Problema de três corpos - Three-body problem

Trajetórias aproximadas de três corpos idênticos localizados nos vértices de um triângulo escaleno e tendo velocidades iniciais nulas. É visto que o centro de massa , de acordo com a lei de conservação do momento , permanece no lugar.

Na física e na mecânica clássica , o problema dos três corpos é o problema de tomar as posições e velocidades iniciais (ou momentos ) de massas de três pontos e resolver seu movimento subsequente de acordo com as leis do movimento de Newton e a lei da gravitação universal de Newton . O problema dos três corpos é um caso especial do problema dos n- corpos . Ao contrário dos problemas de dois corpos , nenhuma solução geral de forma fechada existe, pois o sistema dinâmico resultante é caótico para a maioria das condições iniciais e métodos numéricos geralmente são necessários.

Historicamente, o primeiro problema específico de três corpos a receber um estudo extenso foi o que envolveu a Lua , a Terra e o Sol . Em um sentido moderno estendido, um problema de três corpos é qualquer problema na mecânica clássica ou mecânica quântica que modela o movimento de três partículas.

Descrição matemática

A declaração matemática do problema de três corpos pode ser dada em termos das equações newtonianas de movimento para as posições vetoriais de três corpos interagindo gravitacionalmente com massas : ${\ displaystyle \ mathbf {r_ {i}} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$${\ displaystyle m_ {i}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {\ mathbf {1}} & = - Gm_ {2} {\ frac {\ mathbf {r_ {1}} - \ mathbf {r_ {2}}} {| \ mathbf {r_ {1}} - \ mathbf {r_ {2}} | ^ {3}}} - Gm_ {3} {\ frac {\ mathbf {r_ {1}} - \ mathbf {r_ {3}}} {| \ mathbf {r_ {1}} - \ mathbf {r_ {3}} | ^ {3}}}, \\ {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {\ mathbf {2}} & = - Gm_ {3} {\ frac {\ mathbf {r_ {2}} - \ mathbf {r_ {3}}} {| \ mathbf {r_ {2}} - \ mathbf {r_ {3}} | ^ {3}}} - Gm_ {1} {\ frac {\ mathbf {r_ {2}} - \ mathbf {r_ {1}}} {| \ mathbf {r_ {2}} - \ mathbf {r_ {1}} | ^ {3}}}, \\ {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {\ mathbf {3}} & = - Gm_ {1} {\ frac {\ mathbf {r_ {3}} - \ mathbf {r_ {1}}} {| \ mathbf {r_ {3}} - \ mathbf {r_ {1}} | ^ {3}}} - Gm_ {2} {\ frac {\ mathbf {r_ {3}} - \ mathbf {r_ {2}}} {| \ mathbf {r_ {3}} - \ mathbf {r_ {2}} | ^ {3}}}. \ end { alinhado}}}$

onde está a constante gravitacional . Este é um conjunto de nove equações diferenciais de segunda ordem . O problema também pode ser declarado de forma equivalente no formalismo hamiltoniano , caso em que é descrito por um conjunto de 18 equações diferenciais de primeira ordem, uma para cada componente das posições e momentos : ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbf {r_ {i}}}$${\ displaystyle \ mathbf {p_ {i}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r_ {i}}} {dt}} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}}} {\ parcial \ mathbf {p_ {i}}}}, \ qquad {\ frac {d \ mathbf {p_ {i}}} {dt}} = - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {r_ {i}}}}, }$

onde está o hamiltoniano : ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = - {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {| \ mathbf {r_ {1}} - \ mathbf {r_ {2}} |}} - {\ frac {Gm_ {2} m_ {3}} {| \ mathbf {r_ {3}} - \ mathbf {r_ {2}} |}} - {\ frac {Gm_ {3} m_ {1}} {| \ mathbf {r_ {3}} - \ mathbf {r_ {1}} |}} + {\ frac {\ mathbf {p_ {1}} ^ {2}} {2m_ {1}}} + {\ frac {\ mathbf {p_ {2}} ^ {2}} {2m_ {2}}} + {\ frac {\ mathbf {p_ {3}} ^ {2}} {2m_ {3}}}.}$

Nesse caso, é simplesmente a energia total do sistema, gravitacional mais cinética. ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Problema restrito de três corpos

O problema circular restrito de três corpos é uma aproximação válida das órbitas elípticas encontradas no Sistema Solar , e isso pode ser visualizado como uma combinação dos potenciais devido à gravidade dos dois corpos primários junto com o efeito centrífugo de sua rotação ( Coriolis efeitos são dinâmicos e não mostrados). Os pontos de Lagrange podem então ser vistos como os cinco lugares onde o gradiente na superfície resultante é zero (mostrado como linhas azuis), indicando que as forças estão em equilíbrio ali.

No problema restrito de três corpos , um corpo de massa desprezível (o "planetóide") se move sob a influência de dois corpos massivos. Tendo massa desprezível, a força que o planetóide exerce sobre os dois corpos maciços pode ser desprezada e o sistema pode ser analisado e, portanto, pode ser descrito em termos de um movimento de dois corpos. Normalmente, esse movimento de dois corpos consiste em órbitas circulares em torno do centro de massa , e supõe-se que o planetóide se mova no plano definido pelas órbitas circulares.

O problema restrito de três corpos é mais fácil de analisar teoricamente do que o problema completo. É também de interesse prático, uma vez que descreve com precisão muitos problemas do mundo real, sendo o exemplo mais importante o sistema Terra-Lua-Sol. Por essas razões, ocupou um papel importante no desenvolvimento histórico do problema dos três corpos.

Matematicamente, o problema é expresso da seguinte forma. Sejam as massas dos dois corpos massivos, com coordenadas (planares) e , e sejam as coordenadas do planetóide. Para simplificar, escolha unidades tais que a distância entre os dois corpos massivos, bem como a constante gravitacional, sejam ambas iguais a . Então, o movimento do planetóide é dado por ${\ displaystyle m_ {1,2}}$${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle 1}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = - m_ {1} {\ frac {x-x_ {1}} {r_ {1} ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {x-x_ {2}} {r_ {2} ^ {3}}} \\ {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ { 2}}} = - m_ {1} {\ frac {y-y_ {1}} {r_ {1} ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {y-y_ {2}} {r_ {2} ^ {3}}}, \ end {alinhado}}}$

onde . Nesta forma, as equações de movimento carregam uma dependência de tempo explícita através das coordenadas . No entanto, essa dependência do tempo pode ser removida por meio de uma transformação em um referencial rotativo, o que simplifica qualquer análise subsequente. ${\ displaystyle r_ {i} = {\ sqrt {(x-x_ {i}) ^ {2} + (y-y_ {i}) ^ {2}}}}$${\ displaystyle x_ {i} (t), y_ {i} (t)}$

Soluções

Solução geral

Não existe uma solução geral de forma fechada para o problema de três corpos, o que significa que não existe uma solução geral que possa ser expressa em termos de um número finito de operações matemáticas padrão. Além disso, o movimento de três corpos geralmente não se repete, exceto em casos especiais.

No entanto, em 1912, o matemático finlandês Karl Fritiof Sundman provou que existe uma solução analítica para o problema dos três corpos na forma de uma série de potências em termos de potências de t ^1/3 . Esta série converge para todos os reais t , exceto para as condições iniciais correspondentes ao momento angular zero . Na prática, a última restrição é insignificante, pois as condições iniciais com momento angular zero são raras, tendo Lebesgue medido zero.

Uma questão importante para provar esse resultado é o fato de que o raio de convergência dessa série é determinado pela distância até a singularidade mais próxima. Portanto, é necessário estudar as possíveis singularidades dos problemas dos três corpos. Como será discutido brevemente abaixo, as únicas singularidades no problema de três corpos são as colisões binárias (colisões entre duas partículas em um instante) e as colisões triplas (colisões entre três partículas em um instante).

As colisões, sejam binárias ou triplas (na verdade, qualquer número), são um tanto improváveis, pois foi demonstrado que correspondem a um conjunto de condições iniciais de medida zero. No entanto, não há nenhum critério conhecido para ser colocado no estado inicial a fim de evitar colisões para a solução correspondente. Portanto, a estratégia de Sundman consistia nas seguintes etapas:

1. Usar uma mudança apropriada de variáveis ​​para continuar analisando a solução além da colisão binária, em um processo conhecido como regularização .
2. Provando que as colisões triplas só ocorrem quando o momento angular L desaparece. Ao restringir os dados iniciais a L ≠ 0 , ele removeu todas as singularidades reais das equações transformadas para o problema de três corpos.
3. Mostrando que se L ≠ 0 , então não apenas não pode haver nenhuma colisão tripla, mas o sistema está estritamente limitado a uma colisão tripla. Isso implica, usando o teorema da existência de Cauchy para equações diferenciais, que não há singularidades complexas em uma faixa (dependendo do valor de L ) no plano complexo centrado em torno do eixo real (sombras de Kovalevskaya ).
4. Encontre uma transformação conforme que mapeie esta faixa no disco da unidade. Por exemplo, se s = t ^1/3 (a nova variável após a regularização) e se | ln s | ≤ β , então este mapa é dado por

${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {e ^ {\ frac {\ pi s} {2 \ beta}} - 1} {e ^ {\ frac {\ pi s} {2 \ beta}} + 1}} .}$

Isso termina a prova do teorema de Sundman.

Infelizmente, a série correspondente converge muito lentamente. Ou seja, obter um valor de precisão significativa requer tantos termos que essa solução tem pouco uso prático. De fato, em 1930, David Beloriszky calculou que se a série de Sundman fosse usada para observações astronômicas, então os cálculos envolveriam pelo menos 10^{8 000 000} termos.

Soluções para casos especiais

Em 1767, Leonhard Euler encontrou três famílias de soluções periódicas nas quais as três massas são colineares a cada instante. Veja o problema dos três corpos de Euler .

Em 1772, Lagrange encontrou uma família de soluções em que as três massas formam um triângulo equilátero a cada instante. Junto com as soluções colineares de Euler, essas soluções formam as configurações centrais para o problema dos três corpos. Essas soluções são válidas para qualquer razão de massa, e as massas se movem em elipses Keplerianas . Essas quatro famílias são as únicas soluções conhecidas para as quais existem fórmulas analíticas explícitas. No caso especial do problema de três corpos restritos circulares , essas soluções, vistas em um quadro girando com os primários, tornam-se pontos que são referidos como L ₁ , L ₂ , L ₃ , L ₄ e L ₅ , e chamados Pontos de Lagrange , com L ₄ e L ₅ sendo instâncias simétricas da solução de Lagrange.

Em um trabalho resumido em 1892-1899, Henri Poincaré estabeleceu a existência de um número infinito de soluções periódicas para o problema restrito dos três corpos, junto com técnicas para continuar essas soluções no problema geral dos três corpos.

Em 1893, Meissel declarou o que agora é chamado de problema pitagórico dos três corpos: três massas na proporção 3: 4: 5 são colocadas em repouso nos vértices de um triângulo retângulo 3: 4: 5 . Burrau investigou ainda mais esse problema em 1913. Em 1967, Victor Szebehely e C. Frederick Peters estabeleceram uma saída eventual para esse problema usando integração numérica, ao mesmo tempo em que encontravam uma solução periódica próxima.

Na década de 1970, Michel Hénon e Roger A. Broucke encontraram, cada um, um conjunto de soluções que fazem parte da mesma família de soluções: a família Broucke – Henon – Hadjidemetriou. Nesta família, os três objetos têm todos a mesma massa e podem exibir formas retrógradas e diretas. Em algumas das soluções de Broucke, dois dos corpos seguem o mesmo caminho.

Uma animação da solução em 8 para o problema de três corpos em um único período T ≃ 6,3259.

Em 1993, uma solução de momento angular zero com três massas iguais movendo-se em torno de uma forma de oito foi descoberta numericamente pelo físico Cris Moore no Santa Fe Institute. Sua existência formal foi posteriormente comprovada em 2000 pelos matemáticos Alain Chenciner e Richard Montgomery. A solução tem se mostrado numericamente estável para pequenas perturbações dos parâmetros de massa e orbitais, o que torna possível que tais órbitas possam ser observadas no universo físico. No entanto, argumentou-se que essa ocorrência é improvável, uma vez que o domínio da estabilidade é pequeno. Por exemplo, a probabilidade de um evento de espalhamento binário-binário resultando em uma órbita em forma de 8 foi estimada em uma pequena fração de 1%.

Em 2013, os físicos Milovan Šuvakov e Veljko Dmitrašinović, do Instituto de Física de Belgrado, descobriram 13 novas famílias de soluções para o problema de três corpos com igual massa e momento angular zero.

Em 2015, a física Ana Hudomal descobriu 14 novas famílias de soluções para o problema de três corpos com igual massa e momento angular zero.

Em 2017, os pesquisadores Xiaoming Li e Shijun Liao encontraram 669 novas órbitas periódicas do problema de três corpos de igual massa e momento angular zero. Isso foi seguido em 2018 por 1223 novas soluções adicionais para um sistema de momento zero de massas desiguais.

Em 2018, Li e Liao relataram 234 soluções para o problema de três corpos de "queda livre" de massa desigual. A formulação de queda livre do problema dos três corpos começa com os três corpos em repouso. Por causa disso, as massas em uma configuração de queda livre não orbitam em um "loop" fechado, mas viajam para frente e para trás ao longo de uma "trilha" aberta.

Abordagens numéricas

Usando um computador, o problema pode ser resolvido com uma precisão arbitrariamente alta usando a integração numérica, embora a alta precisão exija uma grande quantidade de tempo de CPU. Usando a teoria das caminhadas aleatórias , a probabilidade de resultados diferentes pode ser calculada.

História

O problema gravitacional de três corpos em seu sentido tradicional data essencialmente de 1687, quando Isaac Newton publicou seu Principia ( Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ). Na Proposição 66 do Livro 1 dos Principia , e seus 22 Corolários, Newton deu os primeiros passos na definição e estudo do problema dos movimentos de três corpos massivos sujeitos a suas atrações gravitacionais mutuamente perturbadoras. Nas Proposições 25 a 35 do Livro 3, Newton também deu os primeiros passos na aplicação de seus resultados da Proposição 66 à teoria lunar , o movimento da Lua sob a influência gravitacional da Terra e do Sol.

O problema físico foi tratado por Amerigo Vespucci e posteriormente por Galileo Galilei ; em 1499, Vespúcio usou o conhecimento da posição da Lua para determinar sua posição no Brasil. Tornou-se de importância técnica na década de 1720, pois uma solução acurada seria aplicável à navegação, especificamente para a determinação da longitude no mar , resolvida na prática pela invenção do cronômetro marítimo de John Harrison . No entanto, a precisão da teoria lunar era baixa, devido ao efeito perturbador do Sol e dos planetas no movimento da Lua ao redor da Terra.

Jean le Rond d'Alembert e Alexis Clairaut , que desenvolveram uma rivalidade de longa data, tentaram analisar o problema em algum grau de generalidade; eles submeteram suas primeiras análises concorrentes à Académie Royale des Sciences em 1747. Foi em conexão com sua pesquisa, em Paris durante a década de 1740, que o nome "problema de três corpos" ( francês : Problème des trois Corps ) começou a ser comumente usado. Um relato publicado em 1761 por Jean le Rond d'Alembert indica que o nome foi usado pela primeira vez em 1747.

Em 2019, Breen et al. anunciou um solucionador de rede neural rápido para o problema dos três corpos, treinado com um integrador numérico.

Outros problemas envolvendo três corpos

O termo "problema dos três corpos" é algumas vezes usado no sentido mais geral para se referir a qualquer problema físico envolvendo a interação de três corpos.

Um análogo da mecânica quântica do problema gravitacional de três corpos na mecânica clássica é o átomo de hélio , no qual um núcleo de hélio e dois elétrons interagem de acordo com a interação de Coulomb quadrada inversa . Como o problema gravitacional de três corpos, o átomo de hélio não pode ser resolvido exatamente.

Na mecânica clássica e quântica, entretanto, existem leis de interação não triviais além da força do inverso do quadrado que conduzem a soluções analíticas exatas de três corpos. Um desses modelos consiste em uma combinação de atração harmônica e uma força inversa do cubo repulsiva. Este modelo é considerado não trivial, pois está associado a um conjunto de equações diferenciais não lineares contendo singularidades (em comparação com, por exemplo, interações harmônicas isoladas, que levam a um sistema facilmente resolvido de equações diferenciais lineares). Nestes dois aspectos, é análogo a modelos (insolúveis) com interações de Coulomb e, como resultado, foi sugerido como uma ferramenta para a compreensão intuitiva de sistemas físicos como o átomo de hélio.

O problema gravitacional de três corpos também foi estudado usando a relatividade geral . Fisicamente, um tratamento relativístico se torna necessário em sistemas com campos gravitacionais muito fortes, como próximo ao horizonte de eventos de um buraco negro . No entanto, o problema relativístico é consideravelmente mais difícil do que na mecânica newtoniana, e técnicas numéricas sofisticadas são necessárias. Mesmo o problema de dois corpos completos (isto é, para a razão arbitrária de massas) não tem uma solução analítica rigorosa na relatividade geral.

problema de n- corpo

O problema dos três corpos é um caso especial do problema dos n corpos , que descreve como n objetos se moverão sob uma das forças físicas, como a gravidade. Esses problemas têm uma solução analítica global na forma de uma série de potências convergentes, como foi comprovado por Karl F. Sundman para n = 3 e por Qiudong Wang para n > 3 (consulte o problema de n- corpos para obter detalhes). No entanto, as séries Sundman e Wang convergem tão lentamente que são inúteis para fins práticos; portanto, é atualmente necessário aproximar soluções por análise numérica na forma de integração numérica ou, para alguns casos, aproximações de séries trigonométricas clássicas (ver simulação de n- corpos ). Os sistemas atômicos, por exemplo, átomos, íons e moléculas, podem ser tratados em termos do problema quântico de n- corpos. Entre os sistemas físicos clássicos, o problema de n- corpos geralmente se refere a uma galáxia ou a um aglomerado de galáxias ; sistemas planetários, como estrelas, planetas e seus satélites, também podem ser tratados como sistemas de n- corpos. Algumas aplicações são convenientemente tratadas pela teoria de perturbação , na qual o sistema é considerado um problema de dois corpos mais forças adicionais que causam desvios de uma trajetória de dois corpos não perturbada hipotética.

Na cultura popular

O primeiro volume de autor chinês Liu Cixin de Remembrance of passado da Terra trilogia é intitulado The Three-Body problema e apresenta o problema dos três corpos como um dispositivo do lote central.

Veja também

Referências

Leitura adicional

links externos

• Chenciner, Alain (2007). "Problema de três corpos" . Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode : 2007SchpJ ... 2.2111C . doi : 10.4249 / scholarpedia.2111 .
• Físicos descobrem 13 novas soluções colossais para o problema dos três corpos ( ciência )
• Delberi C (13 de maio de 2021). "Os cientistas estão perto de finalmente resolver o problema dos três corpos" . Mecânica popular .