Séries temporais - Time series
Em matemática , uma série temporal é uma série de pontos de dados indexados (ou listados ou gráficos) em ordem de tempo. Mais comumente, uma série temporal é uma sequência tomada em pontos sucessivos igualmente espaçados no tempo. Portanto, é uma sequência de dados em tempo discreto . Exemplos de séries temporais são alturas das marés do oceano , contagens de manchas solares e o valor de fechamento diário da Dow Jones Industrial Average .
Uma série temporal é frequentemente traçada por meio de um gráfico de execução (que é um gráfico de linha temporal ). As séries temporais são usadas em estatísticas , processamento de sinais , reconhecimento de padrões , econometria , finanças matemáticas , previsão do tempo , previsão de terremotos , eletroencefalografia , engenharia de controle , astronomia , engenharia de comunicações e, em grande parte, em qualquer domínio da ciência aplicada e engenharia que envolva medições temporais .
A análise de série temporal compreende métodos para analisar dados de série temporal a fim de extrair estatísticas significativas e outras características dos dados. A previsão de série temporal é o uso de um modelo para prever valores futuros com base em valores observados anteriormente. Embora a análise de regressão seja frequentemente empregada de forma a testar as relações entre uma ou mais séries temporais diferentes, este tipo de análise não é normalmente chamado de "análise de série temporal", que se refere em particular às relações entre diferentes pontos no tempo dentro de um único Series. A análise de série temporal interrompida é usada para detectar mudanças na evolução de uma série temporal de antes para depois de alguma intervenção que pode afetar a variável subjacente.
Os dados da série temporal têm uma ordem temporal natural. Isso torna a análise de séries temporais distinta de estudos transversais , nos quais não há ordenação natural das observações (por exemplo, explicar os salários das pessoas por referência aos seus respectivos níveis de educação, onde os dados dos indivíduos podem ser inseridos em qualquer ordem). A análise de série temporal também é diferente da análise de dados espaciais, onde as observações normalmente se relacionam a localizações geográficas (por exemplo, contabilização dos preços das casas pela localização, bem como pelas características intrínsecas das casas). Um modelo estocástico para uma série temporal geralmente refletirá o fato de que as observações próximas umas das outras no tempo serão mais intimamente relacionadas do que as observações mais distantes. Além disso, os modelos de séries temporais freqüentemente farão uso da ordenação unilateral natural do tempo, de forma que os valores de um determinado período sejam expressos como derivados de alguma forma de valores passados, em vez de valores futuros (ver reversibilidade no tempo ).
A análise de série temporal pode ser aplicada a dados contínuos de valor real , dados numéricos discretos ou dados simbólicos discretos (ou seja, sequências de caracteres, como letras e palavras no idioma inglês ).
Métodos de análise
Os métodos de análise de séries temporais podem ser divididos em duas classes: métodos no domínio da frequência e métodos no domínio do tempo . Os primeiros incluem análise espectral e análise de wavelet ; os últimos incluem autocorrelação e análise de correlação cruzada . No domínio do tempo, a correlação e a análise podem ser feitas de maneira semelhante a um filtro, usando a correlação em escala , reduzindo assim a necessidade de operar no domínio da frequência.
Além disso, as técnicas de análise de série temporal podem ser divididas em métodos paramétricos e não paramétricos . As abordagens paramétricas assumem que o processo estocástico estacionário subjacente tem uma certa estrutura que pode ser descrita usando um pequeno número de parâmetros (por exemplo, usando um modelo autoregressivo ou de média móvel ). Nessas abordagens, a tarefa é estimar os parâmetros do modelo que descreve o processo estocástico. Por outro lado, as abordagens não paramétricas estimam explicitamente a covariância ou o espectro do processo sem assumir que o processo tem qualquer estrutura particular.
Os métodos de análise de série temporal também podem ser divididos em lineares e não lineares e univariados e multivariados .
Dados do painel
Uma série temporal é um tipo de painel de dados . Dados de painel são a classe geral, um conjunto de dados multidimensional, enquanto um conjunto de dados de série temporal é um painel unidimensional (assim como um conjunto de dados de seção transversal ). Um conjunto de dados pode exibir características de dados de painel e dados de série temporal. Uma maneira de saber é perguntar o que torna um registro de dados único em relação a outros registros. Se a resposta for o campo de dados de tempo, então este é um candidato a conjunto de dados de série temporal. Se a determinação de um registro único requer um campo de dados de tempo e um identificador adicional que não está relacionado ao tempo (por exemplo, carteira de estudante, símbolo de ação, código do país), então ele é candidato a dados de painel. Se a diferenciação reside no identificador não temporário, então o conjunto de dados é um candidato a conjunto de dados de seção transversal.
Análise
Existem vários tipos de motivação e análise de dados disponíveis para séries temporais que são apropriadas para diferentes propósitos.
Motivação
No contexto da estatística , econometria , finanças quantitativas , sismologia , meteorologia e geofísica, o objetivo principal da análise de séries temporais é a previsão . No contexto de processamento de sinal , engenharia de controle e engenharia de comunicação , é usado para detecção de sinal. Outras aplicações são em mineração de dados , reconhecimento de padrões e aprendizado de máquina , onde a análise de séries temporais pode ser usada para agrupamento , classificação , consulta por conteúdo, detecção de anomalias , bem como previsão .
Análise exploratória
Uma maneira direta de examinar uma série temporal regular é manualmente com um gráfico de linha . Um exemplo de gráfico é mostrado à direita para a incidência de tuberculose nos Estados Unidos, feito com um programa de planilha. O número de casos foi padronizado para uma taxa por 100.000 e a variação percentual por ano nessa taxa foi calculada. A linha de queda quase constante mostra que a incidência de TB estava diminuindo na maioria dos anos, mas a mudança percentual nesta taxa variou em até +/- 10%, com 'picos' em 1975 e por volta do início dos anos 1990. O uso de ambos os eixos verticais permite a comparação de duas séries temporais em um gráfico.
Outras técnicas incluem:
- Análise de autocorrelação para examinar a dependência serial
- Análise espectral para examinar o comportamento cíclico que não precisa estar relacionado à sazonalidade . Por exemplo, a atividade das manchas solares varia em ciclos de 11 anos. Outros exemplos comuns incluem fenômenos celestes, padrões climáticos, atividade neural, preços de commodities e atividade econômica.
- Separação em componentes que representam tendência, sazonalidade, variação lenta e rápida e irregularidade cíclica: ver estimativa de tendência e decomposição de séries temporais
Ajuste de curva
O ajuste de curva é o processo de construção de uma curva , ou função matemática , que tem o melhor ajuste para uma série de pontos de dados , possivelmente sujeito a restrições. O ajuste da curva pode envolver interpolação , onde um ajuste exato aos dados é necessário, ou suavização , na qual uma função "suave" é construída que se ajusta aproximadamente aos dados. Um tópico relacionado é a análise de regressão , que se concentra mais em questões de inferência estatística , como quanta incerteza está presente em uma curva que se ajusta aos dados observados com erros aleatórios. As curvas ajustadas podem ser usadas como um auxílio para a visualização de dados, para inferir valores de uma função onde nenhum dado está disponível e para resumir as relações entre duas ou mais variáveis. A extrapolação se refere ao uso de uma curva ajustada além da faixa dos dados observados e está sujeita a um grau de incerteza, pois pode refletir o método usado para construir a curva tanto quanto reflete os dados observados.
A construção de séries de tempo econômicas envolve a estimação de alguns componentes para algumas datas por interpolação entre valores (“benchmarks”) para datas anteriores e posteriores. A interpolação é a estimativa de uma quantidade desconhecida entre duas grandezas conhecidas (dados históricos) ou tirar conclusões sobre a falta de informações nas informações disponíveis ("leitura nas entrelinhas"). A interpolação é útil onde os dados em torno dos dados ausentes estão disponíveis e sua tendência, sazonalidade e ciclos de longo prazo são conhecidos. Isso geralmente é feito usando uma série relacionada conhecida para todas as datas relevantes. Alternativamente, a interpolação polinomial ou interpolação spline é usada onde as funções polinomiais por partes são ajustadas em intervalos de tempo de forma que elas se encaixem suavemente. Um problema diferente que está intimamente relacionado à interpolação é a aproximação de uma função complicada por uma função simples (também chamada de regressão ). A principal diferença entre regressão e interpolação é que a regressão polinomial fornece um único polinômio que modela todo o conjunto de dados. A interpolação de spline, no entanto, produz uma função contínua por partes composta de muitos polinômios para modelar o conjunto de dados.
Extrapolação é o processo de estimar, além do intervalo de observação original, o valor de uma variável com base em sua relação com outra variável. É semelhante à interpolação , que produz estimativas entre observações conhecidas, mas a extrapolação está sujeita a maior incerteza e maior risco de produzir resultados sem sentido.
Aproximação de função
Em geral, um problema de aproximação de função nos pede para selecionar uma função entre uma classe bem definida que corresponda de perto ("aproxima") uma função de destino de uma maneira específica de tarefa. Pode-se distinguir duas classes principais de problemas de aproximação de função: Primeiro, para funções alvo conhecidas, a teoria da aproximação é o ramo da análise numérica que investiga como certas funções conhecidas (por exemplo, funções especiais ) podem ser aproximadas por uma classe específica de funções (para exemplo, polinômios ou funções racionais ) que muitas vezes têm propriedades desejáveis (computação barata, continuidade, integral e valores limite, etc.).
Em segundo lugar, a função de destino, chame-a de g , pode ser desconhecida; em vez de uma fórmula explícita, apenas um conjunto de pontos (uma série de tempo) da forma ( x , g ( x )) é fornecido. Dependendo da estrutura do domínio e do codomínio de g , várias técnicas para aproximar g podem ser aplicáveis. Por exemplo, se g for uma operação com números reais , técnicas de interpolação , extrapolação , análise de regressão e ajuste de curva podem ser usadas. Se o codomínio (intervalo ou conjunto de destino) de g for um conjunto finito, trata-se de um problema de classificação . Um problema relacionado de aproximação de série temporal online é resumir os dados em uma passagem e construir uma representação aproximada que pode suportar uma variedade de consultas de série temporal com limites no erro de pior caso.
Até certo ponto, os diferentes problemas ( regressão , classificação , aproximação de aptidão ) receberam um tratamento unificado na teoria da aprendizagem estatística , onde são vistos como problemas de aprendizagem supervisionada .
Predição e previsão
Em estatística , a previsão faz parte da inferência estatística . Uma abordagem particular para tal inferência é conhecida como inferência preditiva , mas a previsão pode ser realizada dentro de qualquer uma das várias abordagens para inferência estatística. De fato, uma descrição da estatística é que ela fornece um meio de transferir conhecimento sobre uma amostra de uma população para toda a população e para outras populações relacionadas, o que não é necessariamente o mesmo que previsão ao longo do tempo. Quando as informações são transferidas ao longo do tempo, geralmente para pontos específicos no tempo, o processo é conhecido como previsão .
- Modelos estatísticos totalmente formados para fins de simulação estocástica , de modo a gerar versões alternativas da série temporal, representando o que pode acontecer em períodos de tempo não específicos no futuro
- Modelos estatísticos simples ou totalmente formados para descrever o resultado provável da série temporal no futuro imediato, dado o conhecimento dos resultados mais recentes (previsão).
- A previsão de séries temporais geralmente é feita usando pacotes de software estatístico automatizado e linguagens de programação, como Julia , Python , R , SAS , SPSS e muitos outros.
- A previsão de dados em grande escala pode ser feita com o Apache Spark usando a biblioteca Spark-TS, um pacote de terceiros.
Classificação
Atribuir um padrão de série temporal a uma categoria específica, por exemplo, identificar uma palavra com base em uma série de movimentos de mão em linguagem de sinais .
Estimativa de sinal
Esta abordagem é baseada na análise harmônica e filtragem de sinais no domínio da frequência usando a transformada de Fourier e estimativa da densidade espectral , cujo desenvolvimento foi significativamente acelerado durante a Segunda Guerra Mundial pelo matemático Norbert Wiener , engenheiros elétricos Rudolf E. Kálmán , Dennis Gabor e outros para filtrar sinais de ruído e prever valores de sinal em um determinado ponto no tempo. Veja filtro de Kalman , teoria de estimativa e processamento digital de sinais
Segmentação
Divisão de uma série temporal em uma sequência de segmentos. Frequentemente, uma série temporal pode ser representada como uma sequência de segmentos individuais, cada um com suas próprias propriedades características. Por exemplo, o sinal de áudio de uma chamada em conferência pode ser dividido em partes correspondentes aos horários em que cada pessoa estava falando. Na segmentação de série temporal, o objetivo é identificar os pontos de limite do segmento na série temporal e caracterizar as propriedades dinâmicas associadas a cada segmento. Pode-se abordar esse problema usando a detecção de ponto de mudança ou modelando a série temporal como um sistema mais sofisticado, como um sistema linear de salto de Markov.
Modelos
Os modelos para dados de séries temporais podem ter muitas formas e representar diferentes processos estocásticos . Ao modelar variações no nível de um processo, três classes amplas de importância prática são os modelos autorregressivos (AR), os modelos integrados (I) e os modelos de média móvel (MA). Essas três classes dependem linearmente de pontos de dados anteriores. As combinações dessas idéias produzem modelos de média móvel autorregressiva (ARMA) e média móvel integrada autoregressiva (ARIMA). O modelo autoregressivo de média móvel fracionada integrada (ARFIMA) generaliza os três primeiros. Extensões dessas classes para lidar com dados de valor vetorial estão disponíveis sob o título de modelos de série temporal multivariados e, às vezes, os acrônimos anteriores são estendidos incluindo um "V" inicial para "vetor", como em VAR para autorregressão vetorial . Um conjunto adicional de extensões desses modelos está disponível para uso onde a série temporal observada é impulsionada por alguma série temporal "forçada" (que pode não ter um efeito causal na série observada): a distinção do caso multivariado é que a série forçante pode ser determinística ou sob o controle do experimentador. Para esses modelos, as siglas são estendidas com um "X" final para "exógeno".
A dependência não linear do nível de uma série em pontos de dados anteriores é de interesse, em parte devido à possibilidade de produzir uma série temporal caótica . No entanto, mais importante, as investigações empíricas podem indicar a vantagem de usar previsões derivadas de modelos não lineares, sobre aqueles de modelos lineares, como por exemplo em modelos exógenos autorregressivos não lineares . Outras referências sobre análise de série temporal não linear: (Kantz e Schreiber), e (Abarbanel)
Entre outros tipos de modelos de séries temporais não lineares, existem modelos para representar as mudanças de variância ao longo do tempo ( heteroscedasticidade ). Esses modelos representam heteroscedasticidade condicional autorregressiva (ARCH) e a coleção compreende uma ampla variedade de representações ( GARCH , TARCH, EGARCH, FIGARCH, CGARCH, etc.). Aqui, as mudanças na variabilidade estão relacionadas a, ou previstas por, valores anteriores recentes das séries observadas. Isto está em contraste com outras representações possíveis de variabilidade variando localmente, em que a variabilidade pode ser modelados como sendo accionada por um processo variável no tempo separado, tal como em um modelo duplamente estocástica .
Em trabalhos recentes sobre análises sem modelo, métodos baseados em transformadas de wavelets (por exemplo, wavelets estacionários localmente e redes neurais decompostas em wavelets) ganharam preferência. As técnicas multiescala (frequentemente chamadas de multiresolução) decompõem uma determinada série temporal, tentando ilustrar a dependência do tempo em várias escalas. Consulte também técnicas de Markov switching multifractal (MSMF) para modelar a evolução da volatilidade.
Um modelo de Markov oculto (HMM) é um modelo de Markov estatístico no qual o sistema que está sendo modelado é considerado um processo de Markov com estados não observados (ocultos). Um HMM pode ser considerado a rede Bayesiana dinâmica mais simples . Os modelos HMM são amplamente usados em reconhecimento de fala , para traduzir uma série de tempo de palavras faladas em texto.
Notação
Uma série de notações diferentes estão em uso para análise de séries temporais. Uma notação comum especificando uma série temporal X que é indexada pelos números naturais é escrita
- X = ( X 1 , X 2 , ...).
Outra notação comum é
- Y = ( Y t : t ∈ T ),
onde T é o conjunto de índices .
Condições
Existem dois conjuntos de condições sob as quais grande parte da teoria é construída:
No entanto, as idéias de estacionariedade devem ser expandidas para considerar duas idéias importantes: estacionariedade estrita e estacionariedade de segunda ordem . Ambos os modelos e aplicações podem ser desenvolvidos sob cada uma dessas condições, embora os modelos no último caso possam ser considerados apenas parcialmente especificados.
Além disso, a análise de séries temporais pode ser aplicada onde as séries são sazonalmente estacionárias ou não estacionárias. Situações onde as amplitudes dos componentes de frequência mudam com o tempo podem ser tratadas na análise de tempo-frequência que faz uso de uma representação de tempo-frequência de uma série temporal ou sinal.
Ferramentas
As ferramentas para investigar dados de séries temporais incluem:
- Consideração da função de autocorrelação e da função de densidade espectral (também funções de correlação cruzada e funções de densidade espectral cruzada)
- Escalados funções cruzadas e auto-correlação de remover contribuições de componentes lentas
- Realizando uma transformada de Fourier para investigar a série no domínio da frequência
- Uso de um filtro para remover ruído indesejado
- Análise de componentes principais (ou análise de função ortogonal empírica )
- Análise de espectro singular
- Modelos "estruturais":
- Modelos de espaço de estado geral
- Modelos de componentes não observados
- Aprendizado de Máquina
- Análise da teoria de filas
- Gráfico de controle
- Análise de flutuação tendenciosa
- Modelagem não linear de efeitos mistos
- Time warping dinâmico
- Correlação cruzada
- Rede Bayesiana Dinâmica
- Técnicas de análise de tempo-frequência:
- Análise caótica
Medidas
Métricas ou recursos de série temporal que podem ser usados para classificação de série temporal ou análise de regressão :
-
Medidas lineares univariadas
- Momento (matemática)
- Potência de banda espectral
- Frequência de borda espectral
- Energia acumulada (processamento de sinal)
- Características da função de autocorrelação
- Parâmetros Hjorth
- Parâmetros FFT
- Parâmetros do modelo autoregressivo
- Teste de Mann-Kendall
-
Medidas não lineares univariadas
- Medidas baseadas na soma de correlação
- Dimensão de correlação
- Integral de correlação
- Densidade de correlação
- Entropia de correlação
- Entropia aproximada
- Entropia de amostra
- Entropia de Fourier Reino Unido
- Entropia wavelet
- Entropia Rényi
- Métodos de ordem superior
- Previsibilidade marginal
- Índice de similaridade dinâmica
- Medidas de dissimilaridade de espaço de estado
- Expoente de Lyapunov
- Métodos de permutação
- Fluxo local
-
Outras medidas univariadas
- Complexidade algorítmica
- Estimativas de complexidade de Kolmogorov
- Estados ocultos do modelo Markov
- Assinatura do caminho aproximado
- Séries temporais substitutas e correção substituta
- Perda de recorrência (grau de não estacionariedade)
-
Medidas lineares bivariadas
- Correlação cruzada linear máxima
- Coerência Linear (processamento de sinal)
-
Medidas não lineares bivariadas
- Interdependência não linear
- Captura Dinâmica (física)
- Medidas para sincronização de fase
- Medidas para bloqueio de fase
-
Medidas de similaridade :
- Correlação cruzada
- Time Warping Dinâmico
- Modelos ocultos de Markov
- Editar distância
- Correlação total
- Estimador de Newey-West
- Transformação Prais-Winsten
- Dados como vetores em um espaço metrizável
- Dados como séries temporais com envelopes
- Desvio padrão global
- Desvio padrão local
- Desvio padrão em janela
- Dados interpretados como séries estocásticas
- Dados interpretados como uma função de distribuição de probabilidade
Visualização
As séries temporais podem ser visualizadas com duas categorias de gráfico: Gráficos sobrepostos e Gráficos separados. Gráficos sobrepostos exibem séries de todos os tempos no mesmo layout, enquanto Gráficos separados os apresentam em layouts diferentes (mas alinhados para fins de comparação)
Gráficos sobrepostos
- Gráficos trançados
- Gráficos de linha
- Gráficos de inclinação
- GapChart fr
Gráficos separados
- Gráficos Horizon
- Gráfico de linhas reduzidas (múltiplos pequenos)
- Gráfico de silhueta
- Gráfico de silhueta circular
Veja também
- Série temporal de anomalias
- Chilro
- Decomposição de séries temporais
- Análise de flutuação tendenciosa
- Processamento de sinal digital
- Lag distribuído
- Teoria da estimativa
- Previsão
- Expoente de Hurst
- Método Monte Carlo
- Análise de painel
- Caminhada aleatória
- Correlação escalonada
- Ajuste sazonal
- Análise de sequência
- Processamento de sinal
- Banco de dados de série temporal (TSDB)
- Estimativa de tendência
- Séries temporais com espaçamento irregular
Referências
Leitura adicional
- Box, George ; Jenkins, Gwilym (1976), Time Series Analysis: forecasting and control, rev. ed. , Oakland, Califórnia: Holden-Day
- Durbin J. , Koopman SJ (2001), Time Series Analysis by State Space Methods , Oxford University Press .
- Gershenfeld, Neil (2000), The Nature of Mathematical Modeling , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-57095-4, OCLC 174825352
- Hamilton, James (1994), Time Series Analysis , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04289-3
- Priestley, MB (1981), Spectral Analysis and Time Series , Academic Press . ISBN 978-0-12-564901-8
- Shasha, D. (2004), High Performance Discovery in Time Series , Springer , ISBN 978-0-387-00857-8
- Shumway RH, Stoffer DS (2017), Time Series Analysis and its Applications: With R Examples (ed. 4) , Springer, ISBN 978-3-319-52451-1
- Weigend AS, Gershenfeld NA (Eds.) (1994), Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past . Proceedings of the OTAN Advanced Research Workshop on Comparative Time Series Analysis (Santa Fe, Maio de 1992), Addison-Wesley .
- Wiener, N. (1949), Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series , MIT Press .
- Woodward, WA, Gray, HL & Elliott, AC (2012), Applied Time Series Analysis , CRC Press .
links externos
- Introdução à análise de série temporal (Manual de estatísticas de engenharia) - um guia prático para análise de série temporal.