Ordem topológica

Na física , a ordem topológica é um tipo de ordem na fase de temperatura zero da matéria (também conhecida como matéria quântica). Macroscopicamente, a ordem topológica é definida e descrita por degeneração robusta do estado fundamental e fases geométricas não Abelianas quantizadas de estados fundamentais degenerados. Microscopicamente, as ordens topológicas correspondem a padrões de emaranhamento quântico de longo alcance . Estados com ordens topológicas diferentes (ou padrões diferentes de emaranhamentos de longo alcance) não podem se transformar uns nos outros sem uma transição de fase.

Vários estados topologicamente ordenados têm propriedades interessantes, como (1) degenerescência topológica e estatísticas fracionárias ou estatísticas não abelianas que podem ser usadas para realizar um computador quântico topológico; (2) estados de borda condutores perfeitos que podem ter aplicações importantes no dispositivo; (3) campo de calibre emergente e estatísticas de Fermi que sugerem uma origem de informação quântica de partículas elementares; (4) entropia de emaranhamento topológico que revela a origem do emaranhamento da ordem topológica, etc. A ordem topológica é importante no estudo de vários sistemas físicos, como líquidos de spin e o efeito Hall quântico , juntamente com aplicações potenciais para computação quântica tolerante a falhas .

Isoladores topológicos e supercondutores topológicos (além de 1D) não têm ordem topológica conforme definido acima, seus emaranhamentos sendo apenas de curto alcance.

Fundo

Embora toda matéria seja formada por átomos , a matéria pode ter diferentes propriedades e aparecer em diferentes formas, como sólida , líquida , superfluida , etc. Essas várias formas de matéria são freqüentemente chamadas de estados da matéria ou fases . De acordo com a física da matéria condensada e o princípio da emergência , as diferentes propriedades dos materiais se originam das diferentes maneiras como os átomos são organizados nos materiais. Essas diferentes organizações dos átomos (ou outras partículas) são formalmente chamadas de ordens nos materiais.

Os átomos podem se organizar de muitas maneiras, o que leva a muitas ordens diferentes e muitos tipos diferentes de materiais. A teoria da quebra de simetria de Landau fornece uma compreensão geral dessas diferentes ordens. Ele mostra que ordens diferentes correspondem realmente a simetrias diferentes nas organizações dos átomos constituintes. À medida que um material muda de uma ordem para outra (isto é, quando o material passa por uma transição de fase ), o que acontece é que a simetria da organização dos átomos muda.

Por exemplo, os átomos têm uma distribuição aleatória em um líquido , então um líquido permanece o mesmo enquanto deslocamos os átomos por uma distância arbitrária. Dizemos que um líquido tem uma simetria de translação contínua . Após uma transição de fase, um líquido pode se transformar em um cristal . Em um cristal, os átomos se organizam em uma matriz regular (uma rede ). Uma rede permanece inalterada apenas quando a deslocamos por uma distância particular (número inteiro vezes uma constante de rede ), então um cristal tem apenas simetria de translação discreta . A transição de fase entre um líquido e um cristal é uma transição que reduz a simetria de translação contínua do líquido para a simetria discreta do cristal. Essa mudança na simetria é chamada de quebra de simetria . A essência da diferença entre líquidos e cristais é, portanto, que as organizações dos átomos têm diferentes simetrias nas duas fases.

A teoria da quebra de simetria de Landau tem sido uma teoria de muito sucesso. Por muito tempo, os físicos acreditaram que a Teoria de Landau descrevia todas as ordens possíveis nos materiais e todas as transições de fase (contínuas) possíveis.

Descoberta e caracterização

No entanto, desde o final dos anos 1980, tornou-se gradualmente aparente que a teoria da quebra de simetria de Landau pode não descrever todas as ordens possíveis. Em uma tentativa de explicar a supercondutividade de alta temperatura, o estado de spin quiral foi introduzido. No início, os físicos ainda queriam usar a teoria da quebra de simetria de Landau para descrever o estado de spin quiral. Eles identificaram o estado de spin quiral como um estado que quebra a inversão de tempo e as simetrias de paridade, mas não a simetria de rotação de spin. Este deve ser o fim da história de acordo com a descrição de quebra de simetria de ordens de Landau. No entanto, percebeu-se rapidamente que existem muitos estados de spin quirais diferentes que têm exatamente a mesma simetria; portanto, a simetria por si só não era suficiente para caracterizar diferentes estados de spin quirais. Isso significa que os estados de spin quirais contêm um novo tipo de ordem que está além da descrição de simetria usual. O novo tipo de ordem proposto foi denominado "ordem topológica". O nome "ordem topológica" é motivado pela teoria efetiva de baixa energia dos estados de spin quirais, que é uma teoria de campo quântico topológico (TQFT). Novos números quânticos, como degeneração de estado fundamental (que pode ser definida em um espaço fechado ou um espaço aberto com limites espaçados, incluindo ordens topológicas Abelianas e ordens topológicas não Abelianas) e a fase geométrica não Abeliana de estados fundamentais degenerados, foram introduzidos para caracterizar e definir as diferentes ordens topológicas em estados de spin quirais. Mais recentemente, foi mostrado que ordens topológicas também podem ser caracterizadas por entropia topológica .

Mas os experimentos logo indicaram que os estados de spin quirais não descrevem supercondutores de alta temperatura, e a teoria da ordem topológica tornou-se uma teoria sem realização experimental. No entanto, a semelhança entre os estados de spin quirais e os estados de Hall quânticos permite usar a teoria da ordem topológica para descrever diferentes estados de Hall quânticos. Assim como os estados de spin quirais, diferentes estados quânticos Hall têm a mesma simetria e estão fora da descrição de quebra de simetria de Landau. Descobrimos que as diferentes ordens em diferentes estados quânticos de Hall podem de fato ser descritas por ordens topológicas, de modo que a ordem topológica tem realizações experimentais.

O estado Hall quântico fracionário (FQH) foi descoberto em 1982 antes da introdução do conceito de ordem topológica em 1989. Mas o estado FQH não é o primeiro estado topologicamente ordenado descoberto experimentalmente. O supercondutor , descoberto em 1911, é o primeiro estado topologicamente ordenado descoberto experimentalmente; tem ordem topológica Z ₂ .

Embora estados topologicamente ordenados geralmente apareçam em sistemas de bóson / férmions com forte interação, um tipo simples de ordem topológica também pode aparecer em sistemas de férmions livres. Este tipo de ordem topológica corresponde ao estado Hall quântico integral, que pode ser caracterizado pelo número de Chern da banda de energia preenchida se considerarmos o estado Hall quântico inteiro em uma rede. Cálculos teóricos propuseram que tais números de Chern podem ser medidos experimentalmente por um sistema de férmions livres. Também é bem conhecido que esse número de Chern pode ser medido (talvez indiretamente) por estados de borda.

A caracterização mais importante das ordens topológicas seriam as excitações fracionadas subjacentes (como anyons ) e suas estatísticas de fusão e estatísticas de trança (que podem ir além das estatísticas quânticas de bósons ou férmions ). Trabalhos de pesquisa atuais mostram que o loop e as cordas como as excitações existem para ordens topológicas no espaço-tempo 3 + 1 dimensional, e suas estatísticas multi-loop / trança de cordas são as assinaturas cruciais para identificar ordens topológicas 3 + 1 dimensionais. As estatísticas multi-loop / string-trançada de ordens topológicas 3 + 1 dimensionais podem ser capturadas pelos invariantes de ligação da teoria quântica de campo topológica particular em 4 dimensões do espaço-tempo.

Mecanismo

Uma grande classe de ordens topológicas 2 + 1D é realizada por meio de um mecanismo chamado condensação string-net . Esta classe de ordens topológicas pode ter uma borda com lacuna e é classificada pela teoria da categoria de fusão unitária (ou categoria monoidal ). Descobrimos que a condensação string-net pode gerar infinitamente muitos tipos diferentes de ordens topológicas, o que pode indicar que existem muitos novos tipos diferentes de materiais restantes a serem descobertos.

Os movimentos coletivos das cordas condensadas dão origem a excitações acima dos estados condensados da rede das cordas. Essas excitações acabam sendo bósons de calibre . As pontas das cordas são defeitos que correspondem a outro tipo de excitações. Essas excitações são as cargas manométricas e podem conter Fermi ou estatísticas fracionárias .

As condensações de outros objetos estendidos, como " membranas ", "redes de brana" e fractais também levam a fases topologicamente ordenadas e "vitrificação quântica".

Formulação matemática

Sabemos que a teoria dos grupos é a base matemática das ordens de quebra de simetria. Qual é a base matemática da ordem topológica? Foi descoberto que uma subclasse de ordens topológicas 2 + 1D - ordens topológicas Abelianas - pode ser classificada por uma abordagem de matriz K. A condensação string-net sugere que a categoria tensorial (como categoria de fusão ou categoria monoidal ) é parte da base matemática da ordem topológica em 2 + 1D. As pesquisas mais recentes sugerem que (até ordens topológicas invertíveis que não têm excitações fracionadas):

As ordens topológicas bosônicas 2 + 1D são classificadas por categorias de tensores modulares unitários.
As ordens topológicas bosônicas 2 + 1D com simetria G são classificadas por categorias de tensores G-cruzados.
As ordens topológicas bosônicas / fermiônicas 2 + 1D com simetria G são classificadas por categorias de fusão trançada unitária sobre a categoria de fusão simétrica, que tem extensões modulares. A categoria de fusão simétrica Rep (G) para sistemas bosônicos e sRep (G) para sistemas fermiônicos.

A ordem topológica em dimensões superiores pode estar relacionada à teoria das n-categorias. A álgebra de operador quântico é uma ferramenta matemática muito importante no estudo de ordens topológicas.

Alguns também sugerem que a ordem topológica é matematicamente descrita pela simetria quântica estendida .

Formulários

Os materiais descritos pela teoria da quebra de simetria de Landau tiveram um impacto substancial na tecnologia. Por exemplo, materiais ferromagnéticos que quebram a simetria de rotação de rotação podem ser usados como a mídia de armazenamento de informação digital. Um disco rígido feito de materiais ferromagnéticos pode armazenar gigabytes de informações. Cristais líquidos que quebram a simetria rotacional das moléculas encontram ampla aplicação na tecnologia de exibição. Cristais que quebram a simetria de translação levam a bandas eletrônicas bem definidas que por sua vez nos permitem fazer dispositivos semicondutores como transistores . Diferentes tipos de ordens topológicas são ainda mais ricos do que diferentes tipos de ordens de quebra de simetria. Isso sugere seu potencial para novas e excitantes aplicações.

Uma aplicação teorizada seria usar estados ordenados topologicamente como meio para a computação quântica em uma técnica conhecida como computação quântica topológica . Um estado topologicamente ordenado é um estado com complicado emaranhamento quântico não local . A não localidade significa que o emaranhamento quântico em um estado topologicamente ordenado é distribuído entre muitas partículas diferentes. Como resultado, o padrão de emaranhamentos quânticos não pode ser destruído por perturbações locais. Isso reduz significativamente o efeito de decoerência . Isso sugere que, se usarmos diferentes emaranhamentos quânticos em um estado topologicamente ordenado para codificar a informação quântica, a informação pode durar muito mais tempo. As informações quânticas codificadas pelos emaranhamentos quânticos topológicos também podem ser manipuladas arrastando os defeitos topológicos uns em torno dos outros. Este processo pode fornecer um aparato físico para realizar cálculos quânticos . Portanto, estados ordenados topologicamente podem fornecer meios naturais para memória quântica e computação quântica. Essas realizações de memória quântica e computação quântica podem ser potencialmente tolerantes a falhas .

Os estados topologicamente ordenados em geral têm uma propriedade especial de conter estados limites não triviais. Em muitos casos, esses estados limites tornam-se canais condutores perfeitos que podem conduzir eletricidade sem gerar calor. Esta pode ser outra aplicação potencial da ordem topológica em dispositivos eletrônicos.

Da mesma forma que a ordem topológica, os isoladores topológicos também têm estados de limite sem intervalos. Os estados limites de isoladores topológicos desempenham um papel fundamental na detecção e na aplicação de isoladores topológicos. Essa observação naturalmente leva a uma questão: os isoladores topológicos são exemplos de estados topologicamente ordenados? Na verdade, os isoladores topológicos são diferentes dos estados topologicamente ordenados definidos neste artigo. Isoladores topológicos têm apenas emaranhamentos de curto alcance e não têm ordem topológica, enquanto a ordem topológica definida neste artigo é um padrão de emaranhamento de longo alcance. A ordem topológica é robusta contra quaisquer perturbações. Possui teoria de calibre emergente, carga fracionária emergente e estatísticas fracionárias. Em contraste, os isoladores topológicos são robustos apenas contra perturbações que respeitam a inversão de tempo e as simetrias U (1). Suas excitações de quase partículas não têm carga fracionária e estatísticas fracionárias. Estritamente falando, isolante topológico é um exemplo de ordem topológica protegida por simetria (SPT) , onde o primeiro exemplo de ordem SPT é a fase Haldane da cadeia de spin-1. Mas a fase Haldane da cadeia de spin 2 não tem ordem SPT.

Impacto potencial

A teoria da quebra de simetria de Landau é a pedra angular da física da matéria condensada . É usado para definir o território de pesquisa da matéria condensada. A existência de ordem topológica parece indicar que a natureza é muito mais rica do que a teoria da quebra de simetria de Landau indicou até agora. Portanto, a ordem topológica abre uma nova direção na física da matéria condensada - uma nova direção da matéria quântica altamente emaranhada. Percebemos que as fases quânticas da matéria (isto é, as fases de temperatura zero da matéria) podem ser divididas em duas classes: estados emaranhados de longo alcance e estados emaranhados de curto alcance. Ordem topológica é a noção que descreve os estados emaranhados de longo alcance: ordem topológica = padrão de emaranhados de longo alcance. Os estados emaranhados de curto alcance são triviais no sentido de que todos pertencem a uma fase. No entanto, na presença de simetria, mesmo os estados emaranhados de curto alcance não são triviais e podem pertencer a diferentes fases. Essas fases são consideradas como contendo ordem SPT . A ordem SPT generaliza a noção de isolante topológico para sistemas interagentes.

Alguns sugerem que a ordem topológica (ou mais precisamente, a condensação string-net ) em modelos bosônicos locais (spin) têm o potencial de fornecer uma origem unificada para fótons , elétrons e outras partículas elementares em nosso universo.

Veja também

Notas

Referências

Referências por categorias

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Bibliografia para Categorias e Aplicações de Topologia Algébrica em Física Teórica
Topologia Algébrica Quântica (QAT)

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