Precessão de Thomas - Thomas precession
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Na física , a precessão de Thomas , em homenagem a Llewellyn Thomas , é uma correção relativística que se aplica ao spin de uma partícula elementar ou à rotação de um giroscópio macroscópico e relaciona a velocidade angular do spin de uma partícula seguindo uma órbita curvilínea ao angular velocidade do movimento orbital.
Para um determinado quadro inercial , se um segundo quadro tiver um aumento de Lorentz em relação a ele e um terceiro em relação ao segundo, mas não colinear com o primeiro aumento, então a transformação de Lorentz entre o primeiro e o terceiro quadros envolve um aumento combinado e rotação, conhecida como " rotação Wigner " ou "rotação Thomas". Para movimento acelerado, o quadro acelerado tem um quadro inercial a cada instante. Dois impulsos com um pequeno intervalo de tempo (conforme medido no quadro do laboratório) levam a uma rotação de Wigner após o segundo impulso. No limite, o intervalo de tempo tende a zero, o quadro acelerado girará a cada instante, de modo que o quadro acelerado gira com velocidade angular.
A precessão pode ser entendida geometricamente como consequência do fato de que o espaço de velocidades na relatividade é hiperbólico e, portanto, o transporte paralelo de um vetor (a velocidade angular do giroscópio) em torno de um círculo (sua velocidade linear) o deixa apontando em uma direção diferente , ou entendida algebricamente como resultado da não comutatividade das transformações de Lorentz . A precessão de Thomas dá uma correção à interação spin-órbita na mecânica quântica , que leva em consideração a dilatação relativística do tempo entre o elétron e o núcleo de um átomo .
A precessão de Thomas é um efeito cinemático no espaço-tempo plano da relatividade especial . No espaço-tempo curvo da relatividade geral , a precessão de Thomas se combina com um efeito geométrico para produzir a precessão de Sitter . Embora a precessão de Thomas ( rotação líquida após uma trajetória que retorna à sua velocidade inicial ) seja um efeito puramente cinemático, ela ocorre apenas em movimento curvilíneo e, portanto, não pode ser observada independentemente de alguma força externa causando o movimento curvilíneo, como aquele causado por um campo eletromagnético , um campo gravitacional ou uma força mecânica, então a precessão de Thomas é geralmente acompanhada por efeitos dinâmicos .
Se o sistema não experimenta nenhum torque externo, por exemplo, em campos escalares externos, sua dinâmica de spin é determinada apenas pela precessão de Thomas. Uma única rotação discreta de Thomas (em oposição à série de rotações infinitesimais que se somam à precessão de Thomas) está presente em situações sempre que houver três ou mais quadros inerciais em movimento não colinear, como pode ser visto usando as transformações de Lorentz .
História
A precessão da relatividade de Thomas já era conhecida por Ludwik Silberstein , em 1914. Mas o único conhecimento que Thomas tinha da precessão relativística veio do artigo de Sitter sobre a precessão relativística da lua, publicado pela primeira vez em um livro de Eddington .
Em 1925, Thomas recalculou relativisticamente a frequência de precessão da separação do dupleto na estrutura fina do átomo. Ele então encontrou o fator 1/2 ausente, que veio a ser conhecido como a metade Thomas.
Essa descoberta da precessão relativística do spin do elétron levou ao entendimento da importância do efeito relativístico. O efeito foi conseqüentemente denominado "precessão de Thomas".
Introdução
Definição
Considere um sistema físico movendo-se no espaço-tempo de Minkowski . Suponha que exista em qualquer momento um sistema inercial tal que nele, o sistema está em repouso. Essa suposição é às vezes chamada de terceiro postulado da relatividade. Isso significa que, a qualquer instante, as coordenadas e o estado do sistema podem ser transformados de Lorentz no sistema de laboratório por meio de alguma transformação de Lorentz.
Deixe o sistema estar sujeito a forças externas que não produzem torque em relação ao seu centro de massa em sua estrutura de repouso (instantânea). A condição de "sem torque" é necessária para isolar o fenômeno da precessão de Thomas. Como uma suposição simplificadora, assume-se que as forças externas trazem o sistema de volta à sua velocidade inicial após algum tempo finito. Fixe um referencial de Lorentz O de forma que as velocidades inicial e final sejam zero.
O vetor de spin de Pauli-Lubanski S μ é definido como (0, S i ) no referencial de repouso do sistema , com S i o três vetor de momento angular sobre o centro de massa. No movimento da posição inicial para a posição final, S μ passa por uma rotação, conforme registrado em O , de seu valor inicial até seu valor final. Essa mudança contínua é a precessão de Thomas.
Demonstração
Considere o movimento de uma partícula . Apresente um quadro de laboratório Σ no qual um observador pode medir o movimento relativo da partícula. A cada instante, a partícula tem uma estrutura inercial na qual está em repouso. Em relação a esta estrutura de laboratório, a velocidade instantânea da partícula é v ( t ) com magnitude | v | = v limitado pela velocidade da luz c , de modo que 0 ≤ v < c . Aqui, o tempo t é o tempo coordenado medido no referencial do laboratório, não o tempo adequado da partícula.
Além do limite superior de magnitude, a velocidade da partícula é arbitrária e não necessariamente constante, seu vetor de aceleração correspondente é a = d v ( t ) / dt . Como resultado da rotação de Wigner a cada instante, a estrutura da partícula precessa com uma velocidade angular dada pelo
onde × é o produto vetorial e
é o fator de Lorentz instantâneo , uma função da velocidade instantânea da partícula. Como qualquer velocidade angular, ω T é um pseudovetor ; sua magnitude é a velocidade angular que a estrutura da partícula sofre precessão (em radianos por segundo) e os pontos de direção ao longo do eixo de rotação. Como de costume, a convenção da mão direita do produto vetorial é usada (consulte a regra da mão direita ).
A precessão depende do movimento acelerado e da não colinearidade da velocidade e aceleração instantâneas da partícula. Nenhuma precessão ocorre se a partícula se move com velocidade uniforme (constante v então a = 0 ), ou acelera em linha reta (nesse caso v e a são paralelos ou antiparalelos, então seu produto vetorial é zero). A partícula precisa se mover em uma curva, digamos um arco, uma espiral , uma hélice ou uma órbita circular ou elíptica , para que sua estrutura faça precessão. A velocidade angular da precessão é máxima se os vetores de velocidade e aceleração são perpendiculares ao longo do movimento (uma órbita circular), e é grande se suas magnitudes são grandes (a magnitude de v é quase c ).
No limite não relativístico, v → 0 então γ → 1 , e a velocidade angular é de aproximadamente
O fator 1/2 acaba sendo o fator crítico para concordar com os resultados experimentais. É informalmente conhecido como "metade Thomas".
Explicação matemática
Transformações de Lorentz
A descrição do movimento relativo envolve transformações de Lorentz , e é conveniente usá-las na forma de matriz ; As expressões de matriz simbólica resumem as transformações e são fáceis de manipular e, quando necessário, as matrizes completas podem ser escritas explicitamente. Além disso, para evitar que fatores extras de c atrapalhem as equações, é conveniente usar a definição β ( t ) = v ( t ) / c com magnitude | β | = β tal que 0 ≤ β <1 .
As coordenadas do espaço-tempo da estrutura do laboratório são coletadas em um vetor de coluna 4 × 1 e o reforço é representado como uma matriz simétrica 4 × 4 , respectivamente
e virar
é o fator de Lorentz de β . Em outros quadros, as coordenadas correspondentes também são organizadas em vetores de coluna. A matriz inversa do reforço corresponde a um reforço na direção oposta e é dada por B ( β ) −1 = B (- β ) .
Em um instante do tempo t registrado em laboratório medido no quadro do laboratório, a transformação das coordenadas do espaço-tempo do quadro do laboratório Σ para o quadro da partícula Σ ′ é
-
( 1 )
e mais tarde registrado em laboratório t + Δ t podemos definir um novo quadro Σ ′ ′ para a partícula, que se move com velocidade β + Δ β em relação a Σ , e o aumento correspondente é
-
( 2 )
Os vetores β e Δ β são dois vetores separados. O último é um pequeno incremento e pode ser convenientemente dividido em componentes paralelos (‖) e perpendiculares (⊥) a β
Combinando ( 1 ) e ( 2 ) obtém-se a transformação de Lorentz entre Σ ′ e Σ ′ ′ ,
-
( 3 )
e essa composição contém todas as informações necessárias sobre o movimento entre esses dois tempos de laboratório. Observe que B ( β + Δ β ) B (- β ) e B ( β + Δ β ) são transformações infinitesimais porque envolvem um pequeno incremento na velocidade relativa, enquanto B (- β ) não.
A composição de dois impulsos equivale a um único impulso combinado com uma rotação de Wigner em torno de um eixo perpendicular às velocidades relativas;
-
( 4 )
A rotação é dada por uma matriz de rotação 4 × 4 R na representação eixo-ângulo , e os sistemas de coordenadas são considerados destros . Esta matriz gira vetores 3d no sentido anti-horário em torno de um eixo ( transformação ativa ) ou, de forma equivalente, gira quadros de coordenadas no sentido horário em torno do mesmo eixo (transformação passiva). O vetor eixo-ângulo Δ θ parametriza a rotação, sua magnitude Δ θ é o ângulo Σ ′ ′ girou e a direção é paralela ao eixo de rotação, neste caso o eixo é paralelo ao produto vetorial (- β ) × ( β + Δ β ) = - β × Δ β . Se os ângulos forem negativos, o sentido de rotação é invertido. A matriz inversa é dada por R (Δ θ ) −1 = R (−Δ θ ) .
Correspondente ao reforço está o (pequena mudança no) vetor de reforço Δ b , com magnitude e direção da velocidade relativa do reforço (dividido por c ). O boost B (Δ b ) e a rotação R (Δ θ ) aqui são transformações infinitesimais porque Δ b e a rotação Δ θ são pequenos.
A rotação dá origem à precessão de Thomas, mas há uma sutileza. Para interpretar o quadro da partícula como um quadro inercial co-móvel em relação ao quadro do laboratório e concordar com o limite não relativístico, esperamos que a transformação entre os quadros instantâneos da partícula nos tempos t e t + Δ t seja relacionada por um aumento sem rotação. Combinando ( 3 ) e ( 4 ) e reorganizando dá
-
( 5 )
onde outro quadro instantâneo Σ ′ ′ ′ é introduzido com as coordenadas X ′ ′ ′ , para evitar conflação com Σ ′ ′ . Para resumir os referenciais: no referencial do laboratório Σ um observador mede o movimento da partícula, e três referenciais inerciais instantâneos nos quais a partícula está em repouso são Σ ′ (no tempo t ), Σ ′ ′ (no tempo t + Δ t ), e Σ ′ ′ ′ (no tempo t + Δ t ). Os frames Σ ′ ′ e Σ ′ ′ ′ estão no mesmo local e tempo, eles diferem apenas por uma rotação. Em contraste, Σ ′ e Σ ′ ′ ′ diferem por um reforço e intervalo de tempo de laboratório Δ t .
Relacionar as coordenadas X ′ ′ ′ às coordenadas X do laboratório via ( 5 ) e ( 2 );
-
( 6 )
o quadro Σ ′ ′ ′ é girado no sentido negativo.
A rotação ocorre entre dois instantes de tempo de laboratório. Como Δ t → 0 , a estrutura da partícula gira a cada instante, e o movimento contínuo da partícula equivale a uma rotação contínua com velocidade angular a cada instante. Dividindo −Δ θ por Δ t , e tomando o limite Δ t → 0 , a velocidade angular é, por definição
-
( 7 )
Resta verificar qual Δ q é precisamente.
Extraindo a fórmula
A composição pode ser obtida calculando explicitamente o produto da matriz. A matriz de reforço de β + Δ β exigirá a magnitude e o fator de Lorentz desse vetor. Como Δ β é pequeno, os termos de "segunda ordem" | Δ β | 2 , (Δ β x ) 2 , (Δ β y ) 2 , Δ β x Δ β y e superiores são desprezíveis. Aproveitando este fato, a magnitude ao quadrado do vetor é
e expandindo o fator de Lorentz de β + Δ β como uma série de potências dá a primeira ordem em Δ β ,
usando o fator de Lorentz γ de β como acima.
Para simplificar o cálculo sem perda de generalidade, considere a direção de β totalmente na direção xe Δ β no plano xy , de modo que o componente paralelo esteja ao longo da direção x enquanto o componente perpendicular esteja ao longo da direção y . O eixo de rotação de Wigner está ao longo da direção z . Na base cartesiana e x , e y , e z , um conjunto de vetores unitários perpendiculares entre si em suas direções indicadas, temos
Esta configuração simplificada permite que as matrizes de reforço sejam fornecidas explicitamente com o número mínimo de entradas de matriz. Em geral, é claro, β e Δ β podem estar em qualquer plano, o resultado final dado mais tarde não será diferente.
Explicitamente, no momento t o impulso está na direção x negativa
e o aumento no tempo t + Δ t é
onde γ é o fator de Lorentz de β , não β + Δ β . A transformação composta é então o produto da matriz
Apresentando os geradores de impulso
e geradores de rotação
junto com o produto escalar · facilita a expressão independente de coordenada
o que vale se β e Δ β estiverem em qualquer plano. Esta é uma transformação de Lorentz infinitesimal na forma de um aumento e rotação combinados
Onde
Depois de dividir Δ θ por Δ t e tomar o limite como em ( 7 ), obtém-se a velocidade angular instantânea
onde a é a aceleração da partícula conforme observada no quadro do laboratório. Nenhuma força foi especificada ou usada na derivação, então a precessão é um efeito cinemático - surge dos aspectos geométricos do movimento. No entanto, as forças causam acelerações, então a precessão de Thomas é observada se a partícula estiver sujeita a forças.
A precessão de Thomas também pode ser derivada usando a equação de transporte de Fermi-Walker. Assume-se um movimento circular uniforme no espaço-tempo plano de Minkowski. O vetor de spin 4 é ortogonal ao vetor 4 de velocidade. O transporte Fermi-Walker preserva essa relação. Descobrimos que o produto escalar do vetor 4 de aceleração com o vetor de spin 4 varia sinusoidalmente com o tempo com uma frequência angular Ύ ω, onde ω é a frequência angular do movimento circular e Ύ = 1 / √⟨1-v ^ 2 / c ^ 2). Isso é facilmente mostrado tomando a segunda derivada de tempo desse produto escalar. Como essa frequência angular excede ω, o spin sofre precessão na direção retrógrada. A diferença (γ-1) ω é a frequência angular de precessão de Thomas já dada, como é simplesmente mostrado ao perceber que a magnitude da 3-aceleração é ω v.
Formulários
Em orbitais de elétrons
Na mecânica quântica, a precessão de Thomas é uma correção da interação spin-órbita , que leva em consideração a dilatação relativística do tempo entre o elétron e o núcleo nos átomos hidrogenicos .
Basicamente, ele afirma que objetos giratórios precessam quando aceleram na relatividade especial porque os impulsos de Lorentz não comutam entre si.
Para calcular o spin de uma partícula em um campo magnético , deve-se também levar em consideração a precessão de Larmor .
Em um pêndulo de Foucault
A rotação do plano de oscilação do pêndulo de Foucault pode ser tratada como resultado do transporte paralelo do pêndulo em uma esfera bidimensional do espaço euclidiano. O espaço hiperbólico de velocidades no espaço-tempo de Minkowski representa uma esfera tridimensional (pseudo-) com raio imaginário e coordenada temporal imaginária. O transporte paralelo de uma partícula giratória no espaço de velocidade relativística leva à precessão de Thomas, que é semelhante à rotação do plano de oscilação de um pêndulo de Foucault. O ângulo de rotação em ambos os casos é determinado pela integral de área da curvatura de acordo com o teorema de Gauss-Bonnet .
A precessão de Thomas corrige a precessão de um pêndulo de Foucault. Para um pêndulo de Foucault localizado na cidade de Nijmegen, na Holanda, a correção é:
Observe que é mais de duas ordens de magnitude menor do que a precessão devido à correção relativística geral decorrente do arrastamento de quadros , a precessão Lense-Thirring .
Veja também
Observações
Notas
Referências
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