Aceleração das marés - Tidal acceleration

Uma imagem da Terra e da Lua de Marte . A presença da Lua (que tem cerca de 1/81 da massa da Terra) está diminuindo a rotação da Terra e estendendo o dia em cerca de 2 milissegundos a cada 100 anos.

A aceleração das marés é um efeito das forças das marés entre um satélite natural em órbita (por exemplo, a Lua ) e o planeta primário que ele orbita (por exemplo, a Terra ). A aceleração causa uma recessão gradual de um satélite em uma órbita progressiva longe do primário e uma desaceleração correspondente da rotação do primário. O processo eventualmente leva ao bloqueio de maré , geralmente do corpo menor primeiro e, mais tarde, do corpo maior. O sistema Terra-Lua é o caso mais bem estudado.

O processo semelhante de desaceleração da maré ocorre para satélites que têm um período orbital mais curto do que o período de rotação do primário, ou que orbitam em uma direção retrógrada.

A nomenclatura é um tanto confusa, porque a velocidade média do satélite em relação ao corpo que orbita diminui como resultado da aceleração da maré e aumenta como resultado da desaceleração da maré. Esse enigma ocorre porque uma aceleração positiva em um instante faz com que o satélite faça um loop mais para fora durante a próxima metade da órbita, diminuindo sua velocidade média. Uma aceleração positiva contínua faz com que o satélite espiralize para fora com uma velocidade e taxa angular decrescentes, resultando em uma aceleração negativa do ângulo. Uma aceleração negativa contínua tem o efeito oposto.

Sistema Terra-Lua

História da descoberta da aceleração secular

Edmond Halley foi o primeiro a sugerir, em 1695, que o movimento médio da Lua estava aparentemente ficando mais rápido, em comparação com as observações de eclipses antigas , mas não forneceu dados. (Ainda não era conhecido na época de Halley que o que está realmente ocorrendo inclui uma desaceleração da taxa de rotação da Terra: veja também o tempo das Efemérides - História . Quando medido como uma função do tempo solar médio em vez do tempo uniforme, o efeito aparece como uma aceleração positiva.) Em 1749, Richard Dunthorne confirmou a suspeita de Halley após reexaminar registros antigos e produziu a primeira estimativa quantitativa para o tamanho desse efeito aparente: uma taxa centurial de +10 ″ (arcosegundos) em longitude lunar, que é um resultado surpreendentemente preciso para a sua época, não diferindo muito dos valores avaliados posteriormente, por exemplo , em 1786 por de Lalande, e para comparar com valores de cerca de 10 ″ a quase 13 ″ sendo derivados cerca de um século depois.

Pierre-Simon Laplace produziu em 1786 uma análise teórica dando uma base na qual o movimento médio da Lua deveria acelerar em resposta a mudanças perturbacionais na excentricidade da órbita da Terra ao redor do Sol . O cálculo inicial de Laplace foi responsável por todo o efeito, parecendo, assim, amarrar a teoria perfeitamente com as observações modernas e antigas.

No entanto, em 1854, John Couch Adams fez com que a questão fosse reaberta ao encontrar um erro nos cálculos de Laplace: descobriu-se que apenas cerca de metade da aparente aceleração da Lua poderia ser explicada na base de Laplace pela mudança na excentricidade orbital da Terra . A descoberta de Adams provocou uma forte controvérsia astronômica que durou alguns anos, mas a exatidão de seu resultado, com o acordo de outros astrônomos matemáticos, incluindo CE Delaunay , acabou sendo aceita. A questão dependia da análise correta dos movimentos lunares e recebeu uma complicação adicional com outra descoberta, por volta da mesma época, que outra perturbação significativa de longo prazo que havia sido calculada para a Lua (supostamente devido à ação de Vênus ) também foi em erro, foi considerado quase insignificante no reexame e praticamente teve que desaparecer da teoria. Uma parte da resposta foi sugerida independentemente na década de 1860 por Delaunay e por William Ferrel : o retardo da maré na taxa de rotação da Terra estava alongando a unidade de tempo e causando uma aceleração lunar que era apenas aparente.

Demorou algum tempo para a comunidade astronômica aceitar a realidade e a escala dos efeitos das marés. Mas finalmente ficou claro que três efeitos estão envolvidos, quando medidos em termos de tempo solar médio. Além dos efeitos das mudanças perturbacionais na excentricidade orbital da Terra, conforme encontrado por Laplace e corrigido por Adams, existem dois efeitos de maré (uma combinação sugerida pela primeira vez por Emmanuel Liais ). Primeiro, há um retardo real da taxa angular de movimento orbital da Lua, devido à troca de momento angular entre a Terra e a Lua. Isso aumenta o momento angular da Lua ao redor da Terra (e move a Lua para uma órbita mais alta com uma velocidade orbital menor ). Em segundo lugar, há um aparente aumento na taxa angular de movimento orbital da Lua (quando medido em termos de tempo solar médio). Isso decorre da perda de momento angular da Terra e do consequente aumento da duração do dia.

Um diagrama do sistema Terra-Lua mostrando como a protuberância da maré é impulsionada pela rotação da Terra . Esta protuberância compensada exerce um torque líquido na Lua , impulsionando-a enquanto diminui a rotação da Terra.

Efeitos da gravidade da Lua

Como a massa da Lua é uma fração considerável da da Terra (cerca de 1:81), os dois corpos podem ser considerados como um sistema planetário duplo , em vez de um planeta com um satélite. O plano da órbita da Lua em torno da Terra fica próximo ao plano da órbita da Terra em torno do Sol (a eclíptica ), ao invés do plano de rotação da Terra (o equador ), como geralmente é o caso com satélites planetários. A massa da Lua é suficientemente grande e suficientemente próxima para aumentar as marés na matéria da Terra. A mais importante entre essas questões, a água dos oceanos projeta-se tanto na direção quanto na direção da lua. Se o material da Terra respondesse imediatamente, haveria uma protuberância diretamente em direção e longe da Lua. Na Terra sólida, há uma resposta retardada devido à dissipação da energia das marés. Os oceanos são mais complicados, mas também há um atraso associado à dissipação de energia. Uma vez que a Terra gira a uma taxa mais rápida do que a velocidade angular orbital da Lua. O atraso nas respostas faz com que a protuberância da maré seja transportada para a frente. Consequentemente, a linha através das duas protuberâncias é inclinada em relação à direção Terra-Lua, exercendo torque entre a Terra e a Lua. Este torque aumenta a Lua em sua órbita e retarda a rotação da Terra.

Como resultado desse processo, o dia solar médio, que deve ser 86.400 segundos iguais, está na verdade ficando mais longo quando medido em segundos SI com relógios atômicos estáveis . (O segundo SI, quando adotado, já era um pouco menor do que o valor atual do segundo do tempo solar médio.) A pequena diferença se acumula ao longo do tempo, o que leva a uma diferença crescente entre o nosso relógio ( Tempo Universal ) lado, e Atomic Time e Efemérides Tempo , por outro lado: veja AT . Isso levou à introdução do segundo bissexto em 1972 para compensar as diferenças nas bases da padronização do tempo.

Além do efeito das marés oceânicas, há também uma aceleração das marés devido à flexão da crosta terrestre, mas isso é responsável por apenas cerca de 4% do efeito total quando expresso em termos de dissipação de calor.

Se outros efeitos fossem ignorados, a aceleração das marés continuaria até que o período de rotação da Terra correspondesse ao período orbital da Lua. Naquela época, a Lua sempre estaria acima de um único lugar fixo na Terra. Tal situação já existe no sistema Plutão - Caronte . No entanto, a desaceleração da rotação da Terra não está ocorrendo rápido o suficiente para que a rotação se prolongue para um mês antes que outros efeitos tornem isso irrelevante: cerca de 1 a 1,5 bilhão de anos a partir de agora, o aumento contínuo da radiação do Sol provavelmente fará com que os oceanos da Terra se vaporizem , removendo a maior parte do atrito e aceleração das marés. Mesmo sem isso, a desaceleração para um dia de um mês ainda não teria sido concluída em 4,5 bilhões de anos a partir de agora, quando o Sol provavelmente evoluirá para uma gigante vermelha e provavelmente destruirá a Terra e a Lua.

A aceleração das marés é um dos poucos exemplos na dinâmica do Sistema Solar de uma chamada perturbação secular de uma órbita, ou seja, uma perturbação que aumenta continuamente com o tempo e não é periódica. Até uma alta ordem de aproximação, perturbações gravitacionais mútuas entre planetas maiores ou menores somente causam variações periódicas em suas órbitas, ou seja, os parâmetros oscilam entre valores máximos e mínimos. O efeito de maré dá origem a um termo quadrático nas equações, o que leva a um crescimento ilimitado. Nas teorias matemáticas das órbitas planetárias que formam a base das efemérides , ocorrem termos seculares quadráticos e de ordem superior, mas são principalmente expansões de Taylor de termos periódicos de tempo muito longo. A razão pela qual os efeitos das marés são diferentes é que, ao contrário das perturbações gravitacionais distantes, o atrito é uma parte essencial da aceleração das marés e leva à perda permanente de energia do sistema dinâmico na forma de calor . Em outras palavras, não temos um sistema hamiltoniano aqui.

Momento angular e energia

O torque gravitacional entre a Lua e a protuberância das marés da Terra faz com que a Lua seja constantemente promovida para uma órbita ligeiramente mais alta e a Terra desacelerada em sua rotação. Como em qualquer processo físico em um sistema isolado, a energia total e o momento angular são conservados. Efetivamente, a energia e o momento angular são transferidos da rotação da Terra para o movimento orbital da Lua (no entanto, a maior parte da energia perdida pela Terra (-3,78 TW) é convertida em calor por perdas por atrito nos oceanos e sua interação com o Terra sólida, e apenas cerca de 1/30 (+0,121 TW) é transferido para a Lua). A Lua se afasta da Terra (+ 38,30 ± 0,08 mm / ano), então sua energia potencial, que ainda é negativa (bem na gravidade da Terra ), aumenta, ou seja, torna-se menos negativa. Ele permanece em órbita, e da 3ª lei de Kepler segue que sua velocidade angular média realmente diminui, então a ação da maré na Lua realmente causa uma desaceleração angular, ou seja, uma aceleração negativa (-25,97 ± 0,05 "/ século 2 ) de sua rotação A velocidade real da Lua também diminui. Embora sua energia cinética diminua, sua energia potencial aumenta em uma quantidade maior, ou seja, E p = -2E c ( Teorema Virial ).

O momento angular de rotação da Terra diminui e, conseqüentemente, a duração do dia aumenta. A maré líquida elevada na Terra pela Lua é arrastada à frente da Lua pela rotação muito mais rápida da Terra. O atrito de maré é necessário para arrastar e manter a protuberância à frente da Lua e dissipa o excesso de energia da troca de energia rotacional e orbital entre a Terra e a Lua como calor. Se a fricção e a dissipação de calor não estivessem presentes, a força gravitacional da Lua na protuberância da maré rapidamente (em dois dias) traria a maré de volta em sincronia com a Lua, e a Lua não recuaria mais. A maior parte da dissipação ocorre em uma camada limite inferior turbulenta em mares rasos, como a Plataforma Europeia ao redor das Ilhas Britânicas , a Plataforma Patagônica ao largo da Argentina e o Mar de Bering .

A dissipação de energia por atrito de maré é em média de 3,64 terawatts dos 3,78 terawatts extraídos, dos quais 2,5 terawatts são do componente lunar M 2 principal e o restante de outros componentes, lunares e solares.

Uma protuberância de maré de equilíbrio não existe realmente na Terra porque os continentes não permitem que essa solução matemática aconteça. As marés oceânicas realmente giram em torno das bacias oceânicas como vastos giros em torno de vários pontos anfidrômicos onde não existe maré. A Lua atrai cada ondulação individual à medida que a Terra gira - algumas ondulações estão à frente da Lua, outras estão atrás dela, enquanto outras ainda estão em ambos os lados. As "protuberâncias" que realmente existem para a Lua puxar (e que puxam a Lua) são o resultado líquido da integração das ondulações reais sobre todos os oceanos do mundo. A maré de equilíbrio líquida (ou equivalente ) da Terra tem uma amplitude de apenas 3,23 cm, que é totalmente inundada por marés oceânicas que podem ultrapassar um metro.

Evidência histórica

Esse mecanismo tem funcionado há 4,5 bilhões de anos, desde a formação dos oceanos na Terra, mas nem tanto quando a maior parte ou a maior parte da água era gelo . Há evidências geológicas e paleontológicas de que a Terra girava mais rápido e que a Lua estava mais perto da Terra no passado remoto. Ritmites de maré são camadas alternadas de areia e silte estabelecidas ao largo de estuários com grandes fluxos de maré. Ciclos diários, mensais e sazonais podem ser encontrados nos depósitos. Este registro geológico é consistente com essas condições 620 milhões de anos atrás: o dia era de 21,9 ± 0,4 horas, e havia 13,1 ± 0,1 meses sinódicos / ano e 400 ± 7 dias solares / ano. A taxa média de recessão da Lua entre aquela época e agora foi de 2,17 ± 0,31 cm / ano, que é cerca de metade da taxa atual. A alta taxa atual pode ser devido à quase ressonância entre as frequências naturais do oceano e as frequências das marés.

A análise das camadas em conchas de moluscos fósseis de 70 milhões de anos atrás, no período do Cretáceo Superior , mostra que havia 372 dias por ano e, portanto, que o dia tinha cerca de 23,5 horas.

Descrição quantitativa do caso Terra-Lua

O movimento da Lua pode ser seguido com uma precisão de alguns centímetros por laser lunar (LLR). Pulsos de laser são refletidos em retrorefletores de prisma de cubo de canto na superfície da Lua, colocados durante as missões Apollo de 1969 a 1972 e por Lunokhod 1 em 1970 e Lunokhod 2 em 1973. Medir o tempo de retorno do pulso fornece uma medida muito precisa da distância. Essas medidas são ajustadas às equações de movimento. Isso produz valores numéricos para a desaceleração secular da Lua, ou seja, aceleração negativa, em longitude e a taxa de variação do semi-eixo maior da elipse Terra-Lua. Do período de 1970 a 2015, os resultados são:

-25,97 ± 0,05 arco segundo / século 2 na longitude eclíptica
+38,30 ± 0,08 mm / ano na distância média Terra-Lua

Isso é consistente com os resultados do alcance do laser de satélite (SLR), uma técnica semelhante aplicada a satélites artificiais orbitando a Terra, que produz um modelo para o campo gravitacional da Terra, incluindo o das marés. O modelo prevê com precisão as mudanças no movimento da lua.

Finalmente, observações antigas de eclipses solares fornecem posições bastante precisas para a Lua nesses momentos. Estudos dessas observações fornecem resultados consistentes com o valor citado acima.

A outra consequência da aceleração das marés é a desaceleração da rotação da Terra. A rotação da Terra é um tanto errática em todas as escalas de tempo (de horas a séculos) devido a várias causas. O pequeno efeito das marés não pode ser observado em um curto período, mas o efeito cumulativo na rotação da Terra medida com um relógio estável ( hora das efemérides , hora atômica ) de uma queda de até mesmo alguns milissegundos por dia torna-se prontamente perceptível em alguns séculos. Desde algum evento no passado remoto, mais dias e horas se passaram (conforme medido em rotações completas da Terra) ( Tempo Universal ) do que seria medido por relógios estáveis ​​calibrados para o presente, maior duração do dia (tempo das efemérides). Isso é conhecido como ΔT . Valores recentes podem ser obtidos no Serviço Internacional de Rotação da Terra e Sistemas de Referência (IERS). Uma tabela com a duração real do dia nos últimos séculos também está disponível.

A partir da mudança observada na órbita da Lua, a mudança correspondente na duração do dia pode ser calculada:

+2,4 ms / d / século ou +88 s / cy 2 ou +66 ns / d 2 .

No entanto, a partir de registros históricos dos últimos 2700 anos, o seguinte valor médio é encontrado:

+1,72 ± 0,03 ms / d / século ou +63 s / cy 2 ou +47 ns / d 2 . (ou seja, uma causa acelerada é responsável por -0,7 ms / d / cy)

Por duas vezes a integração ao longo do tempo, o valor cumulativo correspondente é uma parábola que tem um coeficiente de T 2 (tempo em séculos quadrado) de ( 1 / 2 ) 63 s / cy 2  :

Δ t = ( 1 / 2 ) 63 s / cy 2 T 2 = 31 s / cy 2 t 2 .

Opondo-se à desaceleração das marés da Terra, existe um mecanismo que, na verdade, está acelerando a rotação. A Terra não é uma esfera, mas sim um elipsóide achatado nos pólos. SLR mostrou que esse achatamento está diminuindo. A explicação é que, durante a era do gelo, grandes massas de gelo se acumularam nos pólos e deprimiram as rochas subjacentes. A massa de gelo começou a desaparecer há mais de 10.000 anos, mas a crosta terrestre ainda não está em equilíbrio hidrostático e ainda está se recuperando (o tempo de relaxamento é estimado em cerca de 4.000 anos). Como consequência, o diâmetro polar da Terra aumenta e o diâmetro equatorial diminui (o volume da Terra deve permanecer o mesmo). Isso significa que a massa se aproxima do eixo de rotação da Terra e o momento de inércia da Terra diminui. Este processo por si só leva a um aumento da taxa de rotação (fenômeno de uma patinadora artística que gira cada vez mais rápido quando retrai os braços). A partir da mudança observada no momento de inércia, a aceleração da rotação pode ser calculada: o valor médio ao longo do período histórico deve ter sido cerca de -0,6 ms / século. Isso explica em grande parte as observações históricas.

Outros casos de aceleração das marés

A maioria dos satélites naturais dos planetas sofre aceleração de maré em algum grau (geralmente pequeno), exceto para as duas classes de corpos desacelerados de maré. Na maioria dos casos, entretanto, o efeito é pequeno o suficiente para que, mesmo depois de bilhões de anos, a maioria dos satélites não seja realmente perdida. O efeito é provavelmente mais pronunciado para a segunda lua de Marte, Deimos , que pode se tornar um asteróide que cruza a Terra depois de escapar das garras de Marte. O efeito também surge entre diferentes componentes em uma estrela binária .

Desaceleração da maré

Na aceleração das marés (1), um satélite orbita na mesma direção (mas mais lentamente que) a rotação de seu corpo original. A protuberância da maré mais próxima (vermelho) atrai o satélite mais do que a protuberância mais distante (azul), transmitindo uma força positiva líquida (setas pontilhadas mostrando as forças resolvidas em seus componentes) na direção da órbita, elevando-o para uma órbita mais alta.
Na desaceleração da maré (2) com a rotação invertida, a força resultante se opõe à direção da órbita, baixando-a.

Isso vem em duas variedades:

  1. Satélites rápidos : algumas luas internas dos planetas gigantes e Fobos orbitam dentro do raio da órbita síncrona, de modo que seu período orbital é mais curto do que a rotação do planeta. Em outras palavras, eles orbitam seu planeta mais rápido do que o planeta gira. Nesse caso, as protuberâncias de maré levantadas pela lua em seu planeta ficam para trás da lua e atuam para desacelerá- la em sua órbita. O efeito líquido é uma diminuição da órbita da lua à medida que ela gira gradualmente em direção ao planeta. A rotação do planeta também acelera ligeiramente no processo. Em um futuro distante, essas luas atingirão o planeta ou cruzarão seu limite Roche e serão fragmentadas pelas marés. No entanto, todas essas luas no Sistema Solar são corpos muito pequenos e as protuberâncias das marés levantadas por elas no planeta também são pequenas, então o efeito é geralmente fraco e a órbita decai lentamente. As luas afetadas são: Alguns levantam a hipótese de que depois que o Sol se tornar uma gigante vermelha, sua rotação de superfície será muito mais lenta e causará desaceleração de maré em todos os planetas restantes.
  2. Satélites retrógrados : Todos os satélites retrógrados experimentam desaceleração de maré em algum grau porque seu movimento orbital e a rotação de seu planeta estão em direções opostas, causando forças restauradoras de suas protuberâncias de maré. Uma diferença em relação ao caso anterior de "satélite rápido" é que a rotação do planeta também é desacelerada em vez de acelerada (o momento angular ainda é conservado porque, nesse caso, os valores para a rotação do planeta e a revolução da lua têm sinais opostos). O único satélite do Sistema Solar para o qual esse efeito não é desprezível é a lua de Netuno, Tritão . Todos os outros satélites retrógrados estão em órbitas distantes e as forças de maré entre eles e o planeta são insignificantes.

Acredita-se que Mercúrio e Vênus não tenham satélites, principalmente porque qualquer satélite hipotético teria sofrido desaceleração há muito tempo e colidido com os planetas devido às velocidades de rotação muito lentas de ambos os planetas; além disso, Vênus também possui rotação retrógrada.

Teoria

Tamanho da protuberância da maré

Negligenciando a inclinação axial , a força de maré que um satélite (como a Lua) exerce sobre um planeta (como a Terra) pode ser descrita pela variação de sua força gravitacional ao longo da distância dele, quando essa força é considerada aplicada a uma unidade massa :

onde G é a constante gravitacional universal , m é a massa do satélite er é a distância entre o satélite e o planeta.

Assim, o satélite cria um potencial perturbador no planeta, cuja diferença entre o centro do planeta e o ponto mais próximo (ou mais distante) do satélite é:

onde A é o raio do planeta.

O tamanho da protuberância da maré criada no planeta pode ser estimado aproximadamente como a razão entre este potencial perturbador e a gravidade da superfície do planeta:

Um cálculo mais exato dá:

assumindo que negligenciamos um efeito de segunda ordem devido à rigidez do material do planeta.

Para o sistema Lua-Terra ( m  = 7,3 x 10 22 kg, M  = 6 × 10 24 kg, A  = 6,4 × 10 6  m, r  = 3,8 × 10 8 ), isso dá 0,7 metros, perto do valor verdadeiro para altura das marés do oceano (cerca de um metro).

Observe que duas protuberâncias são formadas, uma centrada aproximadamente em torno do ponto mais próximo do satélite e a outra centrada aproximadamente no ponto mais distante dele.

Torque

Devido à rotação do planeta, as protuberâncias ficam um pouco atrás (?, À frente) do eixo planeta-satélite, o que cria um ângulo entre os dois. O tamanho desse ângulo de retardo depende da inércia e (muito mais importante) das forças de dissipação (por exemplo, fricção) exercidas na protuberância.

O satélite aplica forças diferentes nas protuberâncias próximas e distantes. A diferença é aproximadamente vezes o diâmetro do planeta, onde substituímos a massa unitária no cálculo acima pela massa aproximada de cada protuberância, (onde ρ é a densidade de massa da protuberância):

onde levamos em consideração o efeito do ângulo de desfasamento .

Para obter uma estimativa aproximada do torque exercido pelo satélite no planeta, precisamos multiplicar essa diferença pelo comprimento da alavanca (que é o diâmetro do planeta) e pelo seno do ângulo de atraso, dando:

Um cálculo mais exato adiciona um fator 2/5 devido à forma esférica do planeta e dá:

Inserir o valor de H encontrado acima é:

Isso pode ser escrito como:

Onde k é um fator relacionado que pode ser expresso por números de Amor , levando em consideração a não uniformidade na densidade de massa do planeta; correções devido à rigidez do planeta, negligenciadas acima, também entram aqui. Para a Terra, a maior parte da protuberância é feita de água do mar e não tem correção para rigidez, mas sua densidade de massa é 0,18 a densidade de massa média da Terra (1 g / cm 3 vs. 5,5 g / cm 3 ), então . A literatura usa um valor próximo de 0,2 ( )

Um cálculo semelhante pode ser feito para as marés criadas no planeta pelo sol. Aqui, m deve ser substituído pela massa do Sol er pela distância ao sol. Visto que α depende das propriedades de dissipação da Terra, espera-se que seja o mesmo para ambas. O torque resultante é de 20% daquele exercido pela lua.

Relação do ângulo de atraso com a dissipação de energia

O trabalho exercido pelo satélite sobre o planeta é criado por uma força F atuando ao longo da trajetória de movimento de unidades de massa que se movem na velocidade u no planeta (na verdade, no bojo).

As forças e localizações dependem do ângulo relativo ao eixo planeta-satélite θ , que muda periodicamente com o momento angular Ω . Uma vez que a força no sistema de coordenadas esféricas do planeta é simétrica na direção do satélite e na direção oposta (é para fora em ambos), a dependência é aproximada como senoidal em 2 θ . Assim, a força exercida sobre uma unidade de massa tem a forma:

e a tradução projetada na mesma direção tem a forma:

devido ao ângulo de atraso. O componente de velocidade na direção da força é, portanto:

E assim, o trabalho total exercido sobre uma unidade de massa durante um ciclo é:

Na verdade, quase tudo isso é dissipado (por exemplo, como atrito), conforme explicado a seguir.

Olhando agora para a energia total do potencial do satélite em uma das protuberâncias, isso é igual ao trabalho total realizado neste em um quarto da faixa angular total, ou seja, de zero ao deslocamento máximo:

onde definimos e aproximamos para pequeno α na última igualdade, negligenciando-o.

A fração de energia dissipada em cada ciclo é representada pela função de dissipação específica efetiva, denotada por e definida como a dissipação total em um ciclo dividido por . Isto dá:

O valor disso é estimado em 1/13 para a Terra, onde a protuberância é principalmente líquida, 10 −1 -10 −2 para os outros planetas internos e a Lua, onde a protuberância é principalmente sólida, e como 10 −3 –10 −5 para os planetas externos, principalmente gasosos.

Com este valor para a Terra em mãos, o torque pode ser calculado como 4,4 × 10 16 N m, apenas 13% acima do valor medido de 3,9 × 10 16 N m.

Observe que, no passado distante, o valor de para o sistema Terra-Lua era provavelmente um pouco menor.

Retardo da rotação do planeta

Mais uma vez, negligenciando a inclinação axial , a mudança ao longo do tempo no momento angular do planeta L é igual ao torque. L por sua vez é o produto da velocidade angular Ω com o momento de inércia I .

Para um planeta esférico de densidade de massa aproximadamente uniforme , onde f é um fator que depende da estrutura do planeta; um planeta esférico de densidade uniforme tem f = 2/5 = 0,4. Uma vez que o momento angular, isso dá:

Como a densidade da Terra é maior em profundidade, seu momento de inércia é um pouco menor, com f = 0,33.

Para o sistema Terra-Lua, tomando de 1/13 ek  = 0,2, obtemos a desaceleração da rotação da Terra d Ω / d t = -4,5 × 10 −22 radianos seg −2 = -924,37 "cy −2 que corresponde à aceleração da duração do dia (LOD) de 61 s / cy 2 ou 1,7 ms / d / cy ou 46 ns / d 2. Para um dia de 24 horas, isso é equivalente a um aumento de 17 segundos em 1 milhões de anos para o LOD, ou 1 hora (ou seja, alongamento do dia em 1 hora) em 210 milhões de anos. Devido ao efeito adicional de 20% do Sol, o dia aumenta em 1 hora em aproximadamente 180 milhões de anos. Este cálculo é teoria pura, não pressupõe dissipação nem armazenamento de forças por meio do calor de fricção, o que é irreal devido às massas de ar, oceanos e tectônica . Objetos na órbita do sistema terra-lua podem drenar a inércia, por exemplo: 2020 CD3

Um cálculo semelhante mostra que a Terra havia exercido um momento angular por meio da fricção de maré na autorrotação da Lua, antes que ela ficasse travada pelas marés . Nesse período, calcula-se a mudança no momento angular da Lua ω da mesma maneira que para Ω acima, exceto que m e M devem ser trocados, e A deve ser substituído pelo raio da Lua a  = 1,7 × 10 6 metros. Tomando 10 −1 - 10 −2 para os planetas sólidos ek  = 1, isso dá a desaceleração da rotação da Lua d ω / d t = -3 × 10 −17 - −3 × 10 −18 radianos sec −2 . Para um período de rotação de 29,5 dias, isso é equivalente a 1,5 - 15 minutos em 1 ano, ou 1 dia em 10 2 - 10 3 anos. Assim, em escalas de tempo astronômicas, a Lua tornou-se travada por marés muito rápido.

Efeito no movimento do satélite ao redor do planeta

Devido à conservação do momento angular, um torque do mesmo tamanho que o exercido pelo satélite e de direção oposta é exercido pelo planeta no movimento do satélite ao redor do planeta. Outro efeito, que não será tratado aqui, são as mudanças na excentricidade e inclinação da órbita.

O momento de inércia desse movimento é m r 2 . No entanto, agora o próprio r depende da velocidade angular que denotamos aqui n : de acordo com a análise newtoniana do movimento orbital :

Assim, o momento angular da órbita do satélite, , satisfaz (desprezando a excentricidade ):

Além disso, já que temos:

Observe que, assumindo que todas as rotações estão na mesma direção e Ω > ω , com o passar do tempo, o momento angular do planeta diminui e, portanto, o da órbita do satélite aumenta. Devido à sua relação com a distância planeta-satélite, esta aumenta, logo a velocidade angular da órbita do satélite diminui.

Para o sistema Terra-Lua, d r / d t dá 1,212 × 10 -9 metros por segundo (ou nm / s), ou 3,8247 cm por ano (ou também m / cy) [ 24 ] . Este é um aumento de 1% na distância Terra-Lua em 100 milhões de anos. A desaceleração da Lua d n / d t é -1,2588 × 10 −23 radianos sec −2 ou -25,858 "/ cy 2 , e por um período de 29,5 dias (um mês sinódico) é equivalente a um aumento de 38 ms / cy, ou 7 minutos em 1 milhão de anos, ou 1 dia (isto é, prolongamento do período lunar em 1 dia) em 210 milhões de anos.

Efeito do Sol

O sistema Sol-planeta tem dois efeitos de atrito de maré. Um efeito é que o Sol cria uma fricção de maré no planeta, o que diminui seu momento angular de rotação e, portanto, também aumenta seu momento angular orbital ao redor do Sol, aumentando sua distância e reduzindo sua velocidade angular (assumindo a velocidade angular orbital do Sol é menor do que a rotação do planeta; caso contrário, as direções de mudança são opostas).

Se M S é a massa do Sol e D é a distância até ela, então a taxa de variação de D é dada, semelhante ao cálculo acima, por:

A velocidade angular orbital do planeta, Ω S , então muda como:

Para o sistema Terra-Sol, isso dá 1 × 10 −13 metros por segundo, ou 3 metros em 1 milhão de anos. Este é um aumento de 1% na distância Terra-Sol em meio bilhão de anos. A desaceleração da velocidade angular orbital da Terra é -2 × 10 −31 radianos sec 2 ou -410 × 10 −9 "/ cy 2 , ou equivalentemente por um período de 1 ano, 1 segundo em 1 bilhão de anos.

Outro efeito, relativamente insignificante, é que o planeta cria atrito de maré no sol. Isso cria uma mudança na distância ao Sol e na velocidade angular orbital ao seu redor, como acontece com o satélite no sistema satélite-planeta. Usando as mesmas equações, mas agora para o sistema planeta-Sol, com A S representando o raio do Sol (7 × 10 8 metros), temos:

onde k S é um fator, presumivelmente muito pequeno, devido à não uniformidade das densidades de massa do Sol. Supondo que esse fator multiplicado por sin (2 α S ) não seja maior do que o encontrado nos planetas externos, ou seja, 10 −3 - 10 −5 , temos uma contribuição desprezível desse efeito.

Um cálculo detalhado para o sistema Terra-Lua

Perturbação potencial criada pela Lua na Terra

O potencial, ou energia potencial por unidade de massa, que a Lua cria na Terra, cujo centro está localizado a uma distância r 0 da Lua ao longo do eixo z , no referencial de rotação Terra-Lua e em coordenadas centradas no Centro terrestre, é:

onde é a distância da Lua ao centro de massa do sistema Terra-Lua, ω é a velocidade angular da Terra em torno deste ponto (a mesma que a velocidade angular orbital lunar). O segundo termo é o potencial efetivo devido à força centrífuga da Terra.

Expandimos o potencial da série Taylor em torno desse ponto. O termo linear deve desaparecer (pelo menos em média com o tempo), caso contrário, a força no centro da Terra não estaria desaparecendo. Assim:

Movendo para coordenadas esféricas isso dá:

onde estão os polinômios de Legendre .

O termo constante não tem importância mecânica, enquanto o causa uma dilatação fixa e não está diretamente envolvido na criação de um torque.

Assim, nos concentramos nos outros termos, cuja soma denotamos , e principalmente no termo que é o maior, como é no máximo a relação entre o raio da Terra e sua distância da Lua, que é inferior a 2%.

Forma da protuberância I: resposta a um potencial perturbativo

Tratamos o potencial criado pela Lua como uma perturbação do potencial gravitacional da Terra. Assim, a altura na Terra em um ponto com ângulos , é:

onde , e a amplitude de δ é proporcional à perturbação. Expandimos δ em polinômios de Legendre, onde o termo constante (que significa dilatação) será ignorado, pois não estamos interessados ​​nele. Assim:

onde δ n são constantes desconhecidas que gostaríamos de encontrar.

Presumimos por enquanto o equilíbrio total, bem como nenhuma rigidez na Terra (por exemplo, como em uma Terra líquida). Portanto, sua superfície é equipotencial e, portanto, é constante, onde está o potencial da Terra por unidade de massa. Como δ é proporcional a , que é muito menor que V E , isso pode ser expandido em δ . Eliminando termos não lineares, temos:

Observe que é a força por unidade de massa da gravidade da Terra, ou seja, é apenas a aceleração gravitacional g .

Como os polinômios de Legendre são ortogonais , podemos igualar seus coeficientes em ambos os lados da equação, fornecendo:

Assim, a altura é a razão entre o potencial de perturbação e a força do potencial perturbado.

Forma do bojo II: a deformação criando um potencial perturbativo

Até agora, negligenciamos o fato de que a própria deformação cria um potencial perturbativo. Para explicar isso, podemos calcular esse potencial perturbativo, recalcular a deformação e continuar iterativamente.

Vamos supor que a densidade de massa seja uniforme. Uma vez que δ é muito menor que A , a deformação pode ser tratada como uma casca fina adicionada à massa da Terra, onde a casca tem uma densidade de massa superficial ρ δ (e também pode ser negativa), com ρ sendo a densidade de massa ( se a densidade de massa não for uniforme, então a mudança na forma do planeta cria diferenças na distribuição de massa em todas as profundidades, e isso também deve ser levado em consideração). Como o potencial de gravitação tem a mesma forma que o potencial elétrico, este é um problema simples em eletrostática . Para o problema eletrostático análogo, o potencial criado pela casca tem a forma:

onde a densidade de carga superficial é proporcional à descontinuidade no gradiente do potencial:

é a permissividade do vácuo , uma constante relevante para a eletrostática, relacionada à equação . A equação análoga em gravidade é , portanto, se a densidade de carga for substituída por densidade de massa, deve ser substituída por .

Assim, no problema gravitacional, temos:

Então, novamente devido à ortogonalidade dos polinômios de Legendre:

Assim, o potencial perturbativo por unidade de massa para é:

Observe que, como a densidade de massa da Terra de fato não é uniforme, esse resultado deve ser multiplicado por um fator que é aproximadamente a razão entre a densidade de massa do bojo e a massa média da Terra, aproximadamente 0,18. O fator real é um pouco maior, uma vez que também há alguma deformação nas camadas sólidas mais profundas da Terra. Vamos denotar esse fator por x . A rigidez também diminui x , embora seja menos relevante para a maior parte do bojo, feito de água do mar.

A deformação foi criada por um potencial perturbativo de tamanho . Assim, para cada coeficiente de , a razão do potencial perturbativo original para aquele criado secundariamente pela deformação é:

com x  = 1 para um planeta perfeitamente uniforme e não rígido.

Este potencial perturbativo secundário cria outra deformação que novamente cria um potencial perturbativo e assim por diante ad infinitum, de modo que a deformação total é do tamanho:

Para cada modo, a razão para δ n , a estimativa ingênua da deformação, é e é denotada como número do Amor . Para um planeta uniforme perfeitamente não rígido (por exemplo, uma Terra líquida de um líquido não compressível), isso é igual a , e para o modo principal de n  = 2, é 5/2.

Da mesma forma, n- ésimo modo do potencial perturbativo de maré por unidade de massa criado pela Terra em r = A é o número de Amor k n vezes o termo correspondente no potencial perturbativo de maré lunar original, onde para uma densidade de massa uniforme, rigidez zero planeta k n é:

Para um planeta uniforme perfeitamente não rígido (por exemplo, uma Terra líquida de um líquido não compressível), isso é igual a 3/2. Na verdade, para o modo principal de n   2, o valor real da Terra é um quinto dele, a saber, k 2 = 0,3 (que se ajusta a c 2 = 0,23 ou x = 0,38, aproximadamente o dobro das taxas de densidade de 0,18).

Cálculo do torque

Em vez de calcular o torque exercido pela Lua na deformação da Terra, calculamos o torque recíproco exercido pela deformação da Terra na Lua; ambos devem ser iguais.

O potencial criado pela protuberância da Terra é o potencial perturbativo que discutimos acima. Por unidade de massa, para r = A , isso é o mesmo que o potencial perturbativo lunar criando a protuberância, com cada modo multiplicado por k n , com o modo n  = 2 dominando de longe o potencial. Assim, em r  =  A, o potencial perturbativo de protuberância por unidade de massa é:

uma vez que o n - o modo cai como r - ( n +1) para r  >  A , temos fora da Terra:

No entanto, a protuberância na verdade fica em um ângulo α em relação à direção da Lua devido à rotação da Terra. Assim, temos:

A Lua está em r  =  r 0 , θ  = 0. Assim, o potencial por unidade de massa na Lua é:

Negligenciando a excentricidade e a inclinação axial, obtemos o torque exercido pela protuberância na Lua multiplicando: pela massa da Lua m , e diferenciando em relação a θ na localização da Lua. Isso é equivalente a diferenciar em relação a α , e dá:

Esta é a mesma fórmula utilizada acima , com r  =  r 0 e k não definida como 2 k 2 /3.

Veja também

Referências

links externos