Tempo constante - Time constant

Em física e engenharia , a constante de tempo , geralmente denotada pela letra grega $τ$ (tau), é o parâmetro que caracteriza a resposta a uma entrada em degrau de um sistema linear invariante no tempo (LTI) de primeira ordem . A constante de tempo é a principal unidade característica de um sistema LTI de primeira ordem.

No domínio do tempo, a escolha usual para explorar a resposta do tempo é por meio da resposta ao degrau para uma entrada do degrau ou a resposta ao impulso para uma entrada da função delta de Dirac . No domínio da frequência (por exemplo, olhando para a transformada de Fourier da resposta ao degrau, ou usando uma entrada que é uma função senoidal simples de tempo), a constante de tempo também determina a largura de banda de um sistema invariante no tempo de primeira ordem, que é , a frequência na qual a potência do sinal de saída cai para a metade do valor que tem em frequências baixas.

A constante de tempo também é usada para caracterizar a resposta de frequência de vários sistemas de processamento de sinal - fitas magnéticas , transmissores e receptores de rádio , equipamento de corte e reprodução de registros e filtros digitais - que podem ser modelados ou aproximados por sistemas LTI de primeira ordem. Outros exemplos incluem constante de tempo usada em sistemas de controle para controladores de ação integral e derivada, que muitas vezes são pneumáticos , em vez de elétricos.

As constantes de tempo são uma característica da análise de sistema concentrado (método de análise de capacidade concentrada) para sistemas térmicos, usados quando os objetos esfriam ou aquecem uniformemente sob a influência de resfriamento ou aquecimento convectivo.

Fisicamente, a constante de tempo representa o tempo decorrido necessário para que a resposta do sistema decaia para zero se o sistema tivesse continuado a decair na taxa inicial, por causa da mudança progressiva na taxa de decaimento, a resposta terá realmente diminuído em valor para $1 / e \approx 36,8%$ neste tempo (digamos de uma redução gradual). Em um sistema crescente, a constante de tempo é o tempo para a resposta ao degrau do sistema atingir $1 - 1 / e \approx 63,2%$ de seu valor final (assintótico) (digamos de um aumento de degrau). No decaimento radioativo, a constante de tempo está relacionada à constante de decaimento ( λ ) e representa tanto a vida útil média de um sistema em decadência (como um átomo) antes de decair, ou o tempo que leva para todos, exceto 36,8% dos átomos decair. Por esse motivo, a constante de tempo é mais longa do que a meia-vida , que é o tempo para que apenas 50% dos átomos se decomponham.

Equação diferencial

Os sistemas LTI de primeira ordem são caracterizados pela equação diferencial

{\ displaystyle \ tau {\ frac {dV} {dt}} + V = f (t)}

onde $τ$ representa a constante de decaimento exponencial e $V$ é uma função do tempo $t$

{\ displaystyle V = V (t).}

O lado direito é a função de força $f (t) que$ descreve uma função motriz externa do tempo, que pode ser considerada como a entrada do sistema , para a qual $V (t)$ é a resposta ou saída do sistema. Os exemplos clássicos para $f (t)$ são:

A função de etapa de Heaviside , frequentemente denotada por $u (t)$ :

{\ displaystyle u (t) = {\ begin {cases} 0, & t <0 \\ 1, & t \ geq 0 \ end {cases}}}

a função de impulso , frequentemente denotada por $δ (t)$ , e também a função de entrada senoidal:

{\ displaystyle f (t) = A \ sin (2 \ pi ft)}

ou

{\ displaystyle f (t) = Ae ^ {j \ omega t},}

onde $A$ é a amplitude da função de força, $f$ é a frequência em Hertz e $ω = 2 π f$ é a frequência em radianos por segundo.

Solução de exemplo

Um exemplo de solução para a equação diferencial com valor inicial $V 0$ e nenhuma função de força é

{\ displaystyle V (t) = V_ {0} e ^ {- t / \ tau}}

Onde

{\ displaystyle V_ {0} = V (t = 0)}

é o valor inicial de $V$ . Assim, a resposta é um decaimento exponencial com constante de tempo $τ$ .

Discussão

Suponha

{\ displaystyle V (t) = V_ {0} e ^ {- t / \ tau}.}

Esse comportamento é conhecido como função exponencial "decadente". O tempo $τ$ (tau) é referido como a "constante de tempo" e pode ser usado (como neste caso) para indicar a rapidez com que uma função exponencial decai.

Aqui:

t

= tempo (geralmente

t > 0

na engenharia de controle)

V 0

= valor inicial (ver "casos específicos" abaixo).

Casos específicos

Let ; então , e então ${\ displaystyle t = 0}$ ${\ displaystyle V = V_ {0} e ^ {0}}$ ${\ displaystyle V = V_ {0}}$
Let ; então ${\ displaystyle t = \ tau}$ ${\ displaystyle V = V_ {0} e ^ {- 1} \ aproximadamente 0,37V_ {0}}$
Deixe e assim ${\ displaystyle V = f (t) = V_ {0} e ^ {- t / \ tau}}$ ${\ textstyle \ lim _ {t \ to \ infty} f (t) = 0}$
Let ; então ${\ displaystyle t = 5 \ tau}$ ${\ displaystyle V = V_ {0} e ^ {- 5} \ aproximadamente 0,0067V_ {0}}$

Após um período de uma constante de tempo, a função atinge $e -1$ = aproximadamente 37% de seu valor inicial. No caso 4, após cinco constantes de tempo a função atinge um valor inferior a 1% do seu original. Na maioria dos casos, este limite de 1% é considerado suficiente para assumir que a função decaiu para zero - como regra geral, na engenharia de controle, um sistema estável é aquele que exibe esse comportamento amortecido geral.

Relação da constante de tempo com a largura de banda

Um exemplo de resposta do sistema à função de força de onda senoidal. Eixo do tempo em unidades da constante de tempo

τ

. A resposta diminui para se tornar uma onda senoidal simples.

Resposta de frequência do sistema vs. frequência em unidades da largura de banda

f 3dB

. A resposta é normalizada para um valor unitário de frequência zero e cai para 1 / √2 na largura de banda.

Suponha que a função de força seja escolhida como senoidal, então:

{\ displaystyle \ tau {\ frac {dV} {dt}} + V = f (t) = Ae ^ {j \ omega t}.}

(A resposta a um cosseno real ou entrada de onda senoidal pode ser obtida tomando a parte real ou imaginária do resultado final em virtude da fórmula de Euler .) A solução geral para esta equação para tempos $t \geq 0 s$ , assumindo $V (t = 0 ) = V 0$ é:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} V (t) & = V_ {0} e ^ {- t / \ tau} + {\ frac {Ae ^ {- t / \ tau}} {\ tau}} \ int _ {0} ^ {t} \, dt '\ e ^ {t' / \ tau} e ^ {j \ omega t '} \\ & = V_ {0} e ^ {- t / \ tau} + { \ frac {1 / \ tau} {j \ omega + 1 / \ tau}} A \ left (e ^ {j \ omega t} -e ^ {- t / \ tau} \ right). \ end {alinhado} }}

Por muito tempo, as exponenciais decadentes tornam-se insignificantes e a solução de estado estacionário ou solução de longo tempo é:

{\ displaystyle V _ {\ infty} (t) = {\ frac {1 / \ tau} {j \ omega + 1 / \ tau}} Ae ^ {j \ omega t}.}

A magnitude dessa resposta é:

{\ displaystyle | V _ {\ infty} (t) | = A {\ frac {1} {\ tau \ left (\ omega ^ {2} + (1 / \ tau) ^ {2} \ right) ^ {1 / 2}}} = A {\ frac {1} {\ sqrt {1 + (\ omega \ tau) ^ {2}}}}.}

Por convenção, a largura de banda deste sistema é a frequência em que $| V \infty | 2$ cai para a metade do valor, ou onde $ωτ = 1$ . Esta é a convenção usual de largura de banda , definida como a faixa de frequência em que a potência cai em menos da metade (no máximo -3 dB). Usando a frequência em hertz, em vez de radianos / s ( $ω = 2 πf$ ):

{\ displaystyle f _ {\ mathrm {3dB}} = {\ frac {1} {2 \ pi \ tau}}.}

A notação $f 3dB$ decorre da expressão da potência em decibéis e da observação de que meia potência corresponde a uma queda no valor de $| V \infty |$ por um fator de 1 / √2 ou por 3 decibéis.

Assim, a constante de tempo determina a largura de banda desse sistema.

Resposta de etapa com condições iniciais arbitrárias

Resposta ao degrau do sistema para dois valores iniciais V _{0 diferentes} , um acima do valor final e um em zero. A resposta de longo prazo é uma constante, V _∞ . Eixo do tempo em unidades da constante de tempo .

{\ displaystyle \ tau}

Suponha que a função de força seja escolhida como uma etapa de entrada para:

{\ displaystyle {\ frac {dV} {dt}} + {\ frac {1} {\ tau}} V = f (t) = Au (t),}

com $u (t)$ a função de etapa de Heaviside. A solução geral para esta equação para tempos $t \geq 0 s$ , assumindo $V (t = 0) = V 0$ é:

{\ displaystyle V (t) = V_ {0} e ^ {- t / \ tau} + A \ tau \ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right).}

(Pode-se observar que esta resposta é o limite $ω \to 0$ da resposta acima a uma entrada senoidal.)

A solução de longo prazo é independente do tempo e das condições iniciais:

{\ displaystyle V _ {\ infty} = A \ tau.}

A constante de tempo permanece a mesma para o mesmo sistema, independentemente das condições iniciais. Em termos simples, um sistema se aproxima de sua situação final de estado estacionário a uma taxa constante, independentemente de quão próximo esteja desse valor em qualquer ponto de partida arbitrário.

Por exemplo, considere um motor elétrico cuja partida é bem modelada por um sistema LTI de primeira ordem. Suponha que, quando iniciado do repouso, o motor leva1/8de um segundo para atingir 63% de sua velocidade nominal de 100 RPM, ou 63 RPM - um déficit de 37 RPM. Então, será descoberto que após o próximo1/8de um segundo, o motor acelerou 23 RPM adicionais, o que equivale a 63% dessa diferença de 37 RPM. Isso o leva a 86 RPM - ainda 14 RPM baixo. Depois de um terceiro1/8 de um segundo, o motor terá ganho 9 RPM adicionais (63% daquela diferença de 14 RPM), colocando-o a 95 RPM.

Na verdade, dada qualquer velocidade inicial s ≤ 100 RPM, 1/8de um segundo depois, este motor em particular terá ganho 0,63 × (100 - s ) RPM adicional.

Exemplos

Constantes de tempo em circuitos elétricos

Resposta escalonada da tensão do capacitor.

Resposta ao degrau da tensão do indutor.

Em um circuito RL composto por um único resistor e indutor, a constante de tempo (em segundos ) é ${\ displaystyle \ tau}$

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {L} {R}}}

onde R é a resistência (em ohms ) e L é a indutância (em Henrys ).

Da mesma forma, em um circuito RC composto por um único resistor e capacitor, a constante de tempo (em segundos) é: ${\ displaystyle \ tau}$

{\ displaystyle \ tau = RC}

onde R é a resistência (em ohms ) e C é a capacitância (em farads ).

Os circuitos elétricos são frequentemente mais complexos do que esses exemplos e podem exibir várias constantes de tempo (consulte a resposta de etapa e divisão de pólo para alguns exemplos.) No caso em que o feedback está presente, um sistema pode exibir oscilações crescentes e instáveis. Além disso, os circuitos elétricos físicos raramente são sistemas verdadeiramente lineares, exceto para excitações de amplitude muito baixa; no entanto, a aproximação da linearidade é amplamente utilizada.

Em circuitos eletrônicos digitais outra medida, o FO4 é freqüentemente usado. Isso pode ser convertido em unidades de constantes de tempo por meio da equação . ${\ displaystyle 5 \ tau = {\ text {FO4}}}$

Constante de tempo térmico

As constantes de tempo são uma característica da análise de sistema concentrado (método de análise de capacidade concentrada) para sistemas térmicos, usados quando os objetos esfriam ou aquecem uniformemente sob a influência de resfriamento ou aquecimento convectivo . Nesse caso, a transferência de calor do corpo para o ambiente em um determinado momento é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente:

{\ displaystyle F = hA_ {s} \ left (T (t) -T_ {a} \ right),}

onde h é o coeficiente de transferência de calor e A _s é a área da superfície, T é a função temperatura, isto é, T ( t ) é a temperatura corporal no tempo t e T _a é a temperatura ambiente constante. O sinal positivo indica a convenção de que F é positivo quando o calor está deixando o corpo porque sua temperatura é mais alta do que a temperatura ambiente ( F é um fluxo para fora). Se o calor é perdido para o ambiente, essa transferência de calor leva a uma queda na temperatura do corpo dada por:

{\ displaystyle \ rho c_ {p} V {\ frac {dT} {dt}} = - F,}

onde ρ = densidade, c _p = calor específico e V é o volume corporal. O sinal negativo indica que a temperatura cai quando a transferência de calor é para fora do corpo (ou seja, quando F > 0). Equacionando essas duas expressões para a transferência de calor,

{\ displaystyle \ rho c_ {p} V {\ frac {dT} {dt}} = - hA_ {s} \ left (T (t) -T_ {a} \ right).}

Evidentemente, este é um sistema LTI de primeira ordem que pode ser lançado na forma:

{\ displaystyle {\ frac {dT} {dt}} + {\ frac {1} {\ tau}} T = {\ frac {1} {\ tau}} T_ {a},}

com

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {\ rho c_ {p} V} {hA_ {s}}}.}

Em outras palavras, massas maiores ρV com maiores capacidades de calor c _p levam a mudanças mais lentas na temperatura (constante de tempo mais longa τ ), enquanto áreas de superfície maiores A _s com maior transferência de calor h levam a mudanças de temperatura mais rápidas (constante de tempo mais curta τ ).

A comparação com a equação diferencial introdutória sugere a possível generalização para temperaturas ambientes variáveis no tempo T _a . No entanto, mantendo o exemplo ambiente constante simples, substituindo a variável Δ T ≡ ( T - T _a ), encontra-se:

{\ displaystyle {\ frac {d \ Delta T} {dt}} + {\ frac {1} {\ tau}} \ Delta T = 0.}

Diz-se que os sistemas para os quais o resfriamento satisfaz a equação exponencial acima satisfazem a lei do resfriamento de Newton . A solução para esta equação sugere que, em tais sistemas, a diferença entre a temperatura do sistema e seu entorno Δ T em função do tempo t , é dada por:

{\ displaystyle \ Delta T (t) = \ Delta T_ {0} e ^ {- t / \ tau},}

onde Δ T ₀ é a diferença de temperatura inicial, no tempo t = 0. Em palavras, o corpo assume a mesma temperatura que o ambiente a uma taxa exponencialmente lenta determinada pela constante de tempo.

Constantes de tempo na neurociência

Em uma célula excitável, como um músculo ou neurônio , a constante de tempo do potencial de membrana é ${\ displaystyle \ tau}$

{\ displaystyle \ tau = r_ {m} c_ {m}}

onde r _m é a resistência através da membrana e c _m é a capacitância da membrana.

A resistência através da membrana é uma função do número de canais iônicos abertos e a capacitância é uma função das propriedades da bicamada lipídica .

A constante de tempo é usada para descrever o aumento e queda da voltagem da membrana, onde o aumento é descrito por

{\ displaystyle V (t) = V _ {\ textrm {max}} \ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)}

e a queda é descrita por

{\ displaystyle V (t) = V _ {\ textrm {max}} e ^ {- t / \ tau}}

onde a tensão está em milivolts, o tempo está em segundos e está em segundos. ${\ displaystyle \ tau}$

V _max é definido como a variação máxima de tensão do potencial de repouso , onde

{\ displaystyle V _ {\ textrm {max}} = r_ {m} I}

onde r _m é a resistência através da membrana e I é a corrente da membrana.

O ajuste de t = para o aumento define V ( t ) igual a 0,63 V _máx . Isso significa que a constante de tempo é o tempo decorrido após 63% da V _max ter sido atingida ${\ displaystyle \ tau}$

Definir para t = para a queda define V ( t ) igual a 0,37 V _máx , o que significa que a constante de tempo é o tempo decorrido após ter caído para 37% de V _máx . ${\ displaystyle \ tau}$

Quanto maior for a constante de tempo, mais lenta será a ascensão ou queda do potencial de um neurônio. Uma constante de tempo longa pode resultar em somatório temporal ou somatório algébrico de potenciais repetidos. Em vez disso, uma constante de tempo curta produz um detector de coincidência por meio da soma espacial .

Decadência exponencial

No decaimento exponencial , como de um isótopo radioativo , a constante de tempo pode ser interpretada como o tempo de vida médio . A meia-vida T _HL está relacionada à constante de tempo exponencial por ${\ displaystyle \ tau}$

{\ displaystyle T_ {HL} = \ tau \ ln 2.}

O recíproco da constante de tempo é chamado de constante de decaimento e é denotado . ${\ displaystyle \ lambda = 1 / \ tau}$

Sensores meteorológicos

Uma constante de tempo é a quantidade de tempo que leva para um sensor meteorológico responder a uma mudança rápida em uma medida, e até que esteja medindo valores dentro da tolerância de precisão normalmente esperada do sensor.

Isso geralmente se aplica a medições de temperatura, temperatura do ponto de orvalho, umidade e pressão do ar. As radiossondas são especialmente afetadas devido ao rápido aumento da altitude.

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