vetores em um vetor, teria ordem2 + 1 = 3.

A coleção de tensores em um espaço vetorial e seu dual forma uma álgebra de tensores , que permite produtos de tensores arbitrários. Aplicações simples de tensores de ordem 2 , que podem ser representados como uma matriz quadrada, podem ser resolvidas por um arranjo inteligente de vetores transpostos e aplicando as regras de multiplicação de matrizes, mas o produto tensorial não deve ser confundido com isso.

Notação

Existem vários sistemas de notação que são usados ​​para descrever tensores e realizar cálculos envolvendo-os.

Cálculo de Ricci

O cálculo de Ricci é o formalismo e notação modernos para índices tensores: indicando produtos internos e externos , covariância e contravariância , somas de componentes tensores, simetria e antissimetria , e derivados parciais e covariantes .

Convenção de soma de Einstein

A convenção de somatório de Einstein dispensa a escrita de sinais de somatório , deixando o somatório implícito. Qualquer símbolo de índice repetido é somado: se o índice i for usado duas vezes em um determinado termo de uma expressão tensorial, significa que o termo deve ser somado para todos os i . Vários pares distintos de índices podem ser somados dessa forma.

Notação gráfica Penrose

A notação gráfica de Penrose é uma notação diagramática que substitui os símbolos dos tensores por formas e seus índices por linhas e curvas. É independente dos elementos básicos e não requer símbolos para os índices.

Notação de índice abstrato

A notação de índice abstrata é uma maneira de escrever tensores de forma que os índices não sejam mais considerados numéricos, mas indeterminados . Essa notação captura a expressividade dos índices e a independência de base da notação sem índice.

Notação livre de componentes

Um tratamento de tensores sem componentes usa notação que enfatiza que os tensores não dependem de nenhuma base e é definido em termos do produto tensorial dos espaços vetoriais .

Operações

Existem várias operações em tensores que novamente produzem um tensor. A natureza linear do tensor implica que dois tensores do mesmo tipo podem ser somados, e que os tensores podem ser multiplicados por um escalar com resultados análogos ao escalonamento de um vetor . Em componentes, essas operações são realizadas simplesmente por componentes. Essas operações não alteram o tipo de tensor; mas também existem operações que produzem um tensor de tipo diferente.

Produto tensor

O produto tensorial toma dois tensores, S e T , e produz um novo tensor, ST , cuja ordem é a soma das ordens dos tensores originais. Quando descritos como mapas multilineares, o produto tensorial simplesmente multiplica os dois tensores, ou seja,

que mais uma vez produz um mapa que é linear em todos os seus argumentos. Nos componentes, o efeito é multiplicar os componentes dos dois tensores de entrada aos pares, ou seja,

Se S é do tipo ( l , k ) e T é do tipo ( n , m ) , então o produto tensorial ST tem tipo ( l + n , k + m ) .

Contração

A contração do tensor é uma operação que reduz um tensor do tipo ( n , m ) a um tensor do tipo ( n - 1, m - 1) , do qual o traço é um caso especial. Com isso, reduz a ordem total de um tensor em dois. A operação é alcançada somando componentes para os quais um índice contravariante especificado é o mesmo que um índice covariante especificado para produzir um novo componente. Componentes para os quais esses dois índices são diferentes são descartados. Por exemplo, um (1, 1) -tensor pode ser contraído para uma passagem escalar . Onde o somatório está novamente implícito. Quando o (1, 1) -tensor é interpretado como um mapa linear, essa operação é conhecida como traço .

A contração é freqüentemente usada em conjunto com o produto tensorial para contrair um índice de cada tensor.

A contração também pode ser entendida usando a definição de um tensor como um elemento de um produto tensorial de cópias do espaço V com o espaço V , primeiro decompondo o tensor em uma combinação linear de tensores simples e, em seguida, aplicando um fator de V * a um factor de V . Por exemplo, um tensor pode ser escrito como uma combinação linear

A contração de T no primeiro e último slots é então o vetor

Em um espaço vetorial com um produto interno (também conhecido como métrico ) g , o termo contração é usado para remover duas contravariantes ou dois índices covariantes formando um traço com o tensor métrico ou seu inverso. Por exemplo, um (2, 0) -tensor pode ser contraído para um escalar (mais uma vez assumindo a convenção de soma).

Aumentando ou diminuindo um índice

Quando um espaço vetorial é equipado com uma forma bilinear não degenerada (ou tensor métrico, como é freqüentemente chamado neste contexto), podem ser definidas operações que convertem um índice contravariante (superior) em um índice covariante (inferior) e vice-versa. Um tensor métrico é um (simétrico) ( 0, 2) -tensor; assim, é possível contrair um índice superior de um tensor com um dos índices inferiores do tensor métrico no produto. Isso produz um novo tensor com a mesma estrutura de índice do tensor anterior, mas com índice inferior geralmente mostrado na mesma posição do índice superior contraído. Esta operação é conhecida graficamente como redução de um índice .

Por outro lado, a operação inversa pode ser definida e é chamada de aumento de um índice . Isso é equivalente a uma contração semelhante no produto com um (2, 0) -tensor. Este tensor métrico inverso tem componentes que são a matriz inversa do tensor métrico.

Formulários

Mecânica de continuidade

Exemplos importantes são fornecidos pela mecânica do contínuo . As tensões dentro de um corpo sólido ou fluido são descritas por um campo tensor. O tensor de tensão e o tensor de deformação são campos tensores de segunda ordem e estão relacionados em um material elástico linear geral por um campo tensor de elasticidade de quarta ordem . Em detalhes, o tensor que quantifica a tensão em um objeto sólido tridimensional tem componentes que podem ser convenientemente representados como uma matriz 3 × 3. Cada uma das três faces de um segmento de volume infinitesimal em forma de cubo do sólido está sujeita a uma determinada força. Os componentes do vetor da força também são em número de três. Assim, 3 × 3 ou 9 componentes são necessários para descrever a tensão neste segmento infinitesimal em forma de cubo. Dentro dos limites desse sólido está uma massa inteira de quantidades variáveis ​​de tensões, cada uma exigindo 9 quantidades para serem descritas. Portanto, um tensor de segunda ordem é necessário.

Se um elemento de superfície específico dentro do material for destacado, o material de um lado da superfície aplicará uma força do outro lado. Em geral, essa força não será ortogonal à superfície, mas dependerá da orientação da superfície de forma linear. Isso é descrito por um tensor do tipo (2, 0) , em elasticidade linear , ou mais precisamente por um campo tensor do tipo (2, 0) , uma vez que as tensões podem variar de ponto a ponto.

Outros exemplos da física

Os aplicativos comuns incluem:

Aplicações de tensores de ordem> 2

O conceito de tensor de ordem dois é freqüentemente confundido com o de matriz. No entanto, os tensores de ordem superior capturam ideias importantes na ciência e na engenharia, como tem sido demonstrado sucessivamente em várias áreas à medida que se desenvolvem. Isso acontece, por exemplo, no campo da visão computacional , com o tensor trifocal generalizando a matriz fundamental .

O campo da óptica não linear estuda as mudanças na densidade de polarização do material sob campos elétricos extremos. As ondas de polarização geradas estão relacionadas aos campos elétricos geradores por meio do tensor de susceptibilidade não linear. Se a polarização P não é linearmente proporcional ao campo elétrico E , o meio é denominado não linear . Para uma boa aproximação (para campos suficientemente fracos, assumindo que nenhum momento de dipolo permanente está presente), P é dado por uma série de Taylor em E cujos coeficientes são as suscetibilidades não lineares:

Aqui está a suscetibilidade linear, dá o efeito Pockels e geração de segundo harmônico e dá o efeito Kerr . Essa expansão mostra como os tensores de ordem superior surgem naturalmente no assunto.

Generalizações

Produtos tensores de espaços vetoriais

Os espaços vetoriais de um produto tensorial não precisam ser os mesmos e, às vezes, os elementos desse produto tensorial mais geral são chamados de "tensores". Por exemplo, um elemento do espaço do produto tensor VW é de segunda ordem "tensor" neste sentido mais geral, e um ordem- d tensor pode também ser definido como um elemento de um produto tensor de d espaços vectoriais diferentes. Um tensor de tipo ( n , m ) , no sentido definido anteriormente, é também um tensor de ordem n + m neste sentido mais geral. O conceito de produto tensorial pode ser estendido para módulos arbitrários sobre um anel .

Tensores em dimensões infinitas

A noção de tensor pode ser generalizada de várias maneiras para dimensões infinitas . Um, por exemplo, é através do produto tensorial dos espaços de Hilbert . Outra forma de generalizar a ideia de tensor, comum na análise não linear , é por meio da definição de mapas multilineares, onde em vez de usar espaços vetoriais de dimensão finita e seus duais algébricos , usa-se espaços de Banach de dimensão infinita e seu dual contínuo . Assim, os tensores vivem naturalmente em variedades de Banach e variedades de Fréchet .

Densidades de tensor

Suponha que um meio homogêneo preencha R 3 , de modo que a densidade do meio seja descrita por um único valor escalar ρ em kg m −3 . A massa, em kg, de uma região Ω é obtida multiplicando ρ pelo volume da região Ω , ou equivalentemente integrando a constante ρ sobre a região:

onde as coordenadas cartesianas xyz são medidas em m. Se as unidades de comprimento forem alteradas para cm, os valores numéricos das funções de coordenadas devem ser redimensionados por um fator de 100:

O valor numérico da densidade ρ deve então também transformar em para compensar, de modo que o valor numérico da massa em kg ainda seja dado por integral de . Assim (em unidades de kg cm −3 ).

Mais geralmente, se as coordenadas cartesianas xyz sofrem uma transformação linear, então o valor numérico da densidade ρ deve mudar por um fator do recíproco do valor absoluto do determinante da transformação de coordenadas, de modo que a integral permaneça invariante, pelo alteração da fórmula de variáveis para integração. Essa quantidade que escala pelo recíproco do valor absoluto do determinante do mapa de transição de coordenadas é chamada de densidade escalar . Para modelar uma densidade não constante, ρ é uma função das variáveis xyz (um campo escalar ), e sob uma mudança curvilínea de coordenadas, ele se transforma pelo recíproco do Jacobiano da mudança de coordenadas. Para obter mais informações sobre o significado intrínseco, consulte Densidade em uma variedade .

Uma densidade de tensor se transforma como um tensor sob uma mudança de coordenada, exceto que, além disso, pega um fator do valor absoluto do determinante da transição de coordenada:

Aqui, w é chamado de peso. Em geral, qualquer tensor multiplicado por uma potência desta função ou seu valor absoluto é chamado de densidade de tensor ou um tensor ponderado. Um exemplo de densidade de tensor é a densidade de corrente do eletromagnetismo .

Sob uma transformação afim das coordenadas, um tensor se transforma pela parte linear da própria transformação (ou seu inverso) em cada índice. Eles vêm das representações racionais do grupo linear geral. Mas esta não é exatamente a lei de transformação linear mais geral que tal objeto pode ter: densidades tensoriais não são racionais, mas ainda são representações semi-simples . Uma outra classe de transformações vem da representação logarítmica do grupo linear geral, uma representação redutível, mas não semi-simples, que consiste em um ( x , y ) ∈ R 2 com a lei de transformação

Objetos geométricos

A lei de transformação para um tensor se comporta como um functor na categoria de sistemas de coordenadas admissíveis, sob transformações lineares gerais (ou, outras transformações dentro de alguma classe, como difeomorfismos locais ). Isso torna um tensor um caso especial de um objeto geométrico, em o sentido técnico de que é uma função do sistema de coordenadas que se transforma funcionalmente sob mudanças de coordenadas. Exemplos de objetos que obedecem a tipos mais gerais de leis de transformação são jatos e, de modo mais geral, feixes naturais .

Spinors

Ao mudar de uma base ortonormal (chamada de quadro ) para outra por uma rotação, os componentes de um tensor se transformam por essa mesma rotação. Essa transformação não depende do caminho percorrido no espaço das molduras. No entanto, o espaço das molduras não é simplesmente conectado (ver emaranhamento de orientação e truque da placa ): existem percursos contínuos no espaço das molduras com as mesmas configurações de início e fim que não são deformáveis ​​uma na outra. É possível anexar um invariante discreto adicional a cada quadro que incorpora essa dependência de caminho, e que acaba (localmente) por ter valores de ± 1. Um spinor é um objeto que se transforma como um tensor sob rotações no quadro, além de um possível sinal que é determinado pelo valor deste invariante discreto.

Sucintamente, espinores são elementos da representação de spin do grupo de rotação, enquanto tensores são elementos de suas representações de tensores . Outros grupos clássicos têm representações de tensores e, portanto, também tensores que são compatíveis com o grupo, mas todos os grupos clássicos não compactos também têm representações unitárias de dimensão infinita.

História

Os conceitos da análise tensorial posterior surgiram do trabalho de Carl Friedrich Gauss em geometria diferencial , e a formulação foi muito influenciada pela teoria das formas algébricas e invariantes desenvolvida durante a metade do século XIX. A própria palavra "tensor" foi introduzida em 1846 por William Rowan Hamilton para descrever algo diferente do que agora se entende por tensor. O uso contemporâneo foi introduzido por Woldemar Voigt em 1898.

O cálculo tensorial foi desenvolvido por volta de 1890 por Gregorio Ricci-Curbastro sob o título cálculo diferencial absoluto e originalmente apresentado por Ricci-Curbastro em 1892. Foi tornado acessível a muitos matemáticos com a publicação de 1900 de Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita texto clássico Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (Métodos de cálculo diferencial absoluto e suas aplicações).

No século 20, o assunto veio a ser conhecido como tensor análise , e obteve aceitação mais ampla com a introdução de Einstein teoria da 's relatividade geral , em torno de 1915. A relatividade geral é formulado completamente na linguagem dos tensores. Einstein aprendera sobre eles, com grande dificuldade, com o geômetra Marcel Grossmann . Levi-Civita então iniciou uma correspondência com Einstein para corrigir os erros que Einstein cometeu ao usar a análise tensorial. A correspondência durou 1915-1917 e foi caracterizada pelo respeito mútuo:

Admiro a elegância de seu método de computação; deve ser bom cavalgar por esses campos no cavalo da verdadeira matemática, enquanto nós temos que fazer o nosso caminho laboriosamente a pé.

-  Albert Einstein

Os tensores também foram considerados úteis em outros campos, como a mecânica do contínuo . Alguns exemplos bem conhecidos de tensores em geometria diferencial são formas quadráticas , como tensores métricos e o tensor de curvatura de Riemann . A álgebra exterior de Hermann Grassmann , de meados do século XIX, é ela própria uma teoria tensorial, e altamente geométrica, mas demorou um pouco para ser vista, com a teoria das formas diferenciais , como naturalmente unificada com o cálculo tensorial. O trabalho de Élie Cartan fez das formas diferenciais um dos tipos básicos de tensores usados ​​na matemática.

Por volta da década de 1920 em diante, percebeu-se que os tensores desempenham um papel básico na topologia algébrica (por exemplo, no teorema de Künneth ). Correspondentemente, existem tipos de tensores em ação em muitos ramos da álgebra abstrata , particularmente na álgebra homológica e na teoria da representação . A álgebra multilinear pode ser desenvolvida em maior generalidade do que para escalares vindos de um campo . Por exemplo, escalares podem vir de um anel . Mas a teoria é menos geométrica e os cálculos mais técnicos e menos algorítmicos. Os tensores são generalizados dentro da teoria das categorias por meio do conceito de categoria monoidal , da década de 1960.

Veja também

Fundacional

Formulários

Notas

Referências

Específico

Em geral

links externos