Rotação Wigner - Wigner rotation

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v t e

Eugene Wigner (1902–1995)

Na física teórica , a composição de dois impulsos de Lorentz não colineares resulta em uma transformação de Lorentz que não é um impulso puro, mas é a composição de um impulso e uma rotação. Essa rotação é chamada de rotação de Thomas , rotação de Thomas – Wigner ou rotação de Wigner . A rotação foi descoberta por Llewellyn Thomas em 1926 e derivada por Wigner em 1939. Se uma sequência de impulsos não colineares retorna um objeto à sua velocidade inicial, então a sequência de rotações de Wigner pode se combinar para produzir uma rotação líquida chamada de precessão de Thomas .

Ainda há discussões em andamento sobre a forma correta de equações para a rotação de Thomas em diferentes sistemas de referência com resultados contraditórios. Goldstein :

A rotação espacial resultante da aplicação sucessiva de duas transformações de Lorentz não colineares foi declarada tão paradoxal quanto as aparentes violações do senso comum mais frequentemente discutidas, como o paradoxo dos gêmeos .

O princípio de reciprocidade de velocidade (EPVR) de Einstein lê

Postulamos que a relação entre as coordenadas dos dois sistemas é linear. Então a transformação inversa também é linear e a não preferência completa de um ou outro sistema exige que a transformação seja idêntica à original, exceto por uma mudança de v para −v

Com uma interpretação menos cuidadosa, o EPVR é aparentemente violado em alguns modelos. É claro que não existe um verdadeiro paradoxo presente.

Configuração de frames e velocidades relativas entre eles

Composição e a velocidade de rotação no plano xy Thomas, velocidades de u e v separados por ângulo θ . Esquerda: Conforme medido em Σ ′ , as orientações de Σ e Σ ′ ′ aparecem paralelas a Σ ′ . Centro: No referencial Σ , Σ ′ ′ é girado através do ângulo ε em torno de um eixo paralelo a u × v e então se move com a velocidade w _{d em} relação a Σ . Direita: No quadro Σ ′ ′ , Σ se move com velocidade - w _{d em} relação a Σ ′ ′ e então se move com velocidade w _{d em} relação a Σ .

Composição de velocidade e rotação de Thomas no plano xy, velocidades - u e - v separadas pelo ângulo θ . Esquerda: Conforme medido em Σ ′ , as orientações de Σ e Σ ′ ′ aparecem paralelas a Σ ′ . Centro: No referencial Σ ′ ′ , Σ é girado através do ângulo ε em torno de um eixo paralelo a - ( u × v ) e então se move com a velocidade - w _{i em} relação a Σ ′ ′ . Direita: No referencial Σ , Σ ′ ′ se move com velocidade w _i relativa a Σ e então é girado através do ângulo ε em torno de um eixo paralelo a u × v .

Comparação das composições de velocidade w _d e w _i . Observe as mesmas magnitudes, mas em direções diferentes.

Dois impulsos gerais

Ao estudar a rotação de Thomas no nível fundamental, normalmente se usa uma configuração com três quadros de coordenadas, Σ, Σ ′ Σ ′ ′ . O quadro Σ ′ tem velocidade u em relação ao quadro Σ , e o quadro Σ ′ ′ tem velocidade v em relação ao quadro Σ ′ .

Os eixos são, por construção, orientados da seguinte forma. Vistos de Σ ′ , os eixos de Σ ′ e Σ são paralelos (o mesmo vale para o par de quadros quando vistos de Σ .) Também vistos de Σ ′ , os eixos espaciais de Σ ′ e Σ ′ ′ são paralelos (e o mesmo vale para o par de quadros quando visto de Σ ′ ′ .) Esta é uma aplicação de EVPR: Se u é a velocidade de Σ ′ em relação a Σ , então u ′ = - u é a velocidade de Σ em relação a Σ ′ . O vetor de velocidade 3 u faz os mesmos ângulos em relação aos eixos coordenados em ambos os sistemas com e sem primer. Isso não representa um instantâneo obtido em qualquer um dos dois quadros do sistema combinado em qualquer momento específico, como deve ficar claro na descrição detalhada abaixo.

Isso é possível, pois um aumento, digamos, na direção z positiva preserva a ortogonalidade dos eixos coordenados. Um aumento geral B ( w ) pode ser expresso como L = R ⁻¹ ( e _z , w ) B _z ( w ) R ( e _z , w ) , onde R ( e _z , w ) é uma rotação tomando z - eixo na direção de w e B _z é um reforço na nova direção z . Cada rotação retém a propriedade de que os eixos das coordenadas espaciais são ortogonais. O impulso vai esticar a (intermediário) z -axis por um factor γ , enquanto deixando o intermediário x -axis e y -axis no lugar. O fato de os eixos coordenados serem não paralelos nesta construção após dois impulsos não colineares consecutivos é uma expressão precisa do fenômeno da rotação de Thomas.

A velocidade de Σ ′ ′ como visto em Σ é denotada w _d = u ⊕ v , onde ⊕ se refere à adição relativística de velocidade (e não adição vetorial comum ), dada por

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} }} \ left [\ left (1 + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {\ mathbf {u}}} {1+ \ gamma _ {\ mathbf {u }}}} \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} \ direita) \ mathbf {u} + {\ frac {1} {\ gamma _ {\ mathbf {u}}}} \ mathbf {v} \ direito],}$

( VA 2 )

e

${\ displaystyle \ gamma _ {\ mathbf {u}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {| \ mathbf {u} | ^ {2}} {c ^ {2}}} }}}}$

é o fator de Lorentz da velocidade u (as barras verticais | u | indicam a magnitude do vetor ). A velocidade u pode ser considerada a velocidade de um quadro Σ ′ em relação a um quadro Σ , ev é a velocidade de um objeto, digamos uma partícula ou outro quadro Σ ′ ′ em relação a Σ ′ . No presente contexto, todas as velocidades são melhor consideradas como velocidades relativas de quadros, a menos que especificado de outra forma. O resultado w = u ⊕ v é então a velocidade relativa do quadro Σ ′ ′ em relação ao quadro Σ .

Embora a adição de velocidade seja não linear , não associativa e não comutativa , o resultado da operação obtém corretamente uma velocidade com magnitude menor que c . Se a adição de vetor comum fosse usada, seria possível obter uma velocidade com magnitude maior que c . O fator de Lorentz γ de ambas as velocidades compostas são iguais,

${\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {\ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v}} = \ gamma _ {\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u}} = \ gamma _ {\ mathbf {u }} \ gamma _ {\ mathbf {v}} \ left (1 + {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} \ right) \ ,,}$

e as normas são iguais sob o intercâmbio de vetores de velocidade

${\ displaystyle | \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} | = | \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} | = {\ frac {c} {\ gamma}} {\ sqrt {\ gamma ^ {2} -1}} \,}$

Como as duas velocidades compostas possíveis têm magnitude igual, mas direções diferentes, uma deve ser uma cópia girada da outra. Mais detalhes e outras propriedades sem interesse direto aqui podem ser encontrados no artigo principal.

Configuração revertida

Considere a configuração invertida, a saber, o quadro Σ se move com velocidade - u em relação ao quadro Σ ′ , e o quadro Σ ′ , por sua vez, se move com velocidade - v em relação ao quadro Σ ′ ′ . Em suma, u → - u e v → - v por EPVR. Então a velocidade de Σ em relação a Σ ′ ′ é (- v ) ⊕ (- u ) ≡ - v ⊕ u . Por EPVR novamente, a velocidade de Σ ′ ′ em relação a Σ é então w _i = v ⊕ u . (UMA)

Encontra-se w _d ≠ w _i . Embora sejam iguais em magnitude, há um ângulo entre eles. Para um único aumento entre dois quadros inerciais, há apenas uma velocidade relativa inequívoca (ou seu negativo). Para dois impulsos, o resultado peculiar de duas velocidades relativas inequivalentes em vez de uma parece contradizer a simetria do movimento relativo entre quaisquer dois quadros. Qual é a velocidade correta de Σ ′ ′ em relação a Σ ? Uma vez que essa desigualdade pode ser um tanto inesperada e potencialmente quebrar o EPVR, esta questão é justificada.

Formulação em termos de transformações de Lorentz

Um quadro Σ ′ ′ é aumentado com velocidade v em relação a outro quadro Σ ′, que é aumentado com velocidade u em relação a outro quadro Σ.

Um quadro Σ é aumentado com velocidade - u em relação a outro quadro Σ ′, que é aumentado com velocidade - v em relação a outro quadro Σ ′ ′.

Configuração original com velocidades u e v trocadas .

Inverso da configuração trocada.

Dois impulsos são iguais a um impulso e rotação

A resposta à pergunta está na rotação de Thomas, e deve-se ter cuidado ao especificar qual sistema de coordenadas está envolvido em cada etapa. Quando visto de Σ , os eixos coordenados de Σ e Σ ′ ′ não são paralelos. Embora isso possa ser difícil de imaginar, já que ambos os pares (Σ, Σ ′) e (Σ ′, Σ ′ ′) têm eixos de coordenadas paralelas, é fácil de explicar matematicamente.

A adição de velocidade não fornece uma descrição completa da relação entre os quadros. Deve-se formular a descrição completa em termos das transformações de Lorentz correspondentes às velocidades. Um aumento de Lorentz com qualquer velocidade v (magnitude menor que c ) é dado simbolicamente por

${\ displaystyle X '= B (\ mathbf {v}) X}$

onde as coordenadas e a matriz de transformação são expressas compactamente na forma de matriz de bloco

${\ displaystyle X '= {\ begin {bmatrix} ct' \\\ mathbf {r} '\ end {bmatrix}} \ quad B (\ mathbf {v}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma _ {\ mathbf {v}} & - {\ dfrac {\ gamma _ {\ mathbf {v}}} {c}} \ mathbf {v} ^ {\ mathrm {T}} \\ - {\ dfrac {\ gamma _ { \ mathbf {v}}} {c}} \ mathbf {v} & \ mathbf {I} + {\ dfrac {\ gamma _ {\ mathbf {v}} ^ {2}} {\ gamma _ {\ mathbf { v}} +1}} {\ dfrac {\ mathbf {vv} ^ {\ mathrm {T}}} {c ^ {2}}} \\\ end {bmatrix}} \ quad X = {\ begin {bmatrix } ct \\\ mathbf {r} \ end {bmatrix}}}$

e por sua vez, r , r ′, v são vetores coluna (a matriz transposta desses são vetores linha), e γ _v é o fator de Lorentz da velocidade v . A matriz de reforço é uma matriz simétrica . A transformação inversa é dada por

${\ displaystyle B (\ mathbf {v}) ^ {- 1} = B (- \ mathbf {v}) \ quad \ Rightarrow \ quad X = B (- \ mathbf {v}) X '}$

É claro que a cada velocidade admissível v corresponde um aumento de Lorentz puro ,

${\ displaystyle \ mathbf {v} \ leftrightarrow B (\ mathbf {v}).}$

A adição de velocidade u ⊕ v corresponde à composição dos reforços B ( v ) B ( u ) nessa ordem. A B ( u ) actua sobre X em primeiro lugar, em seguida, B ( v ) actua sobre B ( u ) X . Observe que os operadores seguintes agem à esquerda em qualquer composição de operadores, então B ( v ) B ( u ) deve ser interpretado como um aumento com as velocidades u então v , não v então u . Realizando as transformações de Lorentz por multiplicação de matriz de bloco,

${\ displaystyle X '' = B (\ mathbf {v}) X '\ ,, \ quad X' = B (\ mathbf {u}) X \ quad \ Rightarrow \ quad X '' = \ Lambda X}$

a matriz de transformação composta é

${\ displaystyle \ Lambda = B (\ mathbf {v}) B (\ mathbf {u}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma & - \ mathbf {a} ^ {\ mathrm {T}} \\ - \ mathbf {b} & \ mathbf {M} \ end {bmatrix}}}$

e, por sua vez

${\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {\ mathbf {v}} \ gamma _ {\ mathbf {u}} \ left (1 + {\ frac {\ mathbf {v} ^ {\ mathrm {T}} \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ right)}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ gamma} {c}} \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} \ ,, \ quad \ mathbf {b} = {\ frac {\ gamma} {c}} \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u}}$

${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ gamma _ {\ mathbf {u}} \ gamma _ {\ mathbf {v}} {\ frac {\ mathbf {vu} ^ {\ mathrm {T}}} {c ^ {2}}} + \ left (\ mathbf {I} + {\ dfrac {\ gamma _ {\ mathbf {v}} ^ {2}} {\ gamma _ {\ mathbf {v}} +1}} { \ frac {\ mathbf {vv} ^ {\ mathrm {T}}} {c ^ {2}}} \ right) \ left (\ mathbf {I} + {\ dfrac {\ gamma _ {\ mathbf {u} } ^ {2}} {\ gamma _ {\ mathbf {u}} +1}} {\ frac {\ mathbf {uu} ^ {\ mathrm {T}}} {c ^ {2}}} \ right) }$

Aqui γ é o factor de Lorentz compósito, e um e b são 3 × 1 vectores coluna proporcionais às velocidades compósitos. A matriz 3 × 3 M terá um significado geométrico.

As transformações inversas são

${\ displaystyle X = B (- \ mathbf {u}) X '\ ,, \ quad X' = B (- \ mathbf {v}) X '' \ quad \ Rightarrow \ quad X = \ Lambda ^ {- 1 } X ''}$

e a composição equivale a uma negação e troca de velocidades,

${\ displaystyle \ Lambda ^ {- 1} = B (- \ mathbf {u}) B (- \ mathbf {v}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma & \ mathbf {b} ^ {\ mathrm {T }} \\\ mathbf {a} & \ mathbf {M} ^ {\ mathrm {T}} \ end {bmatrix}}}$

Se as velocidades relativas são trocadas, olhando para os blocos de Λ , observa-se que a transformação composta é a transposta da matriz de Λ . Esta não é a mesma que a matriz original, portanto, a matriz de transformação de Lorentz composta não é simétrica e, portanto, não é um único aumento. Isso, por sua vez, se traduz na incompletude da composição da velocidade a partir do resultado de dois impulsos, simbolicamente;

${\ displaystyle B (\ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v}) \ neq B (\ mathbf {v}) B (\ mathbf {u}) \ ,.}$

Para completar a descrição, é necessário introduzir uma rotação, antes ou depois do boost. Esta rotação é a rotação de Thomas . Uma rotação é dada por

${\ displaystyle X '= R ({\ boldsymbol {\ theta}}) X}$

onde a matriz de rotação 4 × 4 é

${\ displaystyle R ({\ boldsymbol {\ theta}}) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \ mathbf {R} ({\ boldsymbol {\ theta}}) \ end {bmatrix}}}$

e R é uma matriz de rotação 3 × 3 . Neste artigo, a representação eixo-ângulo é usada, e θ = θ e é o "vetor eixo-ângulo", o ângulo θ multiplicado por um vetor unitário e paralelo ao eixo. Além disso, a convenção para destros para as coordenadas espaciais é usada (consulte a orientação (espaço vetorial) ), de modo que as rotações sejam positivas no sentido anti-horário de acordo com a regra da mão direita e negativas no sentido horário. Com essas convenções; a matriz de rotação gira qualquer vetor 3d em torno do eixo e através do ângulo θ no sentido anti-horário (uma transformação ativa ), que tem o efeito equivalente de girar o quadro de coordenadas no sentido horário em torno do mesmo eixo através do mesmo ângulo (uma transformação passiva).

A matriz de rotação é uma matriz ortogonal , sua transposta é igual a sua inversa, e negar o ângulo ou eixo na matriz de rotação corresponde a uma rotação no sentido oposto, então a transformação inversa é facilmente obtida por

${\ displaystyle R ({\ boldsymbol {\ theta}}) ^ {- 1} = R ({\ boldsymbol {\ theta}}) ^ {\ mathrm {T}} = R (- {\ boldsymbol {\ theta} }) \ quad \ Rightarrow \ quad X = R (- {\ boldsymbol {\ theta}}) X '\ ,.}$

Um aumento seguido ou precedido por uma rotação também é uma transformação de Lorentz, uma vez que essas operações deixam o intervalo do espaço-tempo invariante. A mesma transformação de Lorentz tem duas decomposições para os vetores de velocidade e ângulo de eixo apropriadamente escolhidos;

${\ displaystyle \ Lambda ({\ boldsymbol {\ theta}}, \ mathbf {u}) = R ({\ boldsymbol {\ theta}}) B (\ mathbf {u})}$

${\ displaystyle \ Lambda (\ mathbf {v}, {\ boldsymbol {\ theta}}) = B (\ mathbf {v}) R ({\ boldsymbol {\ theta}})}$

e se essas são duas decomposições são iguais, os dois impulsos estão relacionados por

${\ displaystyle B (\ mathbf {u}) = R (- {\ boldsymbol {\ theta}}) B (\ mathbf {v}) R ({\ boldsymbol {\ theta}})}$

portanto, os impulsos são relacionados por uma transformação de semelhança de matriz .

Acontece que a igualdade entre dois impulsos e uma rotação seguida ou precedida por um único aumento está correta: a rotação dos quadros corresponde à separação angular das velocidades compostas e explica como uma velocidade composta se aplica a um quadro, enquanto a outra se aplica a o quadro girado. A rotação também quebra a simetria na transformação geral de Lorentz, tornando-a não simétrica. Para esta rotação específica, seja o ângulo ε e o eixo definido pelo vetor unitário e , de forma que o vetor eixo-ângulo seja ε = ε e .

Ao todo, duas ordenações diferentes de dois impulsos significam que há duas transformações inequivalentes. Cada um deles pode ser dividido em um aumento e depois uma rotação, ou uma rotação e depois um aumento, dobrando o número de transformações inequivalentes para quatro. As transformações inversas são igualmente importantes; eles fornecem informações sobre o que o outro observador percebe. Ao todo, há oito transformações a serem consideradas, apenas para o problema de dois aumentos de Lorentz. Em resumo, com as operações subsequentes agindo à esquerda, eles são

Dois impulsos ...	... dividir em um impulso e depois em rotação ...	... ou dividir em uma rotação e aumentar.
${\ displaystyle \ Lambda = B (\ mathbf {v}) B (\ mathbf {u}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma & - \ mathbf {a} ^ {\ mathrm {T}} \\ - \ mathbf {b} & \ mathbf {M} \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle \ Lambda = R ({\ boldsymbol {\ epsilon}}) B (c \ mathbf {a} / \ gamma)}$	${\ displaystyle \ Lambda = B (c \ mathbf {b} / \ gamma) R ({\ boldsymbol {\ epsilon}})}$
${\ displaystyle \ Lambda ^ {- 1} = B (- \ mathbf {u}) B (- \ mathbf {v}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma & \ mathbf {b} ^ {\ mathrm {T }} \\\ mathbf {a} & \ mathbf {M} ^ {\ mathrm {T}} \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle \ Lambda ^ {- 1} = B (-c \ mathbf {a} / \ gamma) R (- {\ boldsymbol {\ epsilon}})}$	${\ displaystyle \ Lambda ^ {- 1} = R (- {\ boldsymbol {\ epsilon}}) B (-c \ mathbf {b} / \ gamma)}$
${\ displaystyle \ Lambda ^ {\ mathrm {T}} = B (\ mathbf {u}) B (\ mathbf {v}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma & - \ mathbf {b} ^ {\ mathrm {T}} \\ - \ mathbf {a} & \ mathbf {M} ^ {\ mathrm {T}} \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle \ Lambda ^ {\ mathrm {T}} = B (c \ mathbf {a} / \ gamma) R (- {\ boldsymbol {\ epsilon}})}$	${\ displaystyle \ Lambda ^ {\ mathrm {T}} = R (- {\ boldsymbol {\ epsilon}}) B (c \ mathbf {b} / \ gamma)}$
${\ displaystyle (\ Lambda ^ {\ mathrm {T}}) ^ {- 1} = B (- \ mathbf {v}) B (- \ mathbf {u}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma & \ mathbf {a} ^ {\ mathrm {T}} \\\ mathbf {b} & \ mathbf {M} \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle (\ Lambda ^ {\ mathrm {T}}) ^ {- 1} = R ({\ boldsymbol {\ epsilon}}) B (-c \ mathbf {a} / \ gamma)}$	${\ displaystyle (\ Lambda ^ {\ mathrm {T}}) ^ {- 1} = B (-c \ mathbf {b} / \ gamma) R ({\ boldsymbol {\ epsilon}})}$

Combinando os impulsos seguidos por rotações, na configuração original, um observador em Σ avisos Σ ′ ′ para se mover com a velocidade u ⊕ v, em seguida, girar no sentido horário (primeiro diagrama), e por causa da rotação um observador em Σ ′ ′ avisos Σ para mova com velocidade - v ⊕ u, em seguida, gire no sentido anti-horário (segundo diagrama). Se as velocidades são trocadas, um observador em Σ avisos Σ ′ ′ se move com a velocidade v ⊕ u, em seguida, gira no sentido anti-horário (terceiro diagrama), e por causa da rotação um observador em Σ ′ ′ avisos Σ se move com velocidade - u ⊕ v então gire no sentido horário (quarto diagrama).

Os casos de rotações e impulsos são semelhantes (nenhum diagrama é mostrado). Combinando as rotações seguidas por impulsos, na configuração original, um observador em Σ avisos Σ ′ ′ para girar no sentido horário e depois se mover com a velocidade v ⊕ u , e por causa da rotação um observador em Σ ′ ′ avisos Σ para girar no sentido anti-horário e então se mover com velocidade - u ⊕ v . Se as velocidades são trocadas, um observador em Σ avisos Σ ′ ′ gira no sentido anti-horário, então se move com a velocidade u ⊕ v , e por causa da rotação um observador em Σ ′ ′ avisos Σ gira no sentido horário e depois se move com velocidade - u ⊕ v .

Encontrar o eixo e o ângulo da rotação Thomas

As fórmulas acima constituem a adição de velocidade relativística e a rotação de Thomas explicitamente nas transformações gerais de Lorentz. Por toda parte, em cada composição de impulsos e decomposição em um impulso e rotação, a fórmula importante

${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {R} + {\ frac {1} {\ gamma +1}} \ mathbf {ba} ^ {\ mathrm {T}}}$

mantém, permitindo que a matriz de rotação seja definida completamente em termos das velocidades relativas u e v . O ângulo de uma matriz de rotação na representação eixo-ângulo pode ser encontrado a partir do traçado da matriz de rotação , o resultado geral para qualquer eixo é tr ( R ) = 1 + 2 cos ε . Tomando o traço da equação dá

${\ displaystyle \ cos \ epsilon = {\ frac {(1+ \ gamma + \ gamma _ {\ mathbf {u}} + \ gamma _ {\ mathbf {v}}) ^ {2}} {(1+ \ gama) (1+ \ gamma _ {\ mathbf {u}}) (1+ \ gamma _ {\ mathbf {v}})}} - 1}$

O ângulo ε entre um e b é não o mesmo que o ângulo α entre u e v .

Em ambos os quadros Σ e Σ ′ ′, para cada composição e decomposição, outra fórmula importante

${\ displaystyle \ mathbf {b} = \ mathbf {Ra}}$

detém. Os vectores a e b são, de facto relacionado por uma rotação, de facto pela matriz mesmo rotação R que gira a quadros de coordenadas. A partir de a , a matriz R gira em b no sentido anti-horário, segue seu produto vetorial (na convenção da direita)

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = {\ frac {\ gamma _ {\ mathbf {u}} \ gamma _ {\ mathbf {v}} (\ gamma ^ {2} -1) (\ gamma + \ gamma _ {\ mathbf {v}} + \ gamma _ {\ mathbf {u}} +1)} {c ^ {2} (\ gamma _ {\ mathbf {v}} +1) ( \ gamma _ {\ mathbf {u}} +1) (\ gamma +1)}} \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}}$

define o eixo corretamente, portanto, o eixo também é paralelo a u × v . A magnitude deste pseudovetor não é interessante nem importante, apenas a direção é, portanto, pode ser normalizado no vetor unitário

${\ displaystyle \ mathbf {e} = {\ frac {\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}} {| \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} |}}}$

que ainda define completamente a direção do eixo sem perda de informação.

A rotação é simplesmente uma rotação "estática" e não há movimento de rotação relativo entre os quadros, há movimento de translação relativo no impulso. No entanto, se os quadros acelerar, o quadro girado gira com uma velocidade angular. Este efeito é conhecido como precessão de Thomas e surge puramente da cinemática de sucessivos impulsos de Lorentz.

Encontrando a rotação Thomas

O processo de decomposição descrito (abaixo) pode ser realizado sobre o produto de duas transformações de Lorentz puras para se obter explicitamente a rotação dos eixos coordenados resultantes dos dois "boosts" sucessivos. Em geral, a álgebra envolvida é bastante proibitiva, mais do que suficiente, geralmente, para desencorajar qualquer demonstração real da matriz de rotação

-  Goldstein (1980 , p. 286)

Em princípio, é muito fácil. Uma vez que cada transformação de Lorentz é um produto de um impulso e uma rotação, a aplicação consecutiva de dois impulsos puros é um impulso puro, seguido ou precedido por uma rotação pura. Portanto, suponha

${\ displaystyle \ Lambda = B (\ mathbf {w}) R.}$

A tarefa é extrair dessa equação a velocidade de reforço w e a rotação R a partir das entradas da matriz de Λ . As coordenadas dos eventos são relacionadas por

${\ displaystyle x '^ {\ mu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} x ^ {\ nu}.}$

Inverter esta relação produz

${\ displaystyle {(\ Lambda ^ {- 1}) ^ {\ nu}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ rho} x ^ {\ rho} = {(\ Lambda ^ {-1}) ^ {\ nu}} _ {\ mu} x '^ {\ mu},}$

ou

${\ displaystyle x ^ {\ nu} = {\ Lambda _ {\ mu}} ^ {\ nu} x '^ {\ mu}.}$

Defina x ′ = ( ct ′, 0, 0, 0). Então x ^ν registrará a posição do espaço-tempo da origem do sistema preparado,

${\ displaystyle x ^ {\ nu} = {\ Lambda _ {0}} ^ {\ nu} x '^ {0},}$

ou

${\ displaystyle x = {\ begin {pmatrix} ct \\ x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ Lambda _ {0} } ^ {0} ct '\\ {\ Lambda _ {0}} ^ {1} ct' \\ {\ Lambda _ {0}} ^ {2} ct '\\ {\ Lambda _ {0}} ^ {3} ct '\ end {pmatriz}}}$

Mas

${\ displaystyle \ Lambda ^ {- 1} = (B (\ mathbf {w}) R) ^ {- 1} = R ^ {- 1} B (- \ mathbf {w}),}$

Multiplicar esta matriz com uma rotação pura não afetará as colunas e linhas zero, e

${\ displaystyle x = {\ begin {pmatrix} ct \\ x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma ct '\\\ gamma \ beta _ {x} ct '\\\ gamma \ beta _ {y} ct' \\\ gamma \ beta _ {z} ct '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma ct' \\\ gamma w_ {x} t '\\\ gamma w_ {y} t' \\\ gamma w_ {z} t '\ end {pmatriz}} = \ gamma {\ begin {pmatrix} ct' \\ w_ {x} t '\\ w_ {y} t' \\ w_ {z} t '\ end {pmatriz}},}$

que poderia ter sido antecipado a partir da fórmula para um simples aumento na direção x , e para o vetor de velocidade relativa

${\ displaystyle {\ frac {1} {ct}} \ mathbf {x} = {\ frac {\ mathbf {w}} {c}} = {\ boldsymbol {\ beta}} = {\ begin {pmatrix} { \ frac {x_ {1}} {ct}} \\ {\ frac {x_ {2}} {ct}} \\ {\ frac {x_ {3}} {ct}} \ end {pmatriz}} = { \ begin {pmatrix} \ beta _ {x} \\\ beta _ {y} \\\ beta _ {z} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ Lambda _ {0}} ^ { 1} / {\ Lambda _ {0}} ^ {0} \\ {\ Lambda _ {0}} ^ {2} / {\ Lambda _ {0}} ^ {0} \\ {\ Lambda _ {0 }} ^ {3} / {\ Lambda _ {0}} ^ {0} \ end {pmatrix}}.}$

Assim, dada com Λ , obtém-se p e w a pouco mais de inspecção de Λ ^-1 . (Claro, w também pode ser encontrado usando a adição de velocidade conforme acima.) De w , construa B (- w ) . A solução para R é então

${\ displaystyle R = B (- \ mathbf {w}) \ Lambda.}$

Com o ansatz

${\ displaystyle \ Lambda = RB (\ mathbf {w}),}$

alguém encontra pelos mesmos meios

${\ displaystyle R = \ Lambda B (- \ mathbf {w}).}$

Encontrar uma solução formal em termos de parâmetros de velocidade u e v envolve primeiro formalmente multiplicando B ( v ) B ( u ) , formalmente invertendo, então a leitura off β _w forma o resultado, formalmente construção B (- w ) a partir do resultado, e, finalmente, multiplicando formalmente B (- w ) B ( v ) B ( u ) . Deve ficar claro que esta é uma tarefa assustadora e é difícil interpretar / identificar o resultado como uma rotação, embora seja claro a priori que é. É a essas dificuldades que a citação de Goldstein no topo se refere. O problema foi exaustivamente estudado sob suposições simplificadas ao longo dos anos.

Origem teórica do grupo

Outra forma de explicar a origem da rotação é olhando para os geradores do grupo Lorentz .

Aumentos de velocidades

A passagem de uma velocidade para um boost é obtida da seguinte maneira. Um impulso arbitrário é dado por

${\ displaystyle e ^ {- {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K}},}$

onde ζ é um triplo de números reais servindo como coordenadas no subespaço de reforço da álgebra de Lie, então (3, 1) medido pelas matrizes

${\ displaystyle (K_ {1}, K_ {2}, K_ {3}) = \ left (\ left [{\ begin {smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {smallmatrix}} \ right ], \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {smallmatrix}} \ right], \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {smallmatrix}} \ right] \ right).}$

O vetor

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ zeta}} = {\ frac {\ boldsymbol {\ beta}} {\ beta}} \ tanh ^ {- 1} \ beta}$

é chamado de parâmetro de aumento ou vetor de aumento , enquanto sua norma é a rapidez . Aqui β é o parâmetro de velocidade , a magnitude do vetor β = u / c .

Enquanto para ζ um tem 0 ≤ ζ <∞ , o parâmetro β está confinado a 0 ≤ β <1 e, portanto, 0 ≤ u < c . Assim

${\ displaystyle e ^ {- (\ tanh ^ {- 1} \ beta) {\ frac {\ boldsymbol {\ beta}} {\ beta}} \ cdot \ mathbf {K}} = e ^ {- {\ tanh ^ {- 1} \ beta \ over c \ beta} \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {K}} \ equiv B (\ mathbf {u}) ~.}$

O conjunto de velocidades que satisfazem 0 ≤ u < c é uma bola aberta em ℝ ³ e é chamado de espaço de velocidades admissíveis na literatura. É dotado de uma geometria hiperbólica descrita no artigo vinculado.

Comutadores

Os geradores de impulsos, K ₁ , K ₂ , K ₃ , em diferentes direções não comutam. Isso faz com que dois aumentos consecutivos não sejam um aumento puro em geral, mas uma rotação que precede um aumento.

Considere uma sucessão de aumentos na direção x, depois na direção y, expandindo cada aumento para a primeira ordem

${\ displaystyle e ^ {\ zeta _ {y} K_ {y}} e ^ {\ zeta _ {x} K_ {x}} = (I- \ zeta _ {y} K_ {y} + \ cdots) ( I- \ zeta _ {x} K_ {x} + \ cdots) = I- \ zeta _ {x} K_ {x} - \ zeta _ {y} K_ {y} + \ zeta _ {x} \ zeta _ {y} K_ {y} K_ {x} + \ cdots}$

então

${\ displaystyle e ^ {- \ zeta _ {y} K_ {y}} e ^ {- \ zeta _ {x} K_ {x}} = I + \ zeta _ {x} K_ {x} + \ zeta _ { y} K_ {y} + \ zeta _ {x} \ zeta _ {y} K_ {y} K_ {x} + \ cdots}$

e o comutador de grupo é

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} e ^ {- \ zeta _ {y} K_ {y}} e ^ {- \ zeta _ {x} K_ {x}} e ^ {\ zeta _ {y} K_ { y}} e ^ {\ zeta _ {x} K_ {x}} = I & + \ zeta _ {x} \ zeta _ {y} [K_ {y}, K_ {x}] - (\ zeta _ {x } K_ {x}) ^ {2} - (\ zeta _ {y} K_ {y}) ^ {2} \\ & + \ zeta _ {x} ^ {2} \ zeta _ {y} [K_ { x}, K_ {y}] K_ {x} + \ zeta _ {x} \ zeta _ {y} ^ {2} K_ {y} [K_ {y}, K_ {x}] \\ & + (\ zeta _ {x} \ zeta _ {y}) ^ {2} K_ {y} K_ {x} K_ {y} K_ {x} + \ cdots \ end {alinhado}}}$

Três das relações de comutação dos geradores Lorentz são

${\ displaystyle [J_ {x}, J_ {y}] = J_ {z}}$

${\ displaystyle [K_ {x}, K_ {y}] = - J_ {z}}$

${\ displaystyle [J_ {x}, K_ {y}] = K_ {z}}$

onde o colchete [ A , B ] = AB - BA é uma operação binária conhecida como o comutador , e as outras relações podem ser encontradas tomando permutações cíclicas de componentes x, y, z (ou seja, mude x para y, y para z, e z a x, repetir).

Voltando ao comutador de grupo, as relações de comutação dos geradores de boost implicam em um boost ao longo das direções x e y, haverá uma rotação em torno do eixo z. Em termos de rapidez, o ângulo de rotação θ é dado por

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = \ tanh {\ frac {\ zeta _ {x}} {2}} \ tanh {\ frac {\ zeta _ {y}} {2} },}$

equivalentemente expressável como

${\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sinh {\ zeta _ {x}} ~ \ sinh \ zeta _ {y}} {\ cosh \ zeta _ {x} + \ cosh \ zeta _ {y} }} ~.}$

Diagramas de espaço-tempo para impulsos não colineares

A noção familiar de adição de vetor para velocidades no plano euclidiano pode ser feita em uma formação triangular, ou como a adição de vetor é comutativa, os vetores em ambas as ordens formam geometricamente um paralelogramo (ver " lei do paralelogramo "). Isso não se aplica à adição de velocidade relativística; em vez disso, surge um triângulo hiperbólico cujas arestas estão relacionadas com a rapidez dos impulsos. Mudando a ordem das velocidades de boost, não se acha que as velocidades de boost resultantes coincidem.

Veja também

• Equação de Bargmann-Michel-Telegdi
• Pseudovetor Pauli – Lubanski
• Fórmula de adição de velocidade # Geometria hiperbólica

Notas de rodapé

Referências

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Leitura adicional

• Espaço de velocidade relativística, rotação de Wigner e precessão de Thomas (2004) John A. Rhodes e Mark D. Semon
• The Hyperbolic Theory of Special Relativity (2006) por JF Barrett