Tetraedro - Tetrahedron

Tetraedro regular
Tetrahedron.jpg
(Clique aqui para o modelo rotativo)
Modelo Sólido platônico
Código curto 3> 2z
Elementos F = 4, E = 6
V = 4 (χ = 2)
Rostos por lados 4 {3}
Notação de Conway T
Símbolos Schläfli {3,3}
h {4,3}, s {2,4}, sr {2,2}
Configuração de rosto V3.3.3
Símbolo Wythoff 3 | 2 3
| 2 2 2
Diagrama de Coxeter CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
Simetria T d , A 3 , [3,3], (* 332)
Grupo de rotação T , [3,3] + , (332)
Referências U 01 , C 15 , W 1
Propriedades regular , deltaedro convexo
Ângulo diédrico 70,528779 ° = arccos ( 13 )
Tetrahedron vertfig.png
3.3.3
( figura do vértice )
Tetrahedron.png
Autodual
( poliedro duplo )
Tetraedro flat.svg
Internet
Tetraedro ( Matemateca IME-USP )
Modelo 3D de tetraedro regular.

Em geometria , um tetraedro (plural: tetraedro ou tetraedro ), também conhecido como pirâmide triangular , é um poliedro composto de quatro faces triangulares , seis arestas retas e quatro vértices . O tetraedro é o mais simples de todos os poliedros convexos comuns e o único que possui menos de 5 faces.

O tetraedro é o caso tridimensional do conceito mais geral de simplex euclidiano e, portanto, também pode ser chamado de simplex 3 .

O tetraedro é um tipo de pirâmide , que é um poliedro com uma base poligonal plana e faces triangulares conectando a base a um ponto comum. No caso de um tetraedro, a base é um triângulo (qualquer uma das quatro faces pode ser considerada a base), portanto, um tetraedro também é conhecido como "pirâmide triangular".

Como todos os poliedros convexos , um tetraedro pode ser dobrado em uma única folha de papel. Possui duas dessas redes .

Para qualquer tetraedro, existe uma esfera (chamada circunsfera ) na qual todos os quatro vértices se encontram, e outra esfera (a esfera interna ) tangente às faces do tetraedro.

Tetraedro regular

Um tetraedro regular é um tetraedro no qual todas as quatro faces são triângulos equiláteros . É um dos cinco sólidos platônicos regulares , que são conhecidos desde a antiguidade.

Em um tetraedro regular, todas as faces têm o mesmo tamanho e forma (congruentes) e todas as arestas têm o mesmo comprimento.

Cinco tetraedros são colocados em um plano, com os pontos tridimensionais mais altos marcados como 1, 2, 3, 4 e 5. Esses pontos são então ligados uns aos outros e um fino volume de espaço vazio é deixado, onde os cinco os ângulos das bordas não se encontram.

Os tetraedros regulares por si só não tesselam (preenchem o espaço), mas se alternados com octaedros regulares na proporção de dois tetraedros para um octaedro, eles formam o favo de mel cúbico alternado , que é um mosaico. Alguns tetraedros que não são regulares, incluindo o orthoscheme Schläfli e o tetraedro Hill , podem tesselar .

O tetraedro regular é autodual, o que significa que seu dual é outro tetraedro regular. O composto figura compreendendo dois tal forma dual tetraedros um octaedro estrelado ou octangula Stella.

Coordenadas para um tetraedro regular

As seguintes coordenadas cartesianas definem os quatro vértices de um tetraedro com comprimento de aresta 2, centralizado na origem, e duas arestas de nível:

Expressos simetricamente como 4 pontos na esfera unitária , centróide na origem, com nível de face inferior, os vértices são:

com o comprimento da borda de .

Ainda outro conjunto de coordenadas é baseado em um cubo alternado ou semicubo com comprimento de aresta 2. Esta forma tem o diagrama de Coxeter CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pnge Schläfli símbolo h {4,3}. O tetraedro, neste caso, tem comprimento de aresta 2 2 . A inversão dessas coordenadas gera o tetraedro dual, e o par juntos formam o octaedro estrelado, cujos vértices são os do cubo original.

Tetraedro: (1,1,1), (1, −1, −1), (−1,1, −1), (−1, −1,1)
Tetraedro duplo: (−1, −1, −1), (−1,1,1), (1, −1,1), (1,1, −1)
Tetraedro regular ABCD e sua esfera circunscrita

Ângulos e distâncias

Para um tetraedro regular de comprimento de borda a :

Área do rosto
Superfície
Altura da pirâmide
Distância do centro ao vértice
Distância de borda a borda oposta
Volume
Ângulo face-vértice-borda
(aprox. 54,7356 °)
Ângulo face-aresta-face , ou seja, "ângulo diédrico"
(aprox. 70,5288 °)
Ângulo vértice-centro-vértice, o ângulo entre as linhas do centro do tetraedro a quaisquer dois vértices. É também o ângulo entre as bordas do Platô em um vértice. Em química, é chamado de ângulo de ligação tetraédrico . Este ângulo (em radianos) também é o comprimento de arco do segmento geodésico na esfera unitária resultante da projeção central de uma borda do tetraedro para a esfera.
(aprox. 109,4712 °)
Ângulo sólido em um vértice subtendido por uma face
(aprox. 0.55129 esferorradiano )
(aprox. 1809.8 graus quadrados )
Raio da circunsfera
Raio da esfera interna que é tangente às faces
Raio da esfera média que é tangente às bordas
Raio de exspheres
Distância ao centro da exsfera do vértice oposto

Com relação ao plano de base, a inclinação de uma face (2 2 ) é duas vezes a de uma aresta ( 2 ), correspondendo ao fato de que a distância horizontal percorrida da base ao ápice ao longo de uma aresta é duas vezes maior que ao longo do mediana de um rosto. Em outras palavras, se C é o centroide da base, a distância de C a um vértice da base é o dobro de C até o ponto médio de uma aresta da base. Isso decorre do fato de que as medianas de um triângulo se cruzam em seu centróide, e esse ponto divide cada um deles em dois segmentos, um dos quais tem o dobro do comprimento do outro (veja a prova ).

Para um tetraedro regular com comprimento lateral a , raio R de sua esfera circunscrita e distâncias d i de um ponto arbitrário no espaço 3 até seus quatro vértices, temos

Isometrias do tetraedro regular

As rotações adequadas (rotação de ordem 3 em um vértice e face, e ordem 2 em duas arestas) e plano de reflexão (por meio de duas faces e uma aresta) no grupo de simetria do tetraedro regular

Os vértices de um cubo podem ser agrupados em dois grupos de quatro, cada um formando um tetraedro regular (veja acima, e também a animação , mostrando um dos dois tetraedros no cubo). As simetrias de um tetraedro regular correspondem à metade das de um cubo: aquelas que mapeiam os tetraedros para si próprios, e não entre si.

O tetraedro é o único sólido platônico que não é mapeado para si mesmo por inversão de pontos .

O tetraedro regular tem 24 isometries, formando o grupo de simetria T d , [3,3], (* 332), isomorfo para o grupo simétrico , S 4 . Eles podem ser categorizados da seguinte forma:

  • T , [3,3] + , (332) é isomórfico ao grupo alternado , A 4 (a identidade e 11 rotações próprias) com as seguintes classes de conjugação (entre parênteses são dadas as permutações dos vértices, ou correspondentemente, as faces, e a representação de quatérnio unitário ):
    • identidade (identidade; 1)
    • rotação em torno de um eixo através de um vértice, perpendicular ao plano oposto, por um ângulo de ± 120 °: 4 eixos, 2 por eixo, juntos 8 ((1 2 3) , etc .; 1 ± i ± j ± k/2)
    • rotação por um ângulo de 180 °, de modo que uma borda seja mapeada para a borda oposta: 3 ((1 2) (3 4) , etc .; i , j , k )
  • reflexões em um plano perpendicular a uma aresta: 6
  • reflexões em um plano combinadas com rotação de 90 ° em torno de um eixo perpendicular ao plano: 3 eixos, 2 por eixo, juntos 6; equivalentemente, são rotações de 90 ° combinadas com inversão ( x é mapeado para - x ): as rotações correspondem às do cubo em torno dos eixos face a face

Projeções ortogonais do tetraedro regular

O tetraedro regular tem duas projeções ortogonais especiais , uma centrada em um vértice ou equivalentemente em uma face, e outra centrada em uma aresta. O primeiro corresponde ao plano A 2 Coxeter .

Projeção ortográfica
Centrado por Face / vértice Borda
Imagem 3-simplex t0 A2.svg 3-simplex t0.svg

Simetria projetiva
[3] [4]

Seção transversal de tetraedro regular

A seção transversal central de um tetraedro regular é um quadrado .

As duas arestas perpendiculares opostas inclinadas de um tetraedro regular definem um conjunto de planos paralelos. Quando um desses planos intercepta o tetraedro, a seção transversal resultante é um retângulo . Quando o plano de intersecção está próximo a uma das bordas, o retângulo é longo e estreito. No meio do caminho entre as duas bordas, a interseção é um quadrado . A proporção do retângulo inverte à medida que você passa por esse ponto intermediário. Para a intersecção quadrada do ponto médio, a linha limite resultante atravessa todas as faces do tetraedro de forma semelhante. Se o tetraedro for dividido ao meio neste plano, ambas as metades se tornam cunhas .

Um disfenóide tetragonal visto ortogonalmente às duas bordas verdes.

Esta propriedade também se aplica a disfenóides tetragonais quando aplicada aos dois pares de arestas especiais.

Ladrilhos esféricos

O tetraedro também pode ser representado como uma telha esférica e projetado no plano por meio de uma projeção estereográfica . Esta projeção é conforme , preservando ângulos, mas não áreas ou comprimentos. As linhas retas na esfera são projetadas como arcos circulares no plano.

Ladrilho uniforme 332-t2.png Tetrahedron stereographic projection.svg
Projeção ortográfica Projeção estereográfica

Empilhamento helicoidal

Um único anel de 30 tetraedros Boerdijk – Coxeter hélice dentro das células 600 , visto em projeção estereográfica

Os tetraedros regulares podem ser empilhados face a face em uma cadeia aperiódica quiral chamada hélice de Boerdijk – Coxeter . Em quatro dimensões , todos os 4 politopos regulares convexos com células tetraédricas (as 5 células , 16 células e 600 células ) podem ser construídos como ladrilhos da 3-esfera por essas cadeias, que se tornam periódicas no tridimensional espaço da superfície limite do 4 politopo.

Outros casos especiais

Árvore de subgrupo tetraédrico.png
Relações de subgrupo de simetria tetraédrica
Tetrahedron symmetry tree.png
Simetrias tetraédricas mostradas em diagramas tetraédricos

Um tetraedro isósceles , também chamado de disfenóide , é um tetraedro em que todas as quatro faces são triângulos congruentes . Um tetraedro que preenche o espaço se aglomera com cópias congruentes de si mesmo para o espaço dos blocos, como o favo de mel tetraédrico disfenóide .

Em um tetraedro trirretangular, os três ângulos de face em um vértice são ângulos retos . Se todos os três pares de arestas opostas de um tetraedro são perpendiculares , ele é chamado de tetraedro ortocêntrico . Quando apenas um par de arestas opostas é perpendicular, é chamado de tetraedro semi-ortocêntrico . Um tetraedro isodinâmico é aquele em que os cevians que unem os vértices aos incentivos das faces opostas são concorrentes , e um tetraedro isogônico tem cevians concorrentes que unem os vértices aos pontos de contato das faces opostas com a esfera inscrita do tetraedro .

Isometrias de tetraedros irregulares

As isometrias de um tetraedro irregular (não marcado) dependem da geometria do tetraedro, com 7 casos possíveis. Em cada caso, um grupo de pontos tridimensionais é formado. Duas outras isometrias (C 3 , [3] + ) e (S 4 , [2 + , 4 + ]) podem existir se a marcação da face ou da borda estiver incluída. Os diagramas tetraédricos são incluídos para cada tipo abaixo, com arestas coloridas por equivalência isométrica e cinza para arestas exclusivas.

Nome do tetraedro Diagrama de
equivalência de borda
Descrição
Simetria
Schön. Cox. Esfera. Ord.
Tetraedro regular Regular tetrahedron diagram.png
Quatro triângulos equiláteros
Ele forma o grupo de simetria T d , isomorfo ao grupo simétrico , S 4 . Um tetraedro regular tem diagrama de Coxeter CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pnge símbolo Schläfli {3,3}.
T d
T
[3,3]
[3,3] +
* 332
332
24
12
Pirâmide triangular Isosceles trigonal pyramid diagram.png
Uma base de triângulo equilátero e três lados iguais de triângulo isósceles
Ele dá 6 isometrias, correspondendo às 6 isometrias da base. Como permutações dos vértices, essas 6 isometrias são a identidade 1, (123), (132), (12), (13) e (23), formando o grupo de simetria C 3v , isomórfico ao grupo simétrico , S 3 . Uma pirâmide triangular possui o símbolo Schläfli {3} ∨ ().
C 3v
C 3
[3]
[3] +
* 33
33
6
3
Esfenóide espelhado Sphenoid diagram.png
Dois triângulos escalenos iguais com uma borda de base comum
Este tem dois pares de arestas iguais (1,3), (1,4) e (2,3), (2,4) e, de outra forma, nenhuma aresta igual. As duas únicas isometrias são 1 e a reflexão (34), dando o grupo C s , também isomórfico ao grupo cíclico , Z 2 .
C s
= C 1h
= C 1v
[] * 2
Tetraedro irregular
(sem simetria)
Scalene tetrahedron diagram.png
Quatro triângulos desiguais

Sua única isometria é a identidade, e o grupo de simetria é o grupo trivial . Um tetraedro irregular tem o símbolo Schläfli () ∨ () ∨ () ∨ ().

C 1 [] + 1 1
Disfenóides (quatro triângulos iguais)
Disfenóide tetragonal Tetragonal disphenoid diagram.png
Quatro triângulos isósceles iguais

Possui 8 isometrias. Se as bordas (1,2) e (3,4) são de comprimentos diferentes dos outros 4, então as 8 isometrias são a identidade 1, reflexos (12) e (34) e rotações de 180 ° (12) (34), (13) (24), (14) (23) e rotações de 90 ° impróprias (1234) e (1432) formando o grupo de simetria D 2d . Um disfenóide tetragonal tem diagrama de CoxeterCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png e o símbolo Schläfli s {2,4}.

D 2d
S 4
[2 + , 4]
[2 + , 4 + ]
2 * 2
2 ×
8
4
Disfenóide rômbico Rhombic disphenoid diagram.png
Quatro triângulos escalenos iguais

Possui 4 isometrias. As isometrias são 1 e as rotações de 180 ° (12) (34), (13) (24), (14) (23). Este é o grupo de quatro Klein V 4 ou Z 2 2 , presente como o grupo de pontos D 2 . Um disfenóide rômbico tem diagrama de CoxeterCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png e símbolo Schläfli sr {2,2}.

D 2 [2,2] + 222 4
Disfenóides generalizados (2 pares de triângulos iguais)
Disfenóide digonal Disfenóide digonal diagram2.png
Digonal disphenoid diagram.png
Dois pares de triângulos isósceles iguais
Isso dá duas bordas opostas (1,2) e (3,4) que são perpendiculares, mas de comprimentos diferentes, e então as 4 isometrias são 1, reflexos (12) e (34) e a rotação de 180 ° (12) (34) . O grupo de simetria é C 2v , isomórfico ao grupo de quatro Klein V 4 . Um disfenóide digonal possui o símbolo Schläfli {} ∨ {}.
C 2v
C 2
[2]
[2] +
* 22
22
4
2
Disfenóide Fílico Tetraedro de meia volta diagram.png
Tetraedro de meia volta diagram2.png
Dois pares de triângulos escalenos ou isósceles iguais

Este tem dois pares de arestas iguais (1,3), (2,4) e (1,4), (2,3), mas de outra forma nenhuma aresta igual. As duas únicas isometrias são 1 e a rotação (12) (34), dando o grupo C 2 isomórfico ao grupo cíclico , Z 2 .

C 2 [2] + 22 2

Propriedades gerais

Volume

O volume de um tetraedro é dado pela fórmula do volume da pirâmide:

onde A 0 representa a área da base de e h é a altura a partir da base ao vértice. Isso se aplica a cada uma das quatro opções da base, de modo que as distâncias dos vértices às faces opostas são inversamente proporcionais às áreas dessas faces.

Para um tetraedro com vértices a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) , c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) e d = ( d 1 , d 2 , d 3 ) , o volume é1/6| det ( a - d , b - d , c - d ) | , ou qualquer outra combinação de pares de vértices que formam um gráfico simplesmente conectado . Isso pode ser reescrito usando um produto escalar e um produto vetorial, resultando

Se a origem do sistema de coordenadas for escolhida para coincidir com o vértice d , então d = 0, então

onde a , b e c representam três arestas que se encontram em um vértice e a · ( b × c ) é um produto escalar triplo . Comparando esta fórmula com a usada para calcular o volume de um paralelepípedo , concluímos que o volume de um tetraedro é igual a1/6 do volume de qualquer paralelepípedo que compartilhe com ele três bordas convergentes.

O valor absoluto do produto escalar triplo pode ser representado como os seguintes valores absolutos de determinantes:

 ou onde são expressos como vetores de linha ou coluna.    

Portanto

 Onde 

que dá

onde α , β , γ são os ângulos planos que ocorrem no vértice d . O ângulo α , é o ângulo entre as duas arestas que ligam o vértice d para o vértices b e c . O ângulo β , o faz para os vértices a e c , enquanto γ , é definido pela posição dos vértices a e b .

Se não exigirmos que d = 0, então

Dadas as distâncias entre os vértices de um tetraedro, o volume pode ser calculado usando o determinante de Cayley-Menger :

onde os subscritos i , j ∈ {1, 2, 3, 4} representam os vértices { a , b , c , d } e d ij é a distância aos pares entre eles - isto é, o comprimento da aresta conectando os dois vértices. Um valor negativo do determinante significa que um tetraedro não pode ser construído com as distâncias fornecidas. Esta fórmula, às vezes chamada de fórmula de Tartaglia , deve-se essencialmente ao pintor Piero della Francesca no século XV, como um análogo tridimensional da fórmula de Heron do século I para a área de um triângulo.

Denote a, b, c como três arestas que se encontram em um ponto e x, y, z as arestas opostas. Seja V o volume do tetraedro; então

Onde

A fórmula acima usa seis comprimentos de arestas, e a fórmula a seguir usa três comprimentos de arestas e três ângulos.

Fórmula do tipo garça para o volume de um tetraedro

Seis comprimentos de aresta do tetraedro

Se U , V , W , u , v , w são comprimentos das arestas do tetraedro (os três primeiros formam um triângulo; u oposto a U e assim por diante), então

Onde

Divisor de volume

Qualquer plano contendo um bimediano (conector de pontos médios de bordas opostas) de um tetraedro corta o volume do tetraedro ao meio.

Volume não euclidiano

Para tetraedros no espaço hiperbólico ou na geometria elíptica tridimensional , os ângulos diédricos do tetraedro determinam sua forma e, portanto, seu volume. Nestes casos, o volume é dado pela fórmula Murakami – Yano . No entanto, no espaço euclidiano, escalar um tetraedro muda seu volume, mas não seus ângulos diédricos, portanto, tal fórmula não pode existir.

Distância entre as bordas

Quaisquer duas arestas opostas de um tetraedro ficam em duas linhas enviesadas , e a distância entre as arestas é definida como a distância entre as duas linhas enviesadas. Let d é a distância entre as linhas de enviesamento formados por bordos em frente um e b - c tal como calculado aqui . Em seguida, outra fórmula de volume é dada por

Propriedades análogas às de um triângulo

O tetraedro tem muitas propriedades análogas às de um triângulo, incluindo uma esfera interna, uma circunsfera, um tetraedro medial e uma exesfera. Possui respectivos centros, como incentivo, circuncentro, excentros, centro de Spieker e pontos como um centróide. No entanto, geralmente não há ortocentro no sentido de altitudes de interseção.

Gaspard Monge encontrou um centro que existe em cada tetraedro, agora conhecido como ponto Monge : o ponto onde os seis planos médios de um tetraedro se cruzam. Um plano médio é definido como um plano ortogonal a uma aresta que une quaisquer dois vértices que também contém o centróide de uma aresta oposta formada pela união dos outros dois vértices. Se as altitudes do tetraedro se cruzam, então o ponto Monge e o ortocentro coincidem para fornecer a classe do tetraedro ortocêntrico .

Uma linha ortogonal descida do ponto Monge para qualquer face encontra essa face no ponto médio do segmento de linha entre o ortocentro dessa face e o pé da altitude descida do vértice oposto.

Um segmento de linha que une um vértice de um tetraedro com o centróide da face oposta é chamado de mediano e um segmento de linha que une os pontos médios de duas arestas opostas é chamado de bimediano do tetraedro. Portanto, existem quatro medianas e três bimedianos em um tetraedro. Esses sete segmentos de linha são todos concorrentes em um ponto denominado centróide do tetraedro. Além disso, as quatro medianas são divididas em uma proporção de 3: 1 pelo centróide (veja o teorema de Commandino ). O centróide de um tetraedro é o ponto médio entre seu ponto Monge e o circuncentro. Esses pontos definem a linha de Euler do tetraedro que é análoga à linha de Euler de um triângulo.

O círculo de nove pontos do triângulo geral tem um análogo na circunsfera do tetraedro medial de um tetraedro. É a esfera de doze pontos e, além dos centróides das quatro faces do tetraedro de referência, passa por quatro pontos de Euler substitutos , a um terço do caminho do ponto Monge em direção a cada um dos quatro vértices. Finalmente, ele passa pelos quatro pontos básicos das linhas ortogonais lançadas de cada ponto de Euler até a face que não contém o vértice que gerou o ponto de Euler.

O centro T da esfera de doze pontos também está na linha de Euler. Ao contrário de sua contraparte triangular, este centro fica a um terço do caminho do ponto M de Monge em direção ao circuncentro. Além disso, uma linha ortogonal através de T para uma face escolhida é coplanar com duas outras linhas ortogonais para a mesma face. A primeira é uma linha ortogonal que passa pelo ponto de Euler correspondente até a face escolhida. A segunda é uma linha ortogonal que passa pelo centróide da face escolhida. Esta linha ortogonal através do centro de doze pontos encontra-se no meio do caminho entre a linha ortogonal do ponto de Euler e a linha ortogonal centróide. Além disso, para qualquer face, o centro de doze pontos fica no ponto médio do ponto de Euler correspondente e o ortocentro dessa face.

O raio da esfera de doze pontos é um terço do circumradius do tetraedro de referência.

Existe uma relação entre os ângulos formados pelas faces de um tetraedro geral dado por

onde α ij é o ângulo entre as faces i e j .

A mediana geométrica das coordenadas da posição do vértice de um tetraedro e seu centro isogônico estão associadas, em circunstâncias análogas às observadas para um triângulo. Lorenz Lindelöf descobriu que, correspondendo a qualquer tetraedro dado, há um ponto agora conhecido como centro isogônico, O , no qual os ângulos sólidos subentendidos pelas faces são iguais, tendo um valor comum de π sr, e no qual os ângulos subtendidos por opostos as bordas são iguais. Um ângulo sólido de π sr é um quarto daquele subtendido por todo o espaço. Quando todos os ângulos sólidos nos vértices de um tetraedro são menores que π sr, O fica dentro do tetraedro, e porque a soma das distâncias de O aos vértices é mínima, O coincide com a mediana geométrica , M , dos vértices . No caso de o ângulo sólido em um dos vértices, v , medir exatamente π sr, então O e M coincidem com v . Se, entretanto, um tetraedro tem um vértice, v , com ângulo sólido maior que π sr, M ainda corresponde av , mas O está fora do tetraedro.

Relações geométricas

Um tetraedro é um 3 simplex . Ao contrário do caso dos outros sólidos platônicos, todos os vértices de um tetraedro regular são equidistantes uns dos outros (eles são o único arranjo possível de quatro pontos equidistantes no espaço tridimensional).

Um tetraedro é uma pirâmide triangular e o tetraedro regular é autodual .

Um tetraedro regular pode ser embutido dentro de um cubo de duas maneiras, de modo que cada vértice seja um vértice do cubo e cada aresta seja uma diagonal de uma das faces do cubo. Para tal incorporação, as coordenadas cartesianas dos vértices são

(+1, +1, +1);
(-1, -1, +1);
(-1, +1, -1);
(+1, -1, -1).

Isso produz um tetraedro com comprimento de aresta 2 2 , centralizado na origem. Para o outro tetraedro (que é dual ao primeiro), inverta todos os sinais. Esses dois vértices de tetraedros combinados são os vértices de um cubo, demonstrando que o tetraedro regular é o 3- semicubo .

O volume desse tetraedro é um terço do volume do cubo. A combinação de ambos os tetraedros dá um composto poliédrico regular denominado o composto de dois tetraedros ou stella octangula .

O interior do stella octangula é um octaedro e, correspondentemente, um octaedro regular é o resultado do corte, de um tetraedro regular, de quatro tetraedros regulares de metade do tamanho linear (isto é, retificando o tetraedro).

A incorporação acima divide o cubo em cinco tetraedros, um dos quais é regular. Na verdade, cinco é o número mínimo de tetraedros necessários para compor um cubo. Para ver isso, partindo de um tetraedro base com 4 vértices, cada tetraedro adicionado adiciona no máximo 1 novo vértice, então pelo menos mais 4 devem ser adicionados para fazer um cubo, que tem 8 vértices.

Inscrever tetraedros dentro do composto regular de cinco cubos dá mais dois compostos regulares, contendo cinco e dez tetraedros.

Os tetraedros regulares não podem tesselar o espaço por si próprios, embora esse resultado pareça provável o suficiente para que Aristóteles afirmasse que era possível. No entanto, dois tetraedros regulares podem ser combinados com um octaedro, dando um romboedro que pode dividir o espaço em blocos.

No entanto, vários tetraedros irregulares são conhecidos, das quais cópias podem revestir o espaço, por exemplo, o favo de mel tetraédrico disfenóide . A lista completa continua sendo um problema em aberto.

Se relaxarmos a exigência de que todos os tetraedros tenham a mesma forma, podemos dividir o espaço usando apenas os tetraedros de muitas maneiras diferentes. Por exemplo, pode-se dividir um octaedro em quatro tetraedros idênticos e combiná-los novamente com dois regulares. (Como observação lateral: esses dois tipos de tetraedro têm o mesmo volume.)

O tetraedro é único entre os poliedros uniformes por não possuir faces paralelas.

Uma lei de senos para tetraedros e o espaço de todas as formas de tetraedros

Tetra.png

Um corolário da lei usual dos senos é que em um tetraedro com vértices O , A , B , C , temos

Pode-se ver os dois lados dessa identidade como correspondendo às orientações no sentido horário e anti-horário da superfície.

Colocar qualquer um dos quatro vértices no papel de O resulta em quatro dessas identidades, mas no máximo três delas são independentes: Se os lados "no sentido horário" de três deles são multiplicados e o produto é inferido como igual ao produto do lados "anti-horário" das mesmas três identidades e, em seguida, fatores comuns são cancelados de ambos os lados, o resultado é a quarta identidade.

Três ângulos são os ângulos de algum triângulo se e somente se sua soma for 180 ° (π radianos). Que condição em 12 ângulos é necessária e suficiente para que sejam os 12 ângulos de algum tetraedro? Claramente, a soma dos ângulos de qualquer lado do tetraedro deve ser 180 °. Uma vez que existem quatro desses triângulos, existem quatro dessas restrições nas somas dos ângulos, e o número de graus de liberdade é, portanto, reduzido de 12 para 8. As quatro relações dadas por esta lei senoidal reduzem ainda mais o número de graus de liberdade, de 8 para não 4, mas 5, uma vez que a quarta restrição não é independente das três primeiras. Portanto, o espaço de todas as formas de tetraedros é de 5 dimensões.

Lei dos cossenos para tetraedros

Sejam { P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } os pontos de um tetraedro. Seja Δ i a área da face oposta ao vértice P i e seja θ ij o ângulo diédrico entre as duas faces do tetraedro adjacente à aresta P i P j .

A lei dos cossenos para este tetraedro, que relaciona as áreas das faces do tetraedro aos ângulos diédricos em torno de um vértice, é dada pela seguinte relação:

Ponto Interior

Seja P qualquer ponto interno de um tetraedro de volume V para o qual os vértices são A , B , C e D , e para o qual as áreas das faces opostas são F a , F b , F c e F d . Então

Para os vértices A , B , C e D , ponto interno P e pés J , K , L e M das perpendiculares de P às faces, e suponha que as faces tenham áreas iguais, então

Inradius

Denotando o radius de um tetraedro como r e o inradii de suas faces triangulares como r i para i = 1, 2, 3, 4, temos

com igualdade se e somente se o tetraedro for regular.

Se A 1 , A 2 , A 3 e A 4 denotam a área de cada uma das faces, o valor de r é dado por

.

Esta fórmula é obtida dividindo o tetraedro em quatro tetraedros cujos pontos são os três pontos de uma das faces originais e o incenter. Uma vez que os quatro subtetraedros preenchem o volume, nós temos .

Circumradius

Denotam o circumradius de um tetraedro como R . Sejam a , b , c os comprimentos das três arestas que se encontram em um vértice e A , B , C os comprimentos das arestas opostas. Seja V o volume do tetraedro. Então

Circumcenter

O circuncentro de um tetraedro pode ser encontrado como a interseção de três planos bissetores. Um plano bissetor é definido como o plano centrado e ortogonal a uma aresta do tetraedro. Com esta definição, o circuncentro C de um tetraedro com vértices x 0 , x 1 , x 2 , x 3 pode ser formulado como produto de vetor de matriz:

Em contraste com o centróide, o circuncentro nem sempre fica no interior de um tetraedro. Analogamente a um triângulo obtuso, o circuncentro está fora do objeto para um tetraedro obtuso.

Centroid

O centro de massa do tetraedro é calculado como a média aritmética de seus quatro vértices, consulte Centróide .

Rostos

A soma das áreas de quaisquer três faces é maior do que a área da quarta face.

Tetraedro inteiro

Existem tetraedros com comprimentos de borda de valor inteiro, áreas de face e volume. Estes são chamados de tetraedros heronianos . Um exemplo tem uma borda de 896, a borda oposta de 990 e as outras quatro bordas de 1073; duas faces são triângulos isósceles com áreas de436 800 e os outros dois são isósceles com áreas de47 120 , enquanto o volume é124 185 600 .

Um tetraedro pode ter volume inteiro e inteiros consecutivos como arestas, um exemplo sendo aquele com arestas 6, 7, 8, 9, 10 e 11 e volume 48.

Poliedros e compostos relacionados

Um tetraedro regular pode ser visto como uma pirâmide triangular .

Pirâmides regulares
Digonal Triangular Quadrado Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal Eneagonal Decagonal ...
Impróprio Regular Equilátero Isósceles
Biangular pyramid1.png Tetrahedron.svg Square pyramid.png Pentagonal pyramid.png Hexagonal pyramid.png Heptagonal pyramid1.png Octagonal pyramid1.png Enneagonal pyramid1.png Decagonal pyramid1.png
Spherical digonal pyramid.png Spherical trigonal pyramid.png Spherical square pyramid.png Spherical pentagonal pyramid.png Spherical hexagonal pyramid.png Spherical heptagonal pyramid.png Spherical octagonal pyramid.png Spherical enneagonal pyramid.png Spherical decagonal pyramid.png

Um tetraedro regular pode ser visto como um poliedro degenerado, um antiprisma digonal uniforme , onde os polígonos básicos são digons reduzidos .

Família de antiprismas uniformes n- gonais
Nome antiprisma Antiprisma digonal (Trigonal) Antiprisma
triangular
(Tetragonal)
Antiprisma quadrado
Antiprisma pentagonal Antiprisma hexagonal Antiprisma heptagonal Antiprisma octogonal Antiprisma eneagonal Antiprisma decagonal Antiprisma Hendecagonal Antiprisma dodecagonal ... Antiprisma apeirogonal
Imagem poliedro Digonal antiprism.png Trigonal antiprism.png Square antiprism.png Pentagonal antiprism.png Hexagonal antiprism.png Antiprism 7.png Octagonal antiprism.png Enneagonal antiprism.png Decagonal antiprism.png Hendecagonal antiprism.png Dodecagonal antiprism.png ...
Imagem de ladrilho esférico Spherical digonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Spherical square antiprism.png Spherical pentagonal antiprism.png Spherical hexagonal antiprism.png Spherical heptagonal antiprism.png Spherical octagonal antiprism.png Imagem de ladrilho plano Infinite antiprism.svg
Vertex config. 2.3.3.3 3.3.3.3 4.3.3.3 5.3.3.3 6.3.3.3 7.3.3.3 8.3.3.3 9.3.3.3 10.3.3.3 11.3.3.3 12.3.3.3 ... ∞.3.3.3

Um tetraedro regular pode ser visto como um poliedro degenerado, um trapezoedro digonal duplo uniforme , contendo 6 vértices, em dois conjuntos de arestas colineares.

Família de trapezohedra n -gonal
Nome do trapezoedro Trapezoedro digonal
( tetraedro )
Trapezoedro trigonal Trapezoedro tetragonal Trapezoedro pentagonal Trapezoedro hexagonal Trapezoedro heptagonal Trapezoedro octogonal Trapezoedro decagonal Trapezoedro dodecagonal ... Trapezoedro apeirogonal
Imagem poliedro Digonal trapezohedron.png TrigonalTrapezohedron.svg Trapezohedron tetragonal.png Trapezohedron pentagonal.svg Hexagonal trapezohedron.png Heptagonal trapezohedron.png Trapezohedron octogonal.png Trapezohedron decagonal.png Trapezohedron dodecagonal.png ...
Imagem de ladrilho esférico Spherical digonal antiprism.png Trapezohedron trigonal esférico.png Trapézio tetragonal esférico.png Trapézio pentagonal esférico.png Trapezohedron hexagonal esférico.png Trapézio heptagonal esférico.png Trapézio octogonal esférico.png Trapezohedron decagonal esférico.png Trapézio dodecagonal esférico.png Imagem de ladrilho plano Trapezohedro apeirogonal.svg
Configuração de rosto V2.3.3.3 V3.3.3.3 V4.3.3.3 V5.3.3.3 V6.3.3.3 V7.3.3.3 V8.3.3.3 V10.3.3.3 V12.3.3.3 ... V∞.3.3.3

Um processo de truncamento aplicado ao tetraedro produz uma série de poliedros uniformes . Truncar as bordas para baixo em pontos produz o octaedro como um tetraedro retificado. O processo é concluído como uma birectificação, reduzindo as faces originais a pontos e produzindo o tetraedro autodual mais uma vez.

Família de poliedros tetraédricos uniformes
Simetria : [3,3] , (* 332) [3,3] + , (332)
Poliedro uniforme-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-33-t12.png Poliedro uniforme-33-t2.png Poliedro uniforme-33-t02.png Poliedro uniforme-33-t012.png Poliedro uniforme 33-s012.svg
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
{3,3} t {3,3} r {3,3} t {3,3} {3,3} rr {3,3} tr {3,3} sr {3,3}
Duplos para poliedros uniformes
Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Hexahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Tetrahedron.svg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Dodecahedron.svg
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

Este poliedro é topologicamente relacionado como uma parte da sequência de poliedros regulares com símbolos Schläfli {3, n }, continuando no plano hiperbólico .

* n mutação de simetria 32 de tilings regulares: {3, n }
Esférico Euclides. Hiper compacto. Paraco. Hiperbólica não compacta
Trigonal dihedron.svg Ladrilho uniforme 332-t2.png Ladrilho uniforme 432-t2.png Ladrilho uniforme 532-t2.png Poliedro uniforme-63-t2.png Order-7 triangular tiling.svg H2-8-3-primal.svg H2 lado a lado 23i-4.png H2 lado a lado 23j12-4.png H2 lado a lado 23j9-4.png H2 lado a lado 23j6-4.png H2 lado a lado 23j3-4.png
3,3 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 3 12i 3 9i 3 6i 3 3i

O tetraedro está topologicamente relacionado a uma série de poliedros regulares e revestimentos com figuras de vértice de ordem 3 .

* n mutação de simetria de 32 de tilings regulares: { n , 3}
Esférico Euclidiana Hipérbole compacta. Paraco. Hiperbólica não compacta
Hosohedron trigonal esférico.png Ladrilho uniforme 332-t0.png Ladrilho uniforme 432-t0.png Ladrilhos uniformes 532-t0.png Poliedro uniforme-63-t0.png Heptagonal tiling.svg H2-8-3-dual.svg H2-I-3-dual.svg H2 lado a lado 23j12-1.png H2 lado a lado 23j9-1.png H2 lado a lado 23j6-1.png H2 lado a lado 23j3-1.png
{2,3} {3,3} {4,3} {5,3} {6,3} {7,3} {8,3} {∞, 3} {12i, 3} {9i, 3} {6i, 3} {3i, 3}

Um poliedro interessante pode ser construído a partir de cinco tetraedros que se cruzam . Este composto de cinco tetraedros é conhecido há centenas de anos. Isso surge regularmente no mundo do origami . Juntar os vinte vértices formaria um dodecaedro regular . Há tanto para canhotos e destros formas, que são imagens de espelho um do outro. A superposição de ambas as formas dá um composto de dez tetraedros , nos quais os dez tetraedros são arranjados como cinco pares de octângulos de estela . A stella octangula é um composto de dois tetraedros em posição dual e seus oito vértices definem um cubo como seu casco convexo.

O hosoedro quadrado é outro poliedro com quatro faces, mas não possui faces triangulares.

Formulários

Análise numérica

Um volume irregular no espaço pode ser aproximado por uma superfície triangular irregular e elementos de volume tetraédrico irregulares.

Na análise numérica , formas tridimensionais complicadas são comumente decompostas em, ou aproximadas por, uma malha poligonal de tetraedros irregulares no processo de configuração das equações para a análise de elementos finitos, especialmente na solução numérica de equações diferenciais parciais . Esses métodos têm amplas aplicações em aplicações práticas em dinâmica de fluidos computacional , aerodinâmica , campos eletromagnéticos , engenharia civil , engenharia química , arquitetura naval e engenharia e campos relacionados.

Engenharia estrutural

Um tetraedro com bordas rígidas é inerentemente rígido. Por esse motivo, é freqüentemente usado para endurecer estruturas de quadros, como spaceframes .

Aviação

Em alguns campos de aviação , uma grande estrutura em forma de tetraedro com dois lados cobertos por um material fino é montada em um pivô giratório e sempre aponta para o vento. Ele é construído grande o suficiente para ser visto do ar e às vezes é iluminado. Seu objetivo é servir de referência para os pilotos indicarem a direção do vento.

Química

O íon amônio é tetraédrico
Cálculo do ângulo central com um produto escalar

A forma do tetraedro é vista na natureza em moléculas ligadas covalentemente . Todos os átomos com hibridização sp 3 são rodeados por átomos (ou pares de elétrons isolados ) nos quatro cantos de um tetraedro. Por exemplo, em uma molécula de metano ( CH
4
) ou um íon amônio ( NH+
4
), quatro átomos de hidrogênio circundam um átomo de carbono ou nitrogênio central com simetria tetraédrica. Por esse motivo, uma das revistas líderes em química orgânica é chamada Tetrahedron . O ângulo central entre quaisquer dois vértices de um tetraedro perfeito é arccos (-1/3), ou aproximadamente 109,47 °.

Água , H
2
O
, também tem uma estrutura tetraédrica, com dois átomos de hidrogênio e dois pares solitários de elétrons ao redor dos átomos centrais de oxigênio. Sua simetria tetraédrica não é perfeita, entretanto, porque os pares solitários repelem mais do que as ligações O – H simples.

Os diagramas de fase quaternária de misturas de substâncias químicas são representados graficamente como tetraedros.

No entanto, os diagramas de fase quaternária em engenharia de comunicação são representados graficamente em um plano bidimensional.

Eletricidade e Eletrônica

Se seis resistores iguais são soldados juntos para formar um tetraedro, então a resistência medida entre quaisquer dois vértices é a metade de um resistor.

Como o silício é o semicondutor mais comum usado na eletrônica de estado sólido , e o silício tem uma valência quatro, a forma tetraédrica das quatro ligações químicas do silício tem uma forte influência na forma como os cristais de silício se formam e quais formatos eles assumem.

Espaço colorido

Os tetraedros são usados ​​em algoritmos de conversão de espaço de cores especificamente para casos em que o eixo de luminância segmenta diagonalmente o espaço de cores (por exemplo, RGB, CMY).

Jogos

O Jogo Real de Ur , datado de 2600 aC, era jogado com um conjunto de dados tetraédricos.

Especialmente no RPG , este sólido é conhecido como um dado de 4 lados , um dos dados poliédricos mais comuns , com o número rolado aparecendo na parte inferior ou no vértice superior. Alguns quebra-cabeças do tipo Cubo de Rubik são tetraédricos, como o Pyraminx e o Pyramorphix .

Geologia

A hipótese tetraédrica , originalmente publicada por William Lowthian Green para explicar a formação da Terra, era popular no início do século XX.

Armamento

Caltrop moderno com pontas ocas para furar pneus de borracha autovedantes

Alguns caltrops são baseados em tetraedros, pois um pico aponta para cima, independentemente de como eles pousam e podem ser facilmente feitos soldando dois pregos dobrados juntos.

Arte contemporânea

A artista austríaca Martina Schettina criou um tetraedro usando lâmpadas fluorescentes . Ela foi exibida na bienal de arte leve na Áustria 2010.

É usado como capa do álbum, cercado por chamas negras em The End of All Things to Come, de Mudvayne .

Cultura popular

Stanley Kubrick originalmente pretendia que o monólito em 2001: A Space Odyssey fosse um tetraedro, de acordo com Marvin Minsky , um cientista cognitivo e especialista em inteligência artificial que aconselhou Kubrick no computador HAL 9000 e outros aspectos do filme. Kubrick descartou a ideia de usar o tetraedro como um visitante que viu uma filmagem dele, não reconheceu o que era e não queria nada no filme que as pessoas comuns não entendessem.

Na temporada 6, episódio 15 de Futurama , chamado " Möbius Dick ", a tripulação do Planet Express passa por uma área no espaço conhecida como Tetraedro das Bermudas. Muitas outras naves que passavam pela área desapareceram misteriosamente, incluindo a da primeira tripulação do Planet Express.

No filme Oblivion de 2013, a grande estrutura em órbita acima da Terra tem um desenho tetraedro e é conhecida como Tet.

Gráfico tetraédrico

Gráfico tetraédrico
3-simplex t0.svg
Vértices 4
Arestas 6
Raio 1
Diâmetro 1
Cilha 3
Automorfismos 24
Número cromático 4
Propriedades Hamiltoniano , regular , simétrico , distância regular , distância transitiva , 3 vértices conectado , gráfico planar
Tabela de gráficos e parâmetros

O esqueleto do tetraedro (compreendendo os vértices e arestas) forma um gráfico , com 4 vértices e 6 arestas. É um caso especial do gráfico completo , K 4 , e do gráfico de roda , W 4 . É um dos 5 gráficos platônicos , cada um um esqueleto de seu sólido platônico .

3-simplex t0 A2.svg
Simetria de 3 dobras

Veja também

Referências

links externos

Família A n B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Polígono regular Triângulo Quadrado p-gon Hexágono Pentágono
Poliedro uniforme Tetraedro OctaedroCubo Demicube DodecaedroIcosaedro
Polychoron uniforme Pentachoron 16 célulasTesseract Demitesseract 24 células 120 células600 células
Uniform 5-polytope 5-simplex 5-ortoplexo5-cubo 5-demicube
Uniform 6-polytope 6-simplex 6-orthoplex6-cubo 6-demicube 1 222 21
7-politopo uniforme 7-simplex 7-orthoplex7-cubo 7-demicube 1 322 313 21
8 politopo uniforme 8-simplex 8-orthoplex8-cubo 8-demicube 1 422 414 21
Uniform 9-polytope 9-simplex 9-ortoplexo9-cubo 9-demicube
Uniforme 10-politopo 10-simplex 10-orthoplex10-cubo 10-demicube
Uniforme n - politopo n - simplex n - ortoplexn - cubo n - demicube 1 k22 k1k 21 n - politopo pentagonal
Tópicos: famílias Polytopepolytope regularLista de politopos regulares e compostos