Grupo topológico - Topological group

Os números reais formam um grupo topológico sob adição

Em matemática , grupos topológicos são logicamente a combinação de grupos e espaços topológicos , ou seja, são grupos e espaços topológicos ao mesmo tempo, de forma que a condição de continuidade para as operações de grupo conecta essas duas estruturas e, consequentemente, não são independentes uma da outra. .

Grupos topológicos foram estudados extensivamente no período de 1925 a 1940. Haar e Weil (respectivamente em 1933 e 1940) mostraram que as integrais e as séries de Fourier são casos especiais de uma classe muito ampla de grupos topológicos.

Grupos topológicos, junto com ações de grupo contínuas , são usados ​​para estudar simetrias contínuas , que têm muitas aplicações, por exemplo, na física . Na análise funcional , todo espaço vetorial topológico é um grupo topológico aditivo com a propriedade adicional de que a multiplicação escalar é contínua; conseqüentemente, muitos resultados da teoria de grupos topológicos podem ser aplicados à análise funcional.

Definição formal

Um grupo topológico , G , é um espaço topológico que também é um grupo tal que a operação do grupo (neste caso produto):

⋅: G × GG , ( x , y ) ↦ xy

e mapa de inversão:

−1  : GG , xx −1  

são contínuos . Aqui G × G é visto como um espaço topológico com a topologia do produto . Tal topologia é compatível com as operações de grupo e é chamada de topologia de grupo .

Verificando a continuidade

O mapa do produto é contínuo se e somente se para qualquer x , yG e qualquer vizinhança W de xy em G , existem vizinhanças U de x e V de y em G tais que UVW , onde UV  : = { uv  : uU , vV }. O mapa de inversão é contínuo se e somente se para qualquer xG e qualquer vizinhança V de x  −1 em G , existe uma vizinhança U de x em G tal que U  −1V , onde U  −1  : = { u -1  : uU }.

Para mostrar que uma topologia é compatível com as operações do grupo, basta verificar se o mapa

G × GG , ( x , y ) ↦ xy  −1

é contínuo. Explicitamente, isto significa que para qualquer x , yL e qualquer vizinhança W em L de xy  -1 , existem bairros U de X e V de y em L de tal modo que L ⋅ ( V  -1 ) ⊆ W .

Notação aditiva

Essa definição usava notação para grupos multiplicativos; o equivalente para grupos de aditivos seria que as duas operações a seguir são contínuas:

+: G × GG , ( x , y ) ↦ x + y
-: GG , x ↦ - x .
Hausdorffness

Embora não faça parte desta definição, muitos autores exigem que a topologia em G seja Hausdorff . Uma razão para isso é que qualquer grupo topológico pode ser canonicamente associado a um grupo topológico de Hausdorff tomando um quociente canônico apropriado; isso, no entanto, muitas vezes ainda requer o trabalho com o grupo topológico não-Hausdorff original. Outras razões e algumas condições equivalentes são discutidas abaixo.

Este artigo não assumirá que os grupos topológicos são necessariamente de Hausdorff.

Categoria

Na linguagem da teoria das categorias , grupos topológicos podem ser definidos concisamente como objetos de grupo na categoria de espaços topológicos , da mesma forma que grupos comuns são objetos de grupo na categoria de conjuntos . Observe que os axiomas são dados em termos dos mapas (produto binário, inverso unário e identidade nula), portanto, são definições categóricas.

Homomorfismos

Um homomorphism de grupos topológicos significa um contínuo homomorphism grupo GH . Os grupos topológicos, junto com seus homomorfismos, formam uma categoria . Um homomorfismo de grupo entre grupos topológicos comutativos é contínuo se e somente se for contínuo em algum ponto.

Um isomorfismo de grupos topológicos é um isomorfismo de grupo que também é um homeomorfismo dos espaços topológicos subjacentes. Isso é mais forte do que simplesmente exigir um isomorfismo de grupo contínuo - o inverso também deve ser contínuo. Existem exemplos de grupos topológicos que são isomórficos como grupos comuns, mas não como grupos topológicos. Na verdade, qualquer grupo topológico não discreto também é um grupo topológico quando considerado com a topologia discreta. Os grupos subjacentes são os mesmos, mas como grupos topológicos não existe um isomorfismo.

Exemplos

Cada grupo pode ser trivialmente transformado em um grupo topológico considerando-o com a topologia discreta ; esses grupos são chamados de grupos discretos . Nesse sentido, a teoria dos grupos topológicos inclui a dos grupos comuns. A topologia indiscreta (ou seja, a topologia trivial) também transforma cada grupo em um grupo topológico.

Os números reais , com a topologia usual formam um grupo topológico sob adição. O n- espaço euclidiano n também é um grupo topológico adicionado e, mais geralmente, todo espaço vetorial topológico forma um grupo topológico (abeliano). Alguns outros exemplos de grupos topológicos abelianos são o grupo circular S 1 ou o toro ( S 1 ) n para qualquer número natural n .

Os grupos clássicos são exemplos importantes de grupos topológicos não abelianos. Por exemplo, o grupo linear geral GL ( n , ℝ) de todos os inversíveis n -by- n matrizes com entradas reais pode ser visto como um grupo topológica com a topologia definida por visualização GL ( n , ℝ) como um subespaço de espaço euclidiano n × n . Outro grupo clássico é o grupo ortogonal O ( n ) , o grupo de todos os mapas lineares de n até ele mesmo que preserva o comprimento de todos os vetores. O grupo ortogonal é compacto como um espaço topológico. Muito da geometria euclidiana pode ser vista como um estudo da estrutura do grupo ortogonal, ou do grupo intimamente relacionado O ( n ) ⋉ ℝ n de isometrias de n .

Os grupos mencionados até agora são todos grupos de Lie , o que significa que são variedades suaves de tal forma que as operações do grupo são suaves , não apenas contínuas. Os grupos de Lie são os grupos topológicos mais bem compreendidos; muitas questões sobre grupos de Lie podem ser convertidas em questões puramente algébricas sobre álgebras de Lie e então resolvidas.

Um exemplo de grupo topológico que não é um grupo de Lie é o grupo aditivo de números racionais , com a topologia herdada de . Este é um espaço contável e não possui a topologia discreta. Um exemplo importante para a teoria dos números é o grupo p de inteiros p -ádicos , para um número primo p , significando o limite inverso dos grupos finitos ℤ / p n quando n vai para o infinito. O grupo p é bem comportado por ser compacto (na verdade, homeomórfico ao conjunto de Cantor ), mas difere dos grupos de Lie (reais) por ser totalmente desconectado . Mais geralmente, há uma teoria de grupos de Lie p -adic , incluindo grupos compactos, como GL ( n , ℤ p ) , bem como grupos localmente compactos , como GL ( n , ℚ p ) , onde p é o campo localmente compacto de números p -adic .

O grupo p é um grupo pró-finito ; é isomórfico a um subgrupo do produto de tal forma que sua topologia é induzida pela topologia do produto, onde os grupos finitos recebem a topologia discreta. Outra grande classe de grupos pró-finitos importantes na teoria dos números são os grupos absolutos de Galois .

Alguns grupos topológicos podem ser vistos como grupos de Lie de dimensão infinita ; esta frase é melhor entendida informalmente, para incluir várias famílias diferentes de exemplos. Por exemplo, um espaço vetorial topológico , como um espaço de Banach ou um espaço de Hilbert , é um grupo topológico abeliano sob adição. Alguns outros grupos de dimensão infinita que foram estudados, com vários graus de sucesso, são grupos de loop , grupos de Kac-Moody , grupos de difeomorfismo , grupos de homeomorfismo e grupos de calibre .

Em toda álgebra de Banach com identidade multiplicativa, o conjunto de elementos invertíveis forma um grupo topológico sob multiplicação. Por exemplo, o grupo de operadores limitados invertíveis em um espaço de Hilbert surge dessa maneira.

Propriedades

Invariância de tradução

A operação de inversão em um grupo topológico G é um homeomorfismo de G para si mesmo. Da mesma forma, se uma é de qualquer elemento de L , em seguida, para a esquerda ou direita multiplicação por uma rendimentos um homeomorphism LL . Consequentemente, se 𝒩 é uma base de vizinhança do elemento de identidade em um grupo topológico comutativo G então para todo xX ,

x 𝒩: = { xN  : N ∈ 𝒩 }

é uma base de vizinhança de x em G , onde xN  : = { xn  : nN }. Em particular, qualquer topologia de grupo em um grupo topológico comutativo é completamente determinada por qualquer base de vizinhança no elemento de identidade. Se S é qualquer subconjunto de L e L é um subconjunto aberta de G , então SU  : = { su  : sS , uL } é um subconjunto aberto de L .

Bairros simétricos

Um subconjunto S de L é dito para ser simétrica se S  -1 = S . O fechamento de todo conjunto simétrico em um grupo topológico comutativo é simétrico. Se S é qualquer subconjunto de um grupo topológico conmutativo L , em seguida, os seguintes conjuntos também são simétricas: S  -1S , S  -1S , e S  -1 S .

Para qualquer vizinhança N em um grupo topológico comutativo G do elemento de identidade, existe uma vizinhança simétrica M do elemento de identidade tal que M  −1 MN , onde observe que M  −1 M é necessariamente uma vizinhança simétrica do elemento de identidade . Assim, todo grupo topológico tem uma base de vizinhança no elemento de identidade que consiste em conjuntos simétricos.

Se G é um grupo comutativo localmente compacto , então para qualquer vizinhança N em G do elemento de identidade, existe uma vizinhança M relativamente compacta simétrica do elemento de identidade tal que cl MN (onde cl M também é simétrico).

Espaço uniforme

Cada grupo topológico pode ser visto como um espaço uniforme de duas maneiras; a uniformidade da esquerda transforma todas as multiplicações da esquerda em mapas uniformemente contínuos, enquanto a uniformidade da direita transforma todas as multiplicações da direita em mapas uniformemente contínuos. Se G não for abeliano, esses dois não precisam coincidir. As estruturas uniformes permitem falar sobre noções como completude , continuidade uniforme e convergência uniforme em grupos topológicos.

Propriedades de separação

Se L é um subconjunto aberto de um grupo topológico conmutativo L e L contém um conjunto compacto K , então existe uma vizinhança N do elemento de identidade de tal modo que KNL .

Como um espaço uniforme, todo grupo topológico comutativo é completamente regular . Consequentemente, para um grupo topológico multiplicativo G com elemento de identidade 1, os seguintes são equivalentes:

  1. G é um espaço T 0 ( Kolmogorov );
  2. L é um t 2 -espaço ( Hausdorff );
  3. G é um T ( Tychonoff );
  4. {1 } é fechado em G ;
  5. {1}: = N ∈ 𝒩 N , onde 𝒩 é uma base de vizinhança do elemento de identidade em G ;
  6. para qualquer xG tal que x ≠ 1 , existe uma vizinhança L em L do elemento de identidade de tal modo que xL .

Um subgrupo de um grupo topológico comutativo é discreto se e somente se tiver um ponto isolado .

Se G não for Hausdorff, pode-se obter um grupo de Hausdorff passando para o grupo quociente G / K , onde K é o fechamento da identidade. Isto é equivalente a tomar o quociente de Kolmogorov de L .

Metrizabilidade

O teorema Birkhoff-Kakutani (em homenagem aos matemáticos Garrett Birkhoff e Shizuo Kakutani ) afirma que as três condições a seguir em um grupo topológico G são equivalentes:

  • O elemento de identidade 1 é fechada em L , e existe uma contáveis base de bairros para 1 em L .
  • G é metrizável (como um espaço topológico).
  • Há uma esquerda invariante métrica em G que induz a topologia dada no G .

(Uma métrica em G é chamada de invariante à esquerda se para cada ponto aG , o mapa xax é uma isometria de G para si mesmo.)

Subgrupos

Cada subgrupo de um grupo topológico é ele próprio um grupo topológico quando dada a topologia de subespaço . Cada subgrupo aberta H também é fechada em L , uma vez que o complemento de H é o conjunto aberto dada pela união dos conjuntos abertos de gH para gL \ H . Se H é um subgrupo de G, então o fechamento de H também é um subgrupo. Da mesma forma, se H é um subgrupo normal de L , o fecho de H é normal em L .

Quocientes e subgrupos normais

Se H é um subgrupo de L , o conjunto da esquerda cosets G / H com a topologia quociente é chamado um espaço homogénea para L . O mapa de quocientes q  : GG / H está sempre aberto . Por exemplo, para um número inteiro positivo n , a esfera S n é um espaço homogêneo para o grupo de rotação SO ( n +1) em n +1 , com S n = SO ( n +1) / SO ( n ) . Um espaço homogénea G / H é Hausdorff se e apenas se H é fechada em L . Em parte por essa razão, é natural se concentrar em subgrupos fechados ao estudar grupos topológicos.

Se H é um subgrupo normal de G , então o grupo quociente G / H torna - se um grupo topológico quando dado a topologia quociente. É Hausdorff se e apenas se H é fechada em L . Por exemplo, o grupo quociente ℝ / ℤ é isomórfico ao grupo circular S 1 .

Em qualquer grupo topológico, o componente de identidade (ou seja, o componente conectado que contém o elemento de identidade) é um subgrupo normal fechado. Se C é o componente de identidade e a é qualquer ponto de G , então o coset esquerdo aC é o componente de G contendo a . Assim, o conjunto de todas as classes laterais esquerda (ou direita) cosets de C em G é igual à recolha de todos os componentes do G . Conclui-se que o grupo quociente G / C está totalmente desconectado .

Fechamento e compactação

Em qualquer grupo topológico comutativo, o produto (assumindo que o grupo é multiplicativo) KC de um conjunto compacto K e um conjunto fechado C é um conjunto fechado. Além disso, para quaisquer subconjuntos R e S de G , (cl R ) (cl S ) ⊆ cl ( RS ) .

Se H é um subgrupo de um grupo topológico comutativo G e se N é uma vizinhança em G do elemento de identidade tal que H ∩ cl N é fechado, então H é fechado. Cada subgrupo discreto de um grupo topológico comutativo de Hausdorff é fechado.

Teoremas de isomorfismo

Os teoremas de isomorfismo da teoria de grupo comum nem sempre são verdadeiros no cenário topológico. Isso ocorre porque um homomorfismo bijetivo não precisa ser um isomorfismo de grupos topológicos.

Por exemplo, uma versão nativa do primeiro teorema do isomorfismo é falsa para grupos topológicos: se for um morfismo de grupos topológicos (ou seja, um homomorfismo contínuo), não é necessariamente verdade que o homomorfismo induzido é um isomorfismo de grupos topológicos; será um homomorfismo contínuo, bijetivo, mas não necessariamente um homeomorfismo. Em outras palavras, não necessariamente admitirá um inverso na categoria de grupos topológicos.

Existe uma versão do primeiro teorema do isomorfismo para grupos topológicos, que pode ser afirmado da seguinte forma: se f  : GH é um homomorfismo contínuo, então o homomorfismo induzido de G / ker ( f ) para im ( f ) é um isomorfismo se e somente se o mapa f estiver aberto em sua imagem.

O terceiro teorema do isomorfismo, entretanto, é verdadeiro mais ou menos literalmente para grupos topológicos, como se pode verificar facilmente.

Quinto problema de Hilbert

Existem vários resultados fortes sobre a relação entre grupos topológicos e grupos de Lie. Primeiro, todo homomorfismo contínuo de grupos de Lie é suave. Segue-se que um grupo topológico tem uma estrutura única de um grupo de Lie, se houver. Além disso, o teorema de Cartan diz que todo subgrupo fechado de um grupo de Lie é um subgrupo de Lie, em particular uma subvariedade suave .

O quinto problema de Hilbert perguntou se um grupo topológico G que é uma variedade topológica deve ser um grupo de Lie. Em outras palavras, G tem a estrutura de uma variedade suave, tornando as operações do grupo suaves? Conforme mostrado por Andrew Gleason , Deane Montgomery e Leo Zippin , a resposta para esse problema é sim. Na verdade, G tem umaestrutura analítica real . Usando a estrutura suave, pode-se definir a álgebra de Lie de G , um objeto da álgebra linear que determina umgrupo conectado G até a cobertura de espaços . Como resultado, a solução para o quinto problema de Hilbert reduz a classificação de grupos topológicos que são variedades topológicas a um problema algébrico, embora seja um problema complicado em geral.

O teorema também tem consequências para classes mais amplas de grupos topológicos. Primeiro, todo grupo compacto (entendido como Hausdorff) é um limite inverso de grupos de Lie compactos. (Um caso importante é um limite inverso de grupos finitos, chamado de grupo profinito . Por exemplo, o grupo p de inteiros p -adicos e o grupo Galois absoluto de um campo são grupos profinitos.) Além disso, todo grupo compacto localmente conectado é um limite inverso de grupos de Lie conectados. No outro extremo, um grupo compacto localmente desconectado sempre contém um subgrupo aberto compacto, que é necessariamente um grupo profinito. (Por exemplo, o grupo localmente compacto GL ( n , ℚ p ) contém o subgrupo aberto compacto GL ( n , ℤ p ) , que é o limite inverso dos grupos finitos GL ( n , ℤ / p r ) conforme r 'vai ao infinito.)

Representações de grupos compactos ou localmente compactos

Uma ação de um grupo topológico G em um espaço topológico X é uma ação de grupo de G em X tal que a função correspondente G × XX é contínua. Da mesma forma, uma representação de um grupo topológico G em um espaço vetorial topológico complexo V é uma ação contínua de G sobre V tal que para cada gG , a aplicação vgv de V para si é linear.

As ações de grupo e a teoria da representação são particularmente bem compreendidas para grupos compactos, generalizando o que acontece para grupos finitos . Por exemplo, cada representação de dimensão finita (real ou complexa) de um grupo compacto é uma soma direta de representações irredutíveis . Uma representação unitária de dimensão infinita de um grupo compacto pode ser decomposta como uma soma direta de espaço de Hilbert de representações irredutíveis, que são todas de dimensão finita; isso é parte do teorema de Peter-Weyl . Por exemplo, a teoria da série de Fourier descreve a decomposição da representação unitária do grupo de círculos S 1 no complexo espaço de Hilbert L 2 ( S 1 ) . As representações irredutíveis de S 1 são todas unidimensionais, da forma zz n para inteiros n (onde S 1 é visto como um subgrupo do grupo multiplicativo *). Cada uma dessas representações ocorre com multiplicidade 1 em L 2 ( S 1 ) .

As representações irredutíveis de todos os grupos de Lie compactos conectados foram classificadas. Em particular, o caráter de cada representação irredutível é dado pela fórmula de caráter de Weyl .

De forma mais geral, grupos localmente compactos possuem uma rica teoria de análise harmônica , pois admitem uma noção natural de medida e integral , dada pela medida de Haar . Cada representação unitária de um grupo localmente compacto pode ser descrita como uma integral direta de representações unitárias irredutíveis. (A decomposição é essencialmente única se G for do Tipo I , que inclui os exemplos mais importantes, como grupos abelianos e grupos de Lie semisimples .) Um exemplo básico é a transformada de Fourier , que decompõe a ação do grupo aditivo no espaço de Hilbert L 2 (ℝ) como uma integral direta das representações unitárias irredutíveis de . As representações unitárias irredutíveis de são todas unidimensionais, da forma xe iax para a ∈ ℝ .

As representações unitárias irredutíveis de um grupo localmente compacto podem ter dimensões infinitas. Um objetivo principal da teoria da representação, relacionado à classificação de Langlands de representações admissíveis , é encontrar o dual unitário (o espaço de todas as representações unitárias irredutíveis) para os grupos de Lie semissimples. O dual unitário é conhecido em muitos casos, como SL (2, ℝ) , mas não em todos.

Para um grupo abeliano localmente compacto G , toda representação unitária irredutível tem dimensão 1. Nesse caso, o dual unitário é um grupo, na verdade outro grupo abeliano localmente compacto. A dualidade de Pontryagin afirma que para um grupo abeliano G localmente compacto , o dual de é o grupo G original . Por exemplo, o grupo dual dos inteiros é o grupo circular S 1 , enquanto o grupo dos números reais é isomorfo ao seu próprio dual.

Cada grupo G localmente compacto tem um bom suprimento de representações unitárias irredutíveis; por exemplo, representações suficientes para distinguir os pontos de G (o teorema de Gelfand-Raikov ). Em contraste, a teoria da representação para grupos topológicos que não são localmente compactos foi desenvolvida até agora apenas em situações especiais, e pode não ser razoável esperar uma teoria geral. Por exemplo, existem muitos grupos de Banach-Lie abelianos para os quais cada representação no espaço de Hilbert é trivial.

Teoria de homotopia de grupos topológicos

Os grupos topológicos são especiais entre todos os espaços topológicos, mesmo em termos de seu tipo de homotopia . Um ponto básico é que um grupo topológico G determina um espaço topológico conectado por caminho, o espaço classificador BG (que classifica os blocos G principais sobre espaços topológicos, sob hipóteses moderadas). O grupo G é isomórfico na categoria de homotopia ao espaço do loop de BG ; que implica diversas restrições sobre o tipo de homotopia de G . Algumas dessas restrições são válidas no contexto mais amplo de espaços-H .

Por exemplo, o grupo fundamental de um grupo topológico G é abeliano. (Mais geralmente, o produto de Whitehead nos grupos de homotopia de G é zero.) Além disso, para qualquer campo k , o anel de cohomologia H * ( G , k ) tem a estrutura de uma álgebra de Hopf . Em vista dos teoremas de estrutura em álgebras de Hopf por Heinz Hopf e Armand Borel , isso coloca fortes restrições sobre os possíveis anéis de cohomologia de grupos topológicos. Em particular, se G é um grupo topológico conectado por caminho cujo anel de cohomologia racional H * ( G , ℚ) é finito-dimensional em cada grau, então este anel deve ser uma álgebra graduada-comutativa livre sobre , isto é, o tensor produto de um anel polinomial em geradores de grau par com uma álgebra externa em geradores de grau ímpar.

Em particular, para um grupo de Lie conectado G , o anel de cohomologia racional de G é uma álgebra externa sobre geradores de grau ímpar. Além disso, um grupo de Lie conectado G tem um subgrupo compacto máximo K , que é único até a conjugação, e a inclusão de K em G é uma equivalência de homotopia . Assim, a descrição dos tipos de homotopia de grupos de Lie reduz-se ao caso de grupos de Lie compactos. Por exemplo, o subgrupo compacto máximo de SL (2, ℝ) é o grupo circular SO (2) , e o espaço homogêneo SL (2, ℝ) / SO (2) pode ser identificado com o plano hiperbólico . Como o plano hiperbólico é contrátil , a inclusão do grupo círculo em SL (2, ℝ) é uma equivalência de homotopia.

Finalmente, grupos de Lie conectados compactos foram classificados por Wilhelm Killing , Élie Cartan e Hermann Weyl . Como resultado, há uma descrição essencialmente completa dos possíveis tipos de homotopia dos grupos de Lie. Por exemplo, um grupo de Lie compacto conectado de dimensão no máximo 3 é um toro, o grupo SU (2) ( difeomórfico para a esfera 3 S 3 ) ou seu grupo quociente SU (2) / {± 1} ≅ SO (3) (difeomórfico para RP 3 ).

Grupos topológicos Abelianos completos

Informações sobre convergência de redes e filtros, como definições e propriedades, podem ser encontradas no artigo sobre filtros em topologia .

Uniformidade canônica em um grupo topológico comutativo

Doravante, assumiremos que qualquer grupo topológico que considerarmos é um grupo topológico comutativo aditivo com elemento de identidade 0 .

Definição ( entorno canônico e diagonal ):

A diagonal de X é o conjunto

Δ X  : = {( x , x ): xX }

e para qualquer NX contendo 0 , a comitiva canónico ou vizinhanças canónicos torno N é o conjunto

Δ X ( N ): = {( x , y ) ∈ X × X  : x - yN  } =  yX[( y + N ) × { y }] = Δ X + ( N × {0})

Definição ( uniformidade Canónica ): Para um grupo topológico ( X , τ) , a uniformidade canónica em X é a estrutura uniforme induzida pelo conjunto de todos os entourages canónicos Δ ( N ) como N varia ao longo área de 0 em X .

Ou seja, é o fechamento para cima do seguinte pré-filtro em X × X ,

{Δ ( N ): N é uma vizinhança de 0 em X }
onde este pré-filtro forma o que se conhece como base de entornos da uniformidade canônica.
Definição ( uniformidade invariante à translação ): Para um grupo aditivo comutativo X , um sistema fundamental de entornos ℬ é chamado invariante à translação se para cada B ∈ ℬ , ( x , y ) ∈ B se e somente se ( x + z , y + z ) ∈ B para todos os x , y , zX . Uma uniformidade é chamada de invariante à translação se tiver uma base de entornos que é invariante à translação.

Observações :

  • A uniformidade canônica em qualquer grupo topológico comutativo é invariante à translação.
  • A mesma uniformidade canônica resultaria usando uma base de vizinhança da origem, em vez do filtro de todas as vizinhanças da origem.
  • Cada comitiva Δ X ( N ) contém a diagonal Δ X  : = Δ X ({0}) = {( x , x ): xX } porque 0 ∈ N .
  • Se N for simétrico (ou seja - N = N ), então Δ X ( N ) é simétrico (ou seja, X ( N )) op  = Δ X ( N ) ) e
    Δ X ( N ) ∘ Δ X ( N ) = {( x , z ): ∃ yX  tal que  x , zy + N } =  yX[( y + N ) × ( y + N )] = Δ X + ( N × N ) .
  • A topologia induzida em X pela uniformidade canônica é a mesma que a topologia com a qual X começou (ou seja, é τ ).

Pré-filtros e redes Cauchy

A teoria geral dos espaços uniformes tem sua própria definição de "pré-filtro de Cauchy" e "rede de Cauchy". Para a uniformidade canônica em X , isso se reduz à definição descrita abaixo.

Definição ( soma e produto de redes ): Suponha x = ( x i ) iI é um líquido em X e Y = ( y i ) jJ é um líquido em Y . Faça I × J em um conjunto direcionado declarando ( i , j ) ≤ ( i 2 , j 2 ) se e somente se ii 2 e jj 2 . Então x × y  : = ( x i , y j ) ( i , j ) ∈ I × J  denota a rede do produto . Se X = Y, então a imagem desta rede sob o mapa de adição X × XX denota a soma dessas duas redes:
x + y  : = (  x i + y j  ) ( i , j ) ∈ I × J

e da mesma forma sua diferença é definida como a imagem da rede do produto sob o mapa de subtração:

x - y  : = (  x i - y j  ) ( i , j ) ∈ I × J .
Definição ( rede de Cauchy ): Uma rede x = ( x i ) iI em um grupo topológico aditivo X é chamada de rede de Cauchy se
(  x i - x j  ) ( i , j ) ∈ I × I  → 0   em   X

ou de modo equivalente, se para cada vizinhança N de 0 em X , existe alguma i 0I tal que x i - x jN para todos os i , ji 0 com i , jeu .

Uma sequência de Cauchy é uma rede de Cauchy que é uma sequência.
Definição ( N -pequena conjunto ): Se B é um subconjunto de um grupo aditivo X e N é um conjunto contendo 0 , em seguida, dizemos que B é N -Pequenos ou pequeno de ordem N se B - BN .

Definição ( pré-filtro de Cauchy ): Um pré-filtro em um grupo topológico aditivo X chamado de pré - filtro de Cauchy se satisfizer qualquer uma das seguintes condições equivalentes:

  1. ℬ - ℬ → 0   em X , onde   ℬ - ℬ: = { B  -  C  :  B , C ∈ ℬ} é um pré-filtro.
  2. { B  -  B  :  B ∈ ℬ} → 0   em X , onde   { B  -  B  :  B ∈ ℬ} é um pré-filtro equivalente a ℬ - ℬ .
  3. Para cada vizinhança N de 0 em X , contém algum N -pequeno conjunto (ou seja, existe algum B ∈ ℬ tal que B - BN ).

e se X for comutativo, então também:

  1. Para cada vizinhança N de 0 em X , existe alguma B ∈ ℬ e alguns xX tal que Bx + N .
  • Basta verificar qualquer das condições acima para qualquer base bairro de 0 em X .

Observação:

  • Suponha é um pré-filtro em um grupo conmutativo topológico X e XX . Então ℬ → x em X se e somente se x ∈ cl ℬ e for Cauchy.

Grupo topológico comutativo completo

Observação : Lembre-se de que para qualquer SX , um pré-filtro 𝒞 em S é necessariamente um subconjunto de ℘ ( S ) ; isto é, 𝒞 ⊆ ℘ ( S ) .
Definição ( subconjunto completo ): um subconjunto S de um grupo topológico X é chamado de completo se satisfizer qualquer uma das seguintes condições equivalentes:
  1. Cada pré-filtro de Cauchy 𝒞 ⊆ ℘ ( S ) em S converge para, pelo menos, um ponto de S .
    • Se X é Hausdorff, em seguida, todos os pré-filtro em S irá convergir para no máximo um ponto de X . Mas se X não é Hausdorff, em seguida, um pré-filtro pode convergir para múltiplos pontos em X . O mesmo se aplica às redes.
  2. Cada rede de Cauchy em S converge para pelo menos um ponto de S ;
  3. Filtro de cada Cauchy 𝒞 em S converge para pelo menos um ponto de S .
  4. S é um espaço uniforme completo (sob a definição de topologia de conjunto de pontos de " espaço uniforme completo ") quando S é dotado da uniformidade induzida nele pela uniformidade canônica de X ;
Definição O subconjunto S é chamado sequencialmente completa se cada sequência de Cauchy em S (ou equivalentemente, cada elementar Cauchy filtro / pré-filtro em S ) converge para, pelo menos, um ponto de S .
  • Observação ( Convergência fora de S é permitida ): Se X não for Hausdorff e se todos os pré-filtros de Cauchy em S convergirem para algum ponto de S , então S será completo mesmo se alguns ou todos os pré-filtros de Cauchy em S também convergirem para pontos (s) em XS . Em suma, não há nenhuma exigência de que esses pré-filtros de Cauchy no S convergem única para pontos em S . O mesmo pode ser dito da convergência das redes de Cauchy em S .
    • Como consequência, se um grupo topológico comutativo X não for Hausdorff , então cada subconjunto do fechamento de {0   }, digamos S ⊆ Cl {0   }, é completo (uma vez que é claramente compacto e todo conjunto compacto é necessariamente completo). Então, em particular, se S ≠ ∅ (por exemplo, se S a é um conjunto singleton como S = {0   }), então S seria completo, embora cada rede de Cauchy em S (e cada pré-filtro de Cauchy em S ), converge para todos os pontos em Cl {0   } (inclua os pontos em Cl {0   } que não estão em S ).
    • Este exemplo também mostra que subconjuntos completos (na verdade, até mesmo subconjuntos compactos) de um espaço não-Hausdorff podem falhar ao serem fechados. (por exemplo, se ∅ ≠ S ⊆ Cl {0   } então S é fechado se e somente se S = Cl {0   }).
Definição ( grupo completo ): Um grupo topológico comutativo X é chamado de completo se qualquer uma das seguintes condições equivalentes se mantiver:
  1. X está completo como um subconjunto de si mesmo.
  2. Cada Cauchy líquida em X converge para pelo menos um ponto de X .
  3. Existe uma vizinhança de 0 em X , que também é um subconjunto completo dos X .
    • Isso implica que todo grupo topológico comutativo localmente compacto está completo.
  4. Quando dotado de sua uniformidade canônica, X torna-se um espaço uniforme completo .
Definição ( grupo sequencialmente completo ): é denominado sequencialmente completo se X for um subconjunto sequencialmente completo de si mesmo.

Observação:

  • Base vizinhança : Suponhamos que C é uma conclusão de um grupo topológico conmutativo X com XC e que 𝒩 é uma base de vizinhança da origem em X . Então o set
    {Cl C N  :  N ∈ 𝒩   }
    é uma base bairro na origem em C .
Continuidade uniforme
Definição ( continuidade uniforme ): sejam X e Y grupos topológicos, DX e f  : DY um mapa. Então f  : DY é uniformemente contínuo se para cada vizinhança U da origem em X , existe uma vizinhança V da origem em Y tal que para todo   x , yD , se   y - xU   então   f ( y ) - f ( x ) ∈ V .

Generalizações

Várias generalizações de grupos topológicos podem ser obtidas enfraquecendo as condições de continuidade:

  • Um grupo semitopológico é um grupo G com uma topologia tal que para cada cG as duas funções GG definidas por xxc e xcx são contínuas.
  • Um grupo quase-topológico é um grupo semitopológico no qual a função que mapeia os elementos para seus inversos também é contínua.
  • Um grupo paratopológico é um grupo com uma topologia tal que a operação do grupo é contínua.

Veja também

Notas

Citações

Referências