Tesselação - Tessellation

Ladrilhos de terracota Zellige em Marrakech , formando tesselações de ponta a ponta, regulares e outras
Uma escultura de parede em Leeuwarden celebrando as tesselações artísticas de MC Escher

A tesselação ou ladrilho de uma superfície plana é a cobertura de um plano usando uma ou mais formas geométricas , chamadas ladrilhos , sem sobreposições e sem lacunas. Em matemática , as tesselações podem ser generalizadas para dimensões superiores e uma variedade de geometrias.

Um mosaico periódico tem um padrão de repetição. Alguns tipos especiais incluem pavimentações regulares com poligonais regulares azulejos todos da mesma forma, e tilings semi-regulares com telhas regulares de mais de uma forma e com cada canto de forma idêntica arranjado. Os padrões formados por ladrilhos periódicos podem ser categorizados em 17 grupos de papéis de parede . Um mosaico que carece de um padrão de repetição é denominado "não periódico". Um ladrilho aperiódico usa um pequeno conjunto de formas de ladrilho que não podem formar um padrão repetido. Na geometria de dimensões superiores, um preenchimento de espaço ou favo de mel também é chamado de mosaico de espaço .

Um mosaico físico real é um ladrilho feito de materiais como quadrados de cerâmica cimentados ou hexágonos. Essas telhas podem ser padrões decorativos ou podem ter funções como fornecer pavimento , piso ou revestimentos de parede duráveis ​​e resistentes à água . Historicamente, as tesselações eram usadas na Roma Antiga e na arte islâmica , como na arquitetura marroquina e nos ladrilhos geométricos decorativos do palácio de Alhambra . No século XX, a obra de MC Escher frequentemente fazia uso de tesselações, tanto na geometria euclidiana comum quanto na geometria hiperbólica , para efeito artístico. Tesselações às vezes são empregadas para efeito decorativo em acolchoado . Tesselações formam uma classe de padrões na natureza , por exemplo, nas matrizes de células hexagonais encontradas em favos de mel .

História

Um mosaico de templo da antiga cidade suméria de Uruk IV (3400–3100 aC), mostrando um padrão de mosaico em azulejos coloridos

Tesselações foram usadas pelos sumérios (cerca de 4000 aC) na construção de decorações de parede formadas por padrões de telhas de argila.

Ladrilhos decorativos de mosaico feitos de pequenos blocos quadrados chamados tesselas foram amplamente empregados na antiguidade clássica , às vezes exibindo padrões geométricos.

Em 1619, Johannes Kepler fez um primeiro estudo documentado de tesselações. Ele escreveu sobre tesselações regulares e semiregulares em seu Harmonices Mundi ; ele foi possivelmente o primeiro a explorar e explicar as estruturas hexagonais do favo de mel e dos flocos de neve .

Mosaico geométrico romano

Cerca de duzentos anos depois, em 1891, o cristalógrafo russo Yevgraf Fyodorov provou que cada ladrilho periódico do avião apresenta um dos dezessete grupos diferentes de isometrias. O trabalho de Fyodorov marcou o início não oficial do estudo matemático de tesselações. Outros contribuidores proeminentes incluem Aleksei Shubnikov e Nikolai Belov (1964), e Heinrich Heesch e Otto Kienzle (1963). (Editado por uma pessoa)

Etimologia

Em latim, tessela é uma pequena peça cúbica de argila , pedra ou vidro usada para fazer mosaicos. A palavra "tessella" significa "pequeno quadrado" (de tessera , quadrado, que por sua vez vem da palavra grega τέσσερα para quatro ). Corresponde ao termo cotidiano ladrilho , que se refere a aplicações de mosaicos , muitas vezes feitos de argila esmaltada .

Visão geral

Uma telha rhombitrihexagonal : piso de cerâmica no Museu Arqueológico de Sevilha , Espanha, usando protótipos quadrado, triângulo e hexágono

Tesselação em duas dimensões, também chamada de ladrilho plano, é um tópico da geometria que estuda como as formas, conhecidas como ladrilhos , podem ser organizadas para preencher um plano sem lacunas, de acordo com um determinado conjunto de regras. Essas regras podem ser variadas. Os mais comuns são que não deve haver espaços entre os ladrilhos e que nenhum canto de um ladrilho pode ficar ao longo da borda de outro. As tesselações criadas por alvenaria colada não obedecem a esta regra. Entre aqueles que têm, uma tesselação regular tem ladrilhos regulares idênticos e cantos ou vértices regulares idênticos, tendo o mesmo ângulo entre as bordas adjacentes para cada ladrilho. Existem apenas três formas que podem formar tais tesselações regulares: o triângulo equilátero , o quadrado e o hexágono regular . Qualquer uma dessas três formas pode ser duplicada infinitamente para preencher um plano sem lacunas.

Muitos outros tipos de mosaico são possíveis sob diferentes restrições. Por exemplo, existem oito tipos de mosaico semirregular, feitos com mais de um tipo de polígono regular, mas ainda com o mesmo arranjo de polígonos em todos os cantos. Tesselações irregulares também podem ser feitas de outras formas, como pentágonos , poliominós e, na verdade, quase qualquer tipo de forma geométrica. O artista MC Escher é famoso por fazer mosaicos com ladrilhos irregulares e entrelaçados, em forma de animais e outros objetos naturais. Se cores contrastantes adequadas forem escolhidas para os ladrilhos de formas diferentes, padrões impressionantes são formados e podem ser usados ​​para decorar superfícies físicas, como pisos de igrejas.

As elaboradas e coloridas ladrilhos zellige de azulejos da Alhambra, na Espanha, que chamaram a atenção de MC Escher

Mais formalmente, uma tesselação ou ladrilho é uma cobertura do plano euclidiano por um número contável de conjuntos fechados, chamados ladrilhos , de modo que os ladrilhos se cruzam apenas em seus limites . Esses blocos podem ser polígonos ou quaisquer outras formas. Muitas tesselações são formadas a partir de um número finito de protótipos em que todos os ladrilhos na tesselação são congruentes com os protótipos dados. Se uma forma geométrica pode ser usada como um prototile para criar uma pastilha, a forma é dito tessellate ou a telha do plano . O critério de Conway é um conjunto de regras suficiente, mas não necessário, para decidir se uma determinada forma agrupa o plano periodicamente sem reflexos: alguns blocos falham no critério, mas ainda agrupam o plano. Nenhuma regra geral foi encontrada para determinar se uma determinada forma pode ladrilhar o plano ou não, o que significa que há muitos problemas não resolvidos relativos a tesselações.

Matematicamente, as tesselações podem ser estendidas a outros espaços além do plano euclidiano. O geômetra suíço Ludwig Schläfli foi o pioneiro ao definir polisquemas , que os matemáticos hoje chamam de politopos . Esses são análogos aos polígonos e poliedros em espaços com mais dimensões. Ele também definiu a notação do símbolo Schläfli para facilitar a descrição de politopos. Por exemplo, o símbolo Schläfli para um triângulo equilátero é {3}, enquanto que para um quadrado é {4}. A notação Schläfli torna possível descrever as telhas de forma compacta. Por exemplo, um mosaico de hexágonos regulares tem três polígonos de seis lados em cada vértice, então seu símbolo Schläfli é {6,3}.

Outros métodos também existem para descrever revestimentos poligonais. Quando o mosaico é feito de polígonos regulares, a notação mais comum é a configuração do vértice , que é simplesmente uma lista do número de lados dos polígonos ao redor de um vértice. O ladrilho quadrado tem uma configuração de vértice de 4.4.4.4 ou 4 4 . O mosaico de hexágonos regulares é observado em 6.6.6 ou 6 3 .

Na matemática

Introdução a tesselações

Os matemáticos usam alguns termos técnicos ao discutir coisas. Uma aresta é a interseção entre dois ladrilhos vizinhos; geralmente é uma linha reta. Um vértice é o ponto de intersecção de três ou mais ladrilhos limítrofes. Usando esses termos, um ladrilho isogonal ou transitivo de vértice é um ladrilho onde cada ponto de vértice é idêntico; ou seja, o arranjo dos polígonos em cada vértice é o mesmo. A região fundamental é uma forma como um retângulo que é repetido para formar o mosaico. Por exemplo, um mosaico regular do plano com quadrados tem um encontro de quatro quadrados em cada vértice .

Os lados dos polígonos não são necessariamente idênticos às bordas dos ladrilhos. Um ladrilho de ponta a ponta é qualquer mosaico poligonal em que os ladrilhos adjacentes compartilham apenas um lado completo, ou seja, nenhum ladrilho compartilha um lado parcial ou mais de um lado com qualquer outro ladrilho. Em um revestimento de ponta a ponta, os lados dos polígonos e as bordas dos blocos são iguais. O familiar lado a lado da "parede de tijolos" não é de ponta a ponta porque o lado comprido de cada tijolo retangular é compartilhado com dois tijolos adjacentes.

Um ladrilho normal é um mosaico para o qual cada ladrilho é topologicamente equivalente a um disco , a interseção de quaisquer dois ladrilhos é um conjunto conectado ou o conjunto vazio e todos os ladrilhos são uniformemente limitados . Isso significa que um único raio de circunscrição e um único raio de inscrição podem ser usados ​​para todos os ladrilhos em todo o ladrilho; a condição não permite ladrilhos patologicamente longos ou finos.

Exemplo
de ladrilho de ponta a ponta:
o 15º ladrilho pentagonal monohédrico convexo , descoberto em 2015

Uma telha monohedral é uma tesselação na qual todas as ladrilhos são congruentes ; tem apenas um prototil. Um tipo particularmente interessante de mosaico monohédrico é o ladrilho monoédrico em espiral. A primeira telha monoédrica em espiral foi descoberta por Heinz Voderberg em 1936; o ladrilho de Voderberg tem um ladrilho unitário que é um eneagono não convexo . O ladrilho de Hirschhorn , publicado por Michael D. Hirschhorn e DC Hunt em 1985, é um ladrilho pentágono usando pentágonos irregulares: pentágonos regulares não podem ladrilhar o plano euclidiano como o ângulo interno de um pentágono regular,3 π/5, não é um divisor de 2 π .

Um ladrilho isohedral é uma variação especial de um ladrilho monohedral em que todos os ladrilhos pertencem à mesma classe de transitividade, ou seja, todos os ladrilhos são transformados do mesmo prototila sob o grupo de simetria do ladrilho. Se um prototil admite uma telha, mas nenhuma tal telha é isohedral, então o prototile é chamado anisohedral e forma ladrilhos anisoédrica .

Um mosaico regular é um mosaico altamente simétrico de ponta a ponta feito de polígonos regulares , todos com o mesmo formato. Existem apenas três tesselações regulares: aquelas feitas de triângulos equiláteros , quadrados ou hexágonos regulares . Todas essas três telhas são isogonais e monohédricas.

Um ladrilho pitagórico
não é um ladrilho ponta a ponta .

Uma tesselação semirregular (ou Arquimediana) usa mais de um tipo de polígono regular em um arranjo isogonal. Existem oito telhas semirregulares (ou nove, se o par de telhas de imagem espelhada contar como dois). Eles podem ser descritos por sua configuração de vértice ; por exemplo, uma telha semirregular usando quadrados e octógonos regulares tem a configuração de vértice 4,8 2 (cada vértice tem um quadrado e dois octógonos). Muitas telhas não borda a borda do plano euclidiano são possíveis, incluindo a família das telhas pitagóricas , mosaicos que usam dois tamanhos (parametrizados) de quadrado, cada quadrado tocando quatro quadrados do outro tamanho. Uma tesselação de aresta é aquela em que cada ladrilho pode ser refletido sobre uma aresta para ocupar a posição de um ladrilho vizinho, como em uma matriz de triângulos equiláteros ou isósceles.

Grupos de papel de parede

Este pavimento de rua monocromático e tesselado usa formas curvas em vez de polígonos. Pertence ao grupo de papéis de parede p3.

Tilings com simetria translacional em duas direções independentes podem ser categorizados por grupos de papel de parede , dos quais 17 existem. Alegou-se que todos os dezessete desses grupos estão representados no palácio de Alhambra em Granada , Espanha . Embora isso seja contestado, a variedade e sofisticação das telhas de Alhambra surpreenderam os pesquisadores modernos. Das três telhas regulares, duas estão no grupo de papel de parede p6m e uma está no p4m . Tilings em 2D com simetria translacional em apenas uma direção podem ser categorizados pelos sete grupos de frisos que descrevem os padrões de frisos possíveis . A notação orbifold pode ser usada para descrever grupos de papéis de parede do plano euclidiano.

Aperiódica

Uma telha Penrose , com várias simetrias, mas sem repetições periódicas

As telhas Penrose , que usam dois protótipos quadriláteros diferentes, são o exemplo mais conhecido de telhas que criam padrões não periódicos à força. Eles pertencem a uma classe geral de ladrilhos aperiódicos , que usam ladrilhos que não podem tesselar periodicamente. O processo recursivo de substituição de ladrilhos é um método de geração de ladrilhos aperiódicos. Uma classe que pode ser gerada dessa forma são os rep-tiles ; essas coisas têm propriedades surpreendentes de auto-replicação . As telhas do catavento não são periódicas, usando uma construção rep-tile; os ladrilhos aparecem em infinitas orientações. Pode-se pensar que um padrão não periódico seria totalmente sem simetria, mas não é assim. As telhas aperiódicas, embora carecem de simetria translacional , têm simetrias de outros tipos, pela repetição infinita de qualquer remendo limitado do ladrilho e em certos grupos finitos de rotações ou reflexos desses remendos. Uma regra de substituição, como a que pode ser usada para gerar alguns padrões de Penrose usando conjuntos de ladrilhos chamados de losangos, ilustra a simetria de escala. Uma palavra Fibonacci pode ser usada para construir uma telha aperiódica e para estudar quasicristais , que são estruturas com ordem aperiódica.

Um conjunto de 13 ladrilhos Wang que ladrilham o avião apenas aperiodicamente

Os ladrilhos Wang são quadrados coloridos em cada borda e colocados de forma que as bordas adjacentes dos ladrilhos tenham a mesma cor; portanto, às vezes são chamados de dominós Wang . Um conjunto adequado de dominós Wang pode cobrir o avião, mas apenas aperiodicamente. Isso é conhecido porque qualquer máquina de Turing pode ser representada como um conjunto de dominós Wang que ladrilham o avião se e somente se a máquina de Turing não parar. Uma vez que o problema da parada é indecidível, o problema de decidir se um jogo de dominó Wang pode lado a lado o avião também é indecidível.

Ladrilhos aleatórios de truchos

Ladrilhos truchet são ladrilhos quadrados decorados com padrões para que não tenham simetria rotacional ; em 1704, Sébastien Truchet usou um ladrilho quadrado dividido em dois triângulos de cores contrastantes. Eles podem dividir o avião periodicamente ou aleatoriamente.

Tesselações e cor

Para que as cores desse ladrilho formem um padrão repetindo esse retângulo como domínio fundamental , são necessárias pelo menos sete cores; mais geralmente, pelo menos quatro cores são necessárias.

Às vezes, a cor de um ladrilho é entendida como parte do ladrilho; em outras ocasiões, cores arbitrárias podem ser aplicadas posteriormente. Ao discutir um ladrilho que é exibido em cores, para evitar ambiguidades, é necessário especificar se as cores fazem parte do ladrilho ou apenas parte de sua ilustração. Isso afeta se os ladrilhos com a mesma forma, mas com cores diferentes, são considerados idênticos, o que, por sua vez, afeta as questões de simetria. O teorema das quatro cores afirma que para cada mosaico de um plano euclidiano normal , com um conjunto de quatro cores disponíveis, cada ladrilho pode ser colorido em uma cor de forma que nenhum ladrilho de cor igual se encontre em uma curva de comprimento positivo. A coloração garantida pelo teorema das quatro cores geralmente não respeita as simetrias da tesselação. Para produzir uma coloração que o faça, é necessário tratar as cores como parte da tesselação. Aqui, até sete cores podem ser necessárias, como na imagem à direita.

Tesselações com polígonos

Uma telha Voronoi , na qual as células são sempre polígonos convexos.

Ao lado das várias ladrilhos por polígonos regulares , ladrilhos por outros polígonos também foram estudados.

Qualquer triângulo ou quadrilátero (mesmo não convexo ) pode ser usado como um prototila para formar um mosaico monohédrico, geralmente de mais de uma maneira. As cópias de um quadrilátero arbitrário podem formar um mosaico com simetria translacional e simetria rotacional 2 vezes com centros nos pontos médios de todos os lados. Para um quadrilátero assimétrico, este ladrilho pertence ao grupo de papel de parede p2 . Como domínio fundamental , temos o quadrilátero. De forma equivalente, podemos construir um paralelogramo subtendido por um conjunto mínimo de vetores de translação, partindo de um centro rotacional. Podemos dividir isso por uma diagonal e tomar a metade (um triângulo) como domínio fundamental. Esse triângulo tem a mesma área do quadrilátero e pode ser construído a partir dele, cortando e colando.

Se apenas uma forma de ladrilho for permitida, existem ladrilhos com N- pontos convexos para N igual a 3, 4, 5 e 6. Para N = 5 , consulte Ladrilho pentagonal , para N = 6 , consulte Ladrilho hexagonal , para N = 7 , consulte Ladrilhos heptagonais e para N = 8 , consulte Ladrilhos octogonais .

Para obter resultados sobre o ladrilho do plano com poliominós , consulte Poliominós § Usos de poliominós .

Coisas Voronoi

Ladrilhos de Voronoi ou Dirichlet são tesselações em que cada ladrilho é definido como o conjunto de pontos mais próximo de um dos pontos em um conjunto discreto de pontos de definição. (Pense em regiões geográficas onde cada região é definida como todos os pontos mais próximos de uma determinada cidade ou agência postal.) A célula de Voronoi para cada ponto definido é um polígono convexo. A triangulação de Delaunay é uma tesselação que é o gráfico dual de uma tesselação de Voronoi. As triangulações de Delaunay são úteis na simulação numérica, em parte porque entre todas as triangulações possíveis dos pontos de definição, as triangulações de Delaunay maximizam o mínimo dos ângulos formados pelas arestas. Ladrilhos Voronoi com pontos colocados aleatoriamente podem ser usados ​​para construir ladrilhos aleatórios do avião.

Pavimentações em dimensões superiores

Tesselando o espaço tridimensional: o dodecaedro rômbico é um dos sólidos que podem ser empilhados para preencher o espaço com exatidão .

O mosaico pode ser estendido para três dimensões. Certos poliedros podem ser empilhados em um padrão de cristal regular para preencher (ou ladrilhar) o espaço tridimensional, incluindo o cubo (o único poliedro platônico a fazer isso), o dodecaedro rômbico , o octaedro truncado e prismas triangulares, quadriláteros e hexagonais , entre outros. Qualquer poliedro que se enquadre neste critério é conhecido como plesioedro e pode possuir entre 4 e 38 faces. Dodecaedros rômbicos de ocorrência natural são encontrados como cristais de andradita (um tipo de granada ) e fluorita .

Ilustração de um biprisma Schmitt-Conway, também chamado de bloco Schmitt-Conway-Danzer

Pavimentações em três ou mais dimensões são chamadas de favos de mel . Em três dimensões, há apenas um favo de mel regular, que possui oito cubos em cada vértice de poliedro. Da mesma forma, em três dimensões, há apenas um favo de mel quasi-regular, que tem oito tetraedros e seis octaedros em cada vértice poliedro. No entanto, existem muitos favos de mel semirregulares possíveis em três dimensões. Poliedros uniformes podem ser construídos usando a construção Wythoff .

O biprisma de Schmitt-Conway é um poliedro convexo com a propriedade de espaço lado a lado apenas aperiodicamente.

Um triângulo de Schwarz é um triângulo esférico que pode ser usado para colocar uma esfera em mosaico .

Tesselações em geometrias não euclidianas

Mosaico rombitriheptagonal no plano hiperbólico, visto na projeção do modelo de disco de Poincaré
O favo de mel {3,5,3} icosaédrico regular , um dos quatro favos de mel compactos regulares no espaço 3 hiperbólico

É possível tesselar em geometrias não euclidianas , como geometria hiperbólica . Um revestimento uniforme no plano hiperbólico (que pode ser regular, quase regular ou semirregular) é um preenchimento de ponta a ponta do plano hiperbólico, com polígonos regulares como faces ; estes são transitivos de vértice ( transitivos em seus vértices ) e isogonais (há uma isometria que mapeia qualquer vértice em qualquer outro).

Um favo de mel uniforme no espaço hiperbólico é um mosaico uniforme de células poliédricas uniformes . No espaço hiperbólico tridimensional, há nove famílias de grupos de Coxeter de favos de mel uniformes convexos compactos , gerados como construções de Wythoff e representados por permutações de anéis dos diagramas de Coxeter para cada família.

Em arte

Painel de chão em mosaico romano de pedra, ladrilho e vidro, de uma villa perto de Antioquia, na Síria Romana. Século 2 DC

Na arquitetura, os mosaicos têm sido usados ​​para criar motivos decorativos desde os tempos antigos. As telhas do mosaico costumavam ter padrões geométricos. As civilizações posteriores também usaram ladrilhos maiores, simples ou decorados individualmente. Algumas das mais decorativas foram as telhas mouriscas de arquitetura islâmica , usando azulejos Girih e Zellige em edifícios como a Alhambra e a La Mezquita .

Tesselações freqüentemente apareciam na arte gráfica de MC Escher ; ele foi inspirado pelo uso mouro da simetria em lugares como a Alhambra quando visitou a Espanha em 1936. Escher fez quatro desenhos de " Limite do Círculo " de telhas que usam geometria hiperbólica. Para sua xilogravura "Circle Limit IV" (1960), Escher preparou um estudo a lápis e tinta mostrando a geometria necessária. Escher explicou que "Nenhum componente isolado de todas as séries, que de uma distância infinita e distante sobem como foguetes perpendicularmente do limite e finalmente se perdem nele, jamais atinge a linha de fronteira."

Uma colcha mostrando um padrão de mosaico regular

Desenhos de mosaico costumam aparecer em tecidos, sejam tecidos, costurados ou impressos. Os padrões de mosaico têm sido usados ​​para projetar motivos interligados de formas de remendo em colchas .

Tesselações também são um gênero principal no origami (dobradura de papel), onde as pregas são usadas para conectar moléculas, como dobras de torção, de forma repetitiva.

Na manufatura

A tesselação é usada na indústria de manufatura para reduzir o desperdício de material (perdas de rendimento), como folhas de metal, ao cortar formas para objetos como portas de carros ou latas de bebidas .

A tesselação é aparente no craqueamento de filmes finos semelhante a rachaduras de lama - com um grau de auto-organização sendo observado usando micro e nanotecnologias .

Na natureza

Um favo de mel é uma estrutura tesselada natural.

O favo de mel é um exemplo bem conhecido de mosaico na natureza com suas células hexagonais.

Padrão de mosaico em uma flor de Colchicum

Na botânica, o termo "mosaico" descreve um padrão xadrez, por exemplo, em uma pétala de flor, casca de árvore ou fruta. As flores, incluindo o fritilar e algumas espécies de Colchicum, são tipicamente tesseladas.

Muitos padrões na natureza são formados por rachaduras em folhas de materiais. Esses padrões podem ser descritos por tesselações de Gilbert , também conhecidas como redes de crack aleatórias. O mosaico de Gilbert é um modelo matemático para a formação de rachaduras de lama , cristais em forma de agulha e estruturas semelhantes. O modelo, batizado em homenagem a Edgar Gilbert , permite que fissuras se formem a partir de aleatoriamente espalhadas pelo plano; cada fenda se propaga em duas direções opostas ao longo de uma linha através do ponto de iniciação, sua inclinação escolhida aleatoriamente, criando um mosaico de polígonos convexos irregulares. Os fluxos de lava basáltica geralmente exibem junções colunares como resultado das forças de contração que causam rachaduras à medida que a lava esfria. As extensas redes de fissuras que se desenvolvem frequentemente produzem colunas hexagonais de lava. Um exemplo de tal conjunto de colunas é a Calçada dos Gigantes na Irlanda do Norte. O pavimento em mosaico , um exemplo característico do qual é encontrado em Eaglehawk Neck, na Península da Tasmânia , é uma rara formação de rocha sedimentar onde a rocha se fraturou em blocos retangulares.

Outros padrões naturais ocorrem em espumas ; estes são embalados de acordo com as leis de Plateau , que exigem superfícies mínimas . Essas espumas apresentam um problema de como compactar as células da forma mais compacta possível: em 1887, Lord Kelvin propôs um empacotamento usando apenas um sólido, o favo de mel cúbico bitruncado com faces ligeiramente curvas. Em 1993, Denis Weaire e Robert Phelan propuseram a estrutura Weaire-Phelan , que usa menos área de superfície para separar células de igual volume do que a espuma de Kelvin.

Em quebra-cabeças e matemática recreativa

Tessellations deram origem a muitos tipos de ladrilhos de quebra-cabeça , do tradicional quebra-cabeças (com pedaços irregulares de madeira ou papelão) e do tangram de quebra-cabeças mais modernos que muitas vezes têm uma base matemática. Por exemplo, poliamonds e poliominós são figuras de triângulos e quadrados regulares, freqüentemente usados ​​em quebra-cabeças de ladrilhos. Autores como Henry Dudeney e Martin Gardner fizeram muitos usos da tesselação na matemática recreativa . Por exemplo, Dudeney inventou a dissecção com dobradiças , enquanto Gardner escreveu sobre o réptil , uma forma que pode ser dissecada em cópias menores da mesma forma. Inspirada pelos artigos de Gardner na Scientific American , a matemática amadora Marjorie Rice descobriu quatro novas tesselações com pentágonos. Quadrar o quadrado é o problema de colocar lado a lado um quadrado integral (aquele cujos lados têm comprimento inteiro) usando apenas outros quadrados inteiros. Uma extensão está elevando o plano ao quadrado, dividindo-o em quadrados cujos tamanhos são todos números naturais sem repetições; James e Frederick Henle provaram que isso era possível.

Exemplos

Veja também

Notas de rodapé

Referências

Fontes

links externos