Lema de Margulis - Margulis lemma

Em geometria diferencial, um subcampo da matemática , o lema de Margulis (em homenagem a Grigory Margulis ) é um resultado sobre subgrupos discretos de isometrias de uma variedade Riemanniana não positivamente curva (por exemplo, o n-espaço hiperbólico ). Grosso modo, ele afirma que dentro de um raio fixo, geralmente chamado de constante de Margulis , a estrutura das órbitas de tal grupo não pode ser muito complicada. Mais precisamente, dentro desse raio em torno de um ponto, todos os pontos em sua órbita estão de fato na órbita de um subgrupo nilpotente (na verdade, um número finito limitado de tal).

O lema de Margulis para variedades de curvatura não positiva

Declaração formal

O lema de Margulis pode ser formulado da seguinte forma.

Let Ser uma variedade simplesmente conectada de curvatura seccional limitada não positiva . Existem constantes com a seguinte propriedade. Para qualquer subgrupo discreto do grupo de isometrias de e qualquer , se for o conjunto: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C, \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle F_ {x}}$

${\ displaystyle F_ {x} = \ {g \ in \ Gamma: d (x, gx) <\ varepsilon \}}$

então o subgrupo gerado por contém um subgrupo nilpotente de índice menor que . Aqui está a distância induzida pela métrica Riemanniana. ${\ displaystyle F_ {x}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle d}$

Uma declaração imediatamente equivalente pode ser fornecida da seguinte maneira: para qualquer subconjunto do grupo de isometria, se satisfizer que: ${\ displaystyle F}$

• existe um tal que ;${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle \ forall g \ in F: d (x, gx) <\ varepsilon}$
• o grupo gerado por é discreto${\ displaystyle \ langle F \ rangle}$${\ displaystyle F}$

então contém um subgrupo nilpotente de índice . ${\ displaystyle \ langle F \ rangle}$${\ displaystyle \ leq C}$

Constantes de Margulis

A constante ótima na declaração pode depender apenas da dimensão e do limite inferior da curvatura; geralmente é normalizado para que a curvatura fique entre -1 e 0. Geralmente é chamada de constante de Margulis da dimensão. ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Também se pode considerar constantes de Margulis para espaços específicos. Por exemplo, tem havido um esforço importante para determinar a constante de Margulis dos espaços hiperbólicos (de curvatura constante -1). Por exemplo:

• a constante ótima para o plano hiperbólico é igual a ;${\ displaystyle 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ sqrt {\ frac {2 \ cos (2 \ pi / 7) -1} {8 \ cos (\ pi / 7) +7}}} \ right) \ simeq 0,2629}$
• Em geral, a constante de Margulis para o espaço- hiperbólico é conhecida por satisfazer os limites:${\ displaystyle \ varepsilon _ {n}}$${\ displaystyle n}$
  $${\ displaystyle c ^ {- n ^ {2}} <\ varepsilon _ {n} <K / {\ sqrt {n}}}$$

  
  para alguns .${\ displaystyle 0 <c <1, K> 0}$

Bairros de Zassenhaus

Uma família particularmente estudada de exemplos de variedades negativamente curvas é dada pelos espaços simétricos associados a grupos de Lie semisimples . Neste caso, o lema de Margulis pode receber a seguinte formulação mais algébrica, que remonta a Hans Zassenhaus .

Se for um grupo de Lie semisimples, existe uma vizinhança da identidade em e tal que qualquer subgrupo discreto gerado por contém um subgrupo nilpotente de índice .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle C> 0}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma \ cap \ Omega}$${\ displaystyle \ leq C}$

Esse bairro é chamado de bairro Zassenhaus .

Decomposição espessa-fina

Let Ser uma variedade Riemanniana e . A parte fina de é o subconjunto de pontos onde o raio de injetividade de at é menor que , geralmente denotado , e a parte grossa, seu complemento, geralmente denotado . Há uma decomposição tautológica em uma união disjunta . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ in M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle M _ {<\ varepsilon}}$${\ displaystyle M _ {\ geq \ varepsilon}}$${\ displaystyle M = M _ {<\ varepsilon} \ cup M _ {\ geq \ varepsilon}}$

Quando é de curvatura negativa e é menor que a constante de Margulis para a tampa universal , a estrutura dos componentes da parte delgada é muito simples. Restringamos ao caso de variedades hiperbólicas de volume finito. Suponha que seja menor do que a constante de Margulis para e seja uma variedade hiperbólica de volume finito. Então, sua parte fina tem dois tipos de componentes: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle {\ widetilde {M}}}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$

• Cúspides : estes são os componentes ilimitados, eles são difeomórficos a uma variedade plana${\ displaystyle (n-1)}$ vezes uma linha;
• Tubos de Margulis: são bairros de geodésicas fechadas de comprimento diante . Eles são limitados e (se forem orientáveis) difeomórficos para um círculo vezes um -disc.${\ displaystyle <\ varepsilon}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle (n-1)}$

Em particular, uma variedade hiperbólica de volume finito completa é sempre difeomórfica para o interior de uma variedade compacta (possivelmente com limite vazio).

Outras aplicações

O lema de Margulis é uma ferramenta importante no estudo de variedades de curvatura negativa. Além da decomposição espessa-fina, algumas outras aplicações são:

• O lema do colar : esta é uma versão mais precisa da descrição dos componentes compactos das partes finas. Afirma que qualquer geodésica fechada de comprimento em uma superfície hiperbólica está contida em um cilindro embutido de diâmetro de ordem .${\ displaystyle \ ell <\ varepsilon}$${\ displaystyle \ ell ^ {- 1}}$
• O lema de Margulis fornece uma solução qualitativa imediata para o problema do covolume mínimo entre variedades hiperbólicas: uma vez que o volume de um tubo de Margulis pode ser visto como limitado abaixo por uma constante dependendo apenas da dimensão, segue-se que existe um mínimo positivo para os volumes de n- variedades hiperbólicas para qualquer n .
• A existência de vizinhanças de Zassenhaus é um ingrediente chave na prova do teorema de Kazhdan-Margulis .
• Pode-se recuperar o teorema de Jordan-Schur como um corolário da existência de bairros de Zassenhaus.

Notas

Referências

• Ballmann, Werner; Gromov, Mikhail; Schroeder, Viktor (1985). Manifolds of Nonpositive Curvature . Birkhâuser.
• Raghunathan, MS (1972). Subgrupos discretos de grupos de Lie . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . MR  0507234 .
• Ratcliffe, John (2006). Fundamentos de variedades hiperbólicas, segunda edição . Springer. pp. xii + 779. ISBN 978-0387-33197-3.
• Thurston, William (1997). Geometria e topologia tridimensional. Vol. 1 . Princeton University Press.