Teorema da extensão Tietze - Tietze extension theorem

Em topologia , o teorema da extensão Tietze (também conhecido como teorema da extensão Tietze-Urysohn-Brouwer) afirma que as funções contínuas em um subconjunto fechado de um espaço topológico normal podem ser estendidas para todo o espaço, preservando os limites, se necessário.

Declaração formal

Se é um espaço normal e

é um contínuo mapa a partir de um subconjunto fechado de nos números reais que transportam a topologia padrão, então existe uma extensão contínua da qual, por definição, é um mapa contínua

com para todos Além disso, pode ser escolhido de forma que

ou seja, se for limitado, então pode ser escolhido para ser limitado (com o mesmo limite que ).

História

LEJ Brouwer e Henri Lebesgue provaram um caso especial do teorema, quando é um espaço vetorial real de dimensão finita . Heinrich Tietze estendeu-o a todos os espaços métricos , e Pavel Urysohn provou o teorema como afirmado aqui, para espaços topológicos normais.

Declarações equivalentes

Este teorema é equivalente ao lema de Urysohn (que também é equivalente à normalidade do espaço) e é amplamente aplicável, uma vez que todos os espaços métricos e todos os espaços compactos de Hausdorff são normais. Ele pode ser generalizado, substituindo com algum indexação definir qualquer retração de ou qualquer normais retração absoluta qualquer.

Variações

Se é um espaço métrico, um subconjunto não vazio de e é uma função contínua de Lipschitz com constante de Lipschitz, então pode ser estendido para uma função contínua de Lipschitz com a mesma constante Este teorema também é válido para funções contínuas de Hölder , ou seja, se é contínuo de Hölder função com constante menor ou igual a então pode ser estendida a uma função contínua de Hölder com a mesma constante.

Outra variante (de fato, generalização) do teorema de Tietze é devida a Z. Ercan: Let Ser um subconjunto fechado de um espaço topológico If é uma função semicontínua superior , é uma função semicontínua inferior , e uma função contínua tal que para cada e para cada um, então, há uma extensão contínua de tal que para cada Este teorema também é válido com alguma hipótese adicional se for substituído por um espaço de Riesz localmente sólido geral .

Veja também

Referências

links externos