A eficácia irracional da matemática nas ciências naturais - The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences

" A eficácia irracional da matemática nas ciências naturais " é um artigo de 1960 do físico Eugene Wigner . No papel, Wigner observa que uma teoria física da matemática estrutura aponta muitas vezes o caminho para novos avanços em que a teoria e até mesmo para empíricos previsões.

O milagre da matemática nas ciências naturais

Wigner começa seu artigo com a crença, comum entre aqueles familiarizados com a matemática, que os conceitos matemáticos têm aplicabilidade muito além do contexto em que foram originalmente desenvolvidos. Com base em sua experiência, ele escreve, "é importante apontar que a formulação matemática da experiência muitas vezes rude do físico leva em um número incrível de casos a uma descrição incrivelmente precisa de uma grande classe de fenômenos". Ele então invoca a lei fundamental da gravitação como exemplo. Originalmente usada para modelar corpos em queda livre na superfície da Terra, esta lei foi estendida com base no que Wigner chama de "observações muito escassas" para descrever o movimento dos planetas, onde "provou ser precisa além de todas as expectativas razoáveis".

Outro exemplo frequentemente citado são as equações de Maxwell , derivadas para modelar os fenômenos elétricos e magnéticos elementares conhecidos em meados do século XIX. As equações também descrevem ondas de rádio, descobertas por David Edward Hughes em 1879, na época da morte de James Clerk Maxwell . Wigner sintetiza seu argumento dizendo que "a enorme utilidade da matemática nas ciências naturais é algo que beira o misterioso e que não há explicação racional para isso". Ele conclui seu artigo com a mesma pergunta com a qual começou:

O milagre da adequação da linguagem da matemática para a formulação das leis da física é um presente maravilhoso que não entendemos nem merecemos. Devemos ser gratos por isso e esperar que continue válido em pesquisas futuras e que se estenda, para o bem ou para o mal, para nosso prazer, embora talvez também para nossa perplexidade, a amplos ramos do conhecimento.

A profunda conexão entre ciência e matemática

O trabalho de Wigner forneceu uma nova visão tanto da física quanto da filosofia da matemática , e tem sido freqüentemente citado na literatura acadêmica sobre a filosofia da física e da matemática. Wigner especulou sobre a relação entre a filosofia da ciência e os fundamentos da matemática da seguinte forma:

É difícil evitar a impressão de que um milagre nos confronta aqui, bastante comparável em sua natureza surpreendente ao milagre de que a mente humana pode encadear mil argumentos sem se colocar em contradições, ou aos dois milagres das leis da natureza e da a capacidade da mente humana de adivinhá-los.

Mais tarde, Hilary Putnam (1975) explicou esses "dois milagres" como consequências necessárias de uma visão realista (mas não platônica) da filosofia da matemática . Mas em uma passagem discutindo o viés cognitivo que Wigner cautelosamente rotulou como "não confiável", ele foi além:

O escritor está convencido de que é útil, nas discussões epistemológicas , abandonar a idealização de que o nível de inteligência humana ocupa uma posição singular em escala absoluta. Em alguns casos, pode até ser útil considerar a realização que é possível no nível da inteligência de alguma outra espécie.

Se os humanos verificando os resultados dos humanos podem ser considerados uma base objetiva para a observação do universo conhecido (pelos humanos) é uma questão interessante, seguida tanto na cosmologia quanto na filosofia da matemática .

Wigner também expôs o desafio de uma abordagem cognitiva para integrar as ciências:

Uma situação muito mais difícil e confusa surgiria se pudéssemos, algum dia, estabelecer uma teoria dos fenômenos da consciência, ou da biologia, que fosse tão coerente e convincente quanto nossas atuais teorias do mundo inanimado.

Ele ainda propôs que os argumentos poderiam ser encontrados que poderiam

colocam uma forte pressão em nossa fé em nossas teorias e em nossa crença na realidade dos conceitos que formamos. Isso nos daria um profundo sentimento de frustração em nossa busca pelo que chamei de 'a verdade suprema'. A razão pela qual tal situação é concebível é que, fundamentalmente, não sabemos por que nossas teorias funcionam tão bem. Conseqüentemente, sua precisão pode não provar sua verdade e consistência. Na verdade, este escritor acredita que algo bastante semelhante à situação descrita acima existe, se as atuais leis da hereditariedade e da física forem confrontadas.

Respostas ao artigo original de Wigner

O artigo original de Wigner provocou e inspirou muitas respostas em uma ampla gama de disciplinas. Entre eles estão Richard Hamming em ciência da computação, Arthur Lesk em biologia molecular, Peter Norvig em mineração de dados, Max Tegmark em física, Ivor Grattan-Guinness em matemática e Vela Velupillai em economia.

Richard Hamming

Richard Hamming , um matemático aplicado e fundador da ciência da computação , refletiu e ampliou a eficácia irracional de Wigner em 1980, refletindo sobre quatro "explicações parciais" para isso. Hamming concluiu que as quatro explicações que deu eram insatisfatórias. Eles eram:

1. Os humanos veem o que procuram . A crença de que a ciência é experimentalmente fundamentada é apenas parcialmente verdadeira. Em vez disso, nosso aparato intelectual é tal que muito do que vemos vem dos óculos que colocamos. Eddington chegou a afirmar que uma mente suficientemente sábia poderia deduzir toda a física, ilustrando seu ponto com a seguinte piada: "Alguns homens foram pescar no mar com uma rede e, ao examinar o que capturaram, concluíram que havia um tamanho mínimo para os peixes no mar. "

Hamming dá quatro exemplos de fenômenos físicos não triviais que ele acredita surgirem das ferramentas matemáticas empregadas e não das propriedades intrínsecas da realidade física.

• Hamming propõe que Galileu descobriu a lei dos corpos em queda não por meio de experimentos, mas por um pensamento simples, embora cuidadoso. Hamming imagina que Galileu se envolveu no seguinte experimento de pensamento (o experimento, que Hamming chama de "raciocínio escolástico", é descrito no livro de Galileu On Motion .):

Suponha que um corpo em queda se partisse em dois pedaços. É claro que as duas peças diminuiriam imediatamente para suas velocidades apropriadas. Mas suponha ainda que uma peça tocasse a outra. Eles agora seriam uma peça e ambos acelerariam? Suponha que eu amarre as duas peças. Com que força devo fazer isso para torná-los uma só peça? Uma corda leve? Uma corda? Cola? Quando duas peças são uma?

Simplesmente não há como um corpo em queda "responder" a essas "perguntas" hipotéticas. Conseqüentemente, Galileu teria concluído que "os corpos em queda não precisam saber de nada se todos caírem com a mesma velocidade, a menos que haja interferência de outra força". Depois de apresentar esse argumento, Hamming encontrou uma discussão relacionada em Pólya (1963: 83-85). O relato de Hamming não revela uma consciência do debate acadêmico do século 20 sobre o que Galileu fez.

• A lei do inverso do quadrado da gravitação universal decorre necessariamente da conservação da energia e do espaço tridimensional . Medir o expoente na lei da gravitação universal é mais um teste para saber se o espaço é euclidiano do que um teste das propriedades do campo gravitacional .
• A desigualdade no cerne do princípio da incerteza da mecânica quântica decorre das propriedades das integrais de Fourier e de assumir a invariância no tempo .
• Hamming argumenta que o trabalho pioneiro de Albert Einstein sobre a relatividade especial foi amplamente "escolástico" em sua abordagem. Ele sabia desde o início como a teoria deveria se parecer (embora só soubesse disso por causa do experimento de Michelson-Morley ) e explorou as teorias candidatas com ferramentas matemáticas, não experimentos reais. Hamming alega que Einstein estava tão confiante de que suas teorias da relatividade estavam corretas que os resultados das observações destinadas a testá-las não o interessaram muito. Se as observações fossem inconsistentes com suas teorias, seriam as observações que estavam em falta.

2. Os humanos criam e selecionam a matemática que se adapta a uma situação . A matemática em mãos nem sempre funciona. Por exemplo, quando meros escalares se mostraram inadequados para a compreensão de forças, primeiro os vetores , depois os tensores , foram inventados.

3. A matemática trata apenas de uma parte da experiência humana . Grande parte da experiência humana não se enquadra na ciência ou na matemática, mas na filosofia do valor , incluindo ética , estética e filosofia política . Afirmar que o mundo pode ser explicado pela matemática equivale a um ato de fé.

4. A evolução preparou os humanos para pensar matematicamente . As primeiras formas de vida devem ter contido as sementes da habilidade humana de criar e seguir longas cadeias de raciocínio fechado.

Max Tegmark

Uma resposta diferente, defendida pelo físico Max Tegmark , é que a física é descrita com tanto sucesso pela matemática porque o mundo físico é completamente matemático , isomórfico a uma estrutura matemática, e que estamos simplesmente descobrindo isso pouco a pouco. A mesma interpretação havia sido avançada alguns anos antes por Peter Atkins . Nessa interpretação, as várias aproximações que constituem nossas teorias da física atuais são bem-sucedidas porque estruturas matemáticas simples podem fornecer boas aproximações de certos aspectos de estruturas matemáticas mais complexas. Em outras palavras, nossas teorias bem-sucedidas não são matemáticas que se aproximam da física, mas simplesmente matemáticas que se aproximam de matemáticas mais complexas. A maioria das proposições de Tegmark são altamente especulativas, e algumas delas até mesmo ultrapassadas por padrões científicos estritos, e levantam uma questão básica: pode-se dar um sentido preciso a uma noção de isomorfismo (em vez de "correspondência" acenando) entre os universo - o mundo concreto de "coisas" e eventos - por um lado, e as estruturas matemáticas como são entendidas pelos matemáticos, dentro da matemática? A menos - ou com otimismo, até que - isso seja alcançado, a proposição freqüentemente ouvida de que 'o mundo / universo é matemático' pode ser apenas um erro de categoria .

Ivor Grattan-Guinness

Ivor Grattan-Guinness considerou a eficácia em questão eminentemente razoável e explicável em termos de conceitos como analogia, generalização e metáfora.

Citações relacionadas

[W] ir auch, gleich als ob es ein glücklicher unsre Absicht begünstigender Zufall wäre, erfreuet (eigentlich eines Bedürfnisses entledigt) werden, wenn wir eine solche systemmatische Einheit unter bloß empirischen Gesetzen antre. [Regozijamo-nos (na verdade, somos dispensados ​​de uma necessidade) quando, como se fosse uma sorte a favor de nosso objetivo, encontramos essa unidade sistemática entre as leis meramente empíricas.].

-  Immanuel Kant

A coisa mais incompreensível sobre o universo é que ele é compreensível.

-  Albert Einstein

Como pode ser que a matemática, sendo afinal um produto do pensamento humano que é independente da experiência, seja tão admiravelmente apropriada aos objetos da realidade? [...] Em minha opinião, a resposta a essa pergunta é, resumidamente, esta: na medida em que as leis da matemática se referem à realidade, elas não são certas; e até onde estão certos, não se referem à realidade.

-  Albert Einstein

A física é matemática não porque sabemos muito sobre o mundo físico, mas porque sabemos tão pouco; são apenas suas propriedades matemáticas que podemos descobrir.

-  Bertrand Russell

Existe apenas uma coisa que é mais irracional do que a eficácia irracional da matemática na física, e esta é a ineficácia irracional da matemática na biologia.

-  Israel Gelfand

As ciências chegam a um ponto em que se tornam matematizadas ... as questões centrais no campo tornam-se suficientemente compreendidas para que possam ser pensadas matematicamente ... [no início dos anos 1990] a biologia não era mais a ciência das coisas que cheiravam mal em refrigeradores (minha visão desde os dias de graduação na década de 1960). O campo estava passando por uma revolução e estava adquirindo rapidamente a profundidade e o poder antes associados exclusivamente às ciências físicas. Biologia era agora o estudo das informações armazenadas no DNA - cadeias de quatro letras: A, T, G e C ... e as transformações pelas quais as informações passam na célula. Havia matemática aqui!

-  Leonard Adleman , um cientista da computação teórico que foi pioneiro no campo da computação de DNA

Devemos parar de agir como se nosso objetivo fosse criar teorias extremamente elegantes e, em vez disso, abraçar a complexidade e fazer uso do melhor aliado que temos: a eficácia irracional dos dados.

-  Peter Norvig

Veja também

Referências

Leitura adicional