Espaço topológico - Topological space

Em matemática , um espaço topológico é, grosso modo, um espaço geométrico no qual a proximidade é definida, mas não pode ser necessariamente medida por uma distância numérica. Mais especificamente, um espaço topológico é um conjunto de pontos , junto com um conjunto de vizinhanças para cada ponto, satisfazendo um conjunto de axiomas relacionando pontos e vizinhanças.

Um espaço topológico é o tipo mais geral de um espaço matemático que permite a definição de limites , continuidade e conexão . Outros espaços, como espaços euclidianos , espaços métricos e variedades , são espaços topológicos com estruturas , propriedades ou restrições extras .

Embora muito gerais, os espaços topológicos são um conceito fundamental usado em praticamente todos os ramos da matemática moderna. O ramo da matemática que estuda espaços topológicos por si só é chamado de topologia de conjunto de pontos ou topologia geral .

História

Por volta de 1735 , Leonhard Euler descobriu a fórmula relacionando o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo e, portanto, de um gráfico planar . O estudo e generalização desta fórmula, especificamente por Cauchy e L'Huilier , está na origem da topologia . Em 1827 , Carl Friedrich Gauss publicou Investigações gerais de superfícies curvas que na seção 3 define a superfície curva de maneira semelhante ao entendimento topológico moderno: "Diz-se que uma superfície curva possui curvatura contínua em um de seus pontos A, se a direção de todas as linhas retas traçadas de A para pontos da superfície a uma distância infinitamente pequena de A são defletidas infinitamente pouco de um mesmo plano que passa por A. "

No entanto, "até o trabalho de Riemann no início da década de 1850, as superfícies sempre foram tratadas de um ponto de vista local (como superfícies paramétricas) e as questões topológicas nunca foram consideradas." " Möbius e Jordan parecem ser os primeiros a perceber que o principal problema da topologia de superfícies (compactas) é encontrar invariantes (de preferência numéricos) para decidir a equivalência de superfícies, ou seja, decidir se duas superfícies são homeomórficas ou não . "

O assunto é claramente definido por Felix Klein em seu " Programa Erlangen " (1872): os invariantes da geometria da transformação contínua arbitrária, uma espécie de geometria. O termo "topologia" foi introduzido por Johann Benedict Listing em 1847, embora ele tivesse usado o termo em correspondência alguns anos antes, em vez de "Analysis situs" anteriormente usado. A base desta ciência, para um espaço de qualquer dimensão, foi criada por Henri Poincaré . Seu primeiro artigo sobre o assunto foi publicado em 1894 . Na década de 1930, James Waddell Alexander II e Hassler Whitney expressaram pela primeira vez a ideia de que uma superfície é um espaço topológico localmente semelhante a um plano euclidiano .

Os espaços topológicos foram definidos pela primeira vez por Felix Hausdorff em 1914 em seu seminal "Principles of Set Theory". Os espaços métricos foram definidos no início de 1906 por Maurice Fréchet , embora tenha sido Hausdorff quem introduziu o termo "espaço métrico".

Definições

A utilidade da noção de uma topologia é demonstrada pelo fato de que existem várias definições equivalentes dessa estrutura. Assim, escolhe-se a axiomatização adequada para a aplicação. O mais comumente usado é aquele em termos de conjuntos abertos , mas talvez mais intuitivo seja aquele em termos de vizinhança, então isso é dado primeiro.

Quatro exemplos e dois não exemplos de topologias no conjunto de três pontos O exemplo inferior esquerdo não é uma topologia porque a união de e [ie ] está faltando; o exemplo inferior direito não é uma topologia porque a interseção de e [isto é ], está faltando.

Definição via vizinhança

Essa axiomatização se deve a Felix Hausdorff . Let ser um conjunto; os elementos de são geralmente chamados de pontos , embora possam ser qualquer objeto matemático. Nós permitimos estar vazio. Seja uma função atribuída a cada (ponto) em uma coleção não vazia de subconjuntos de Os elementos de serão chamados de vizinhanças de em relação a (ou, simplesmente, vizinhanças de ). A função é chamada de topologia de vizinhança se os axiomas abaixo forem satisfeitos; e então com é chamado de espaço topológico .

  1. Se for uma vizinhança de (isto é, ), então. Em outras palavras, cada ponto pertence a cada uma de suas vizinhanças.
  2. Se é um subconjunto de e inclui uma vizinhança de então é uma vizinhança de Ie, cada superconjunto de uma vizinhança de um ponto é novamente uma vizinhança de
  3. A intersecção de dois bairros de é um bairro de
  4. Qualquer vizinhança de inclui uma vizinhança de tal que é uma vizinhança de cada ponto de

Os três primeiros axiomas para vizinhanças têm um significado claro. O quarto axioma tem um uso muito importante na estrutura da teoria, o de ligar as vizinhanças de diferentes pontos de.

Um exemplo padrão de tal sistema de vizinhanças é para a linha real, onde um subconjunto de é definido como sendo uma vizinhança de um número real se incluir um intervalo aberto contendo

Dada essa estrutura, um subconjunto de é definido como aberto se for uma vizinhança de todos os pontos em Os conjuntos abertos, em seguida, satisfazem os axiomas fornecidos abaixo. Por outro lado, quando dados os conjuntos abertos de um espaço topológico, as vizinhanças que satisfazem os axiomas acima podem ser recuperadas definindo- se como uma vizinhança de se inclui um conjunto aberto de modo que

Definição por meio de conjuntos abertos

UMA espaço topológico é um par ordenadoem queé umconjuntoeé um conjunto desubconjuntosdesatisfazer os seguintesaxiomas:

  1. O conjunto vazio e ele próprio pertencem a
  2. Qualquer união arbitrária (finita ou infinita) de membros de pertence a
  3. A interseção de qualquer número finito de membros pertence a

Os elementos de são chamados conjuntos abertos e a recolha é chamado uma topologia em Um subconjunto é dito para ser fechada em se e apenas se o seu complemento é um elemento de

Exemplos de topologias

  1. Dada a topologia trivial ou indiscreta, a família consiste em apenas dois subconjuntos de exigidos pelos axiomas e forma uma topologia de
  2. Dada a família
    de seis subconjuntos de formas, outra topologia de
  3. Dada a topologia discreta em é o conjunto de potência do qual é a família que consiste em todos os subconjuntos possíveis de. Neste caso, o espaço topológico é chamado de espaço discreto .
  4. Dado o conjunto de inteiros, a família de todos os subconjuntos finitos dos inteiros mais ela mesma não é uma topologia, porque (por exemplo) a união de todos os conjuntos finitos que não contêm zero não é finita, mas também não é toda e, portanto, não pode ser no

Definição por meio de conjuntos fechados

Usando as leis de Morgan , os axiomas acima que definem conjuntos abertos tornam-se axiomas que definem conjuntos fechados :

  1. O conjunto vazio e estão fechados.
  2. A interseção de qualquer coleção de conjuntos fechados também é fechada.
  3. A união de qualquer número finito de conjuntos fechados também é fechada.

Usando esses axiomas, outra maneira de definir um espaço topológico é como um conjunto junto com uma coleção de subconjuntos fechados de. Assim, os conjuntos na topologia são os conjuntos fechados e seus complementos são os conjuntos abertos.

Outras definições

Existem muitas outras maneiras equivalentes de definir um espaço topológico: em outras palavras, os conceitos de vizinhança, ou de conjuntos abertos ou fechados, podem ser reconstruídos a partir de outros pontos de partida e satisfazer os axiomas corretos.

Outra forma de definir um espaço topológico é usando os axiomas de fechamento de Kuratowski , que definem os conjuntos fechados como os pontos fixos de um operador no conjunto de potência de

Uma rede é uma generalização do conceito de sequência . Uma topologia é completamente determinada se para cada rede no conjunto de seus pontos de acumulação for especificada.

Comparação de topologias

Uma variedade de topologias pode ser colocada em um conjunto para formar um espaço topológico. Quando cada conjunto em uma topologia também está em uma topologia e é um subconjunto de nós dizemos que é mais fino do que e é mais grossa do que uma prova de que se baseia apenas na existência de certos conjuntos abertos também irá realizar para qualquer topologia mais fina, e da mesma forma uma prova que depende apenas de certos conjuntos não estarem abertos se aplica a qualquer topologia mais grosseira. Os termos maior e menor às vezes são usados ​​no lugar de mais fino e mais grosso, respectivamente. Os termos mais forte e mais fraco também são usados ​​na literatura, mas com pouco consenso sobre o significado, portanto, deve-se sempre ter certeza da convenção de um autor ao ler.

A coleção de todas as topologias em um determinado conjunto fixo forma uma rede completa : se é uma coleção de topologias em, então o encontro de é a interseção de e a junção de é o encontro da coleção de todas as topologias em que contêm todos os membros de

Funções contínuas

Uma função entre espaços topológicos é chamada contínua se para toda e qualquer vizinhança de houver uma vizinhança de tal que isso se relaciona facilmente com a definição usual em análise. Equivalentemente, é contínuo se a imagem inversa de cada conjunto aberto estiver aberta. Esta é uma tentativa de capturar a intuição de que não há "saltos" ou "separações" na função. Um homeomorfismo é uma bijeção contínua e cujo inverso também é contínuo. Dois espaços são chamados de homeomórficos se houver um homeomorfismo entre eles. Do ponto de vista da topologia, os espaços homeomórficos são essencialmente idênticos.

Na teoria das categorias , uma das categorias fundamentais é Top , que denota a categoria de espaços topológicos cujos objetos são espaços topológicos e cujos morfismos são funções contínuas. A tentativa de classificar os objetos desta categoria ( até homeomorphism ) por invariantes tem áreas motivados de pesquisa, como a teoria de homotopia , teoria da homologia , e K-teoria .

Exemplos de espaços topológicos

Um determinado conjunto pode ter muitas topologias diferentes. Se um conjunto receber uma topologia diferente, ele será visto como um espaço topológico diferente. Qualquer conjunto pode receber a topologia discreta em que cada subconjunto está aberto. As únicas sequências convergentes ou redes nesta topologia são aquelas eventualmente constantes. Além disso, qualquer conjunto pode receber a topologia trivial (também chamada de topologia indiscreta), na qual apenas o conjunto vazio e todo o espaço estão abertos. Cada sequência e rede nesta topologia convergem para todos os pontos do espaço. Este exemplo mostra que em espaços topológicos gerais, os limites das sequências não precisam ser únicos. No entanto, muitas vezes os espaços topológicos devem ser espaços de Hausdorff onde os pontos limites são únicos.

Espaços métricos

Os espaços métricos incorporam uma métrica , uma noção precisa de distância entre pontos.

Cada espaço métrico pode receber uma topologia métrica, na qual os conjuntos abertos básicos são bolas abertas definidas pela métrica. Esta é a topologia padrão em qualquer espaço vetorial normalizado . Em um espaço vetorial de dimensão finita, essa topologia é a mesma para todas as normas.

Existem muitas maneiras de definir uma topologia no conjunto de números reais . A topologia padrão ativada é gerada pelos intervalos abertos . O conjunto de todos os intervalos abertos forma uma base ou base para a topologia, o que significa que cada conjunto aberto é uma união de alguma coleção de conjuntos da base. Em particular, isso significa que um conjunto está aberto se houver um intervalo aberto de raio diferente de zero em torno de cada ponto do conjunto. De forma mais geral, os espaços euclidianos podem receber uma topologia. Na topologia de costume em conjuntos abertos básicos são os abertos bolas . Da mesma forma, o conjunto de números complexos e tem uma topologia padrão em que os conjuntos abertos básicos são bolas abertas.

Espaços de proximidade

Os espaços de proximidade fornecem uma noção de proximidade de dois conjuntos.

Espaços uniformes

Espaços uniformes axiomatizam ordenando a distância entre pontos distintos.

Espaços funcionais

Um espaço topológico no qual os pontos são funções é chamado de espaço de função .

Espaços Cauchy

Os espaços de Cauchy axiomatizam a capacidade de testar se uma rede é Cauchy . Os espaços de Cauchy fornecem um ambiente geral para estudar conclusões .

Espaços de convergência

Os espaços de convergência capturam algumas das características de convergência de filtros .

Sites da Grothendieck

Os sites Grothendieck são categorias com dados adicionais que axiomatizam se uma família de flechas cobre um objeto. Sites são uma configuração geral para definir polias .

Outros espaços

Se é um filtro em um conjunto, então é uma topologia em

Muitos conjuntos de operadores lineares na análise funcional são dotados de topologias que são definidas pela especificação de quando uma sequência particular de funções converge para a função zero.

Qualquer campo local tem uma topologia nativa, e isso pode ser estendido para espaços vetoriais sobre esse campo.

Cada variedade tem uma topologia natural, pois é localmente euclidiana. Da mesma forma, todo simplex e todo complexo simplicial herda uma topologia natural de.

A topologia Zariski é definida algebricamente no espectro de um anel ou variedade algébrica . Em ou nos conjuntos fechados da topologia de Zariski estão os conjuntos de solução de sistemas de equações polinomiais .

Um gráfico linear tem uma topologia natural que generaliza muitos dos aspectos geométricos de gráficos com vértices e arestas .

O espaço Sierpiński é o espaço topológico não discreto mais simples. Tem relações importantes com a teoria da computação e semântica.

Existem inúmeras topologias em qualquer conjunto finito . Esses espaços são chamados de espaços topológicos finitos . Os espaços finitos às vezes são usados ​​para fornecer exemplos ou contra-exemplos para conjecturas sobre espaços topológicos em geral.

Qualquer conjunto pode receber a topologia cofinito em que os conjuntos abertos são o conjunto vazio e os conjuntos cujo complemento é finito. Esta é a menor T 1 topologia em qualquer conjunto infinito.

Qualquer conjunto pode receber a topologia co - contável , na qual um conjunto é definido como aberto se estiver vazio ou se seu complemento for contável. Quando o conjunto é incontável, essa topologia serve como contraexemplo em muitas situações.

A linha real também pode receber a topologia de limite inferior . Aqui, os conjuntos abertos básicos são os intervalos semiabertos. Esta topologia em é estritamente mais precisa do que a topologia euclidiana definida acima; uma sequência converge para um ponto nesta topologia se e somente se convergir de cima na topologia euclidiana. Este exemplo mostra que um conjunto pode ter muitas topologias distintas definidas nele.

Se for um número ordinal , o conjunto pode ser dotado da topologia de ordem gerada pelos intervalos e onde e são elementos de

O espaço exterior de um grupo livre consiste nas chamadas "estruturas de gráfico métrico marcadas" do volume 1 em

Construções topológicas

Cada subconjunto de um espaço topológico pode receber a topologia de subespaço em que os conjuntos abertos são as interseções dos conjuntos abertos do espaço maior com o subconjunto. Para qualquer família indexada de espaços topológicos, o produto pode receber a topologia do produto , que é gerada pelas imagens inversas de conjuntos abertos dos fatores sob os mapeamentos de projeção . Por exemplo, em produtos finitos, uma base para a topologia do produto consiste em todos os produtos de conjuntos abertos. Para produtos infinitos, há o requisito adicional de que, em um conjunto aberto básico, todas as projeções, exceto finitamente, sejam o espaço inteiro.

Um espaço quociente é definido como segue: se é um espaço topológico e é um conjunto, e se é uma função sobrejetiva , então a topologia quociente em é a coleção de subconjuntos de que têm imagens inversas abertas em Em outras palavras, a topologia quociente é a melhor topologia para a qual é contínua. Um exemplo comum de uma topologia de quociente é quando uma relação de equivalência é definida no espaço topológico. O mapa é então a projeção natural no conjunto de classes de equivalência .

A topologia de Vietoris no conjunto de todos os subconjuntos não vazios de um espaço topológico denominado Leopold Vietoris , é gerada pela seguinte base: para cada -tuplo de conjuntos abertos em , construímos um conjunto de base consistindo em todos os subconjuntos da união do que têm interseções não vazias com cada

A topologia Fell no conjunto de todos os subconjuntos fechados não vazios de um espaço polonês localmente compacto é uma variante da topologia Vietoris e é nomeada em homenagem ao matemático James Fell. É gerado pela seguinte base: para cada -tuplo de conjuntos abertos em e para cada conjunto compacto, o conjunto de todos os subconjuntos de que são disjuntos e têm interseções não vazias com cada um é um membro da base.

Classificação de espaços topológicos

Espaços topológicos podem ser amplamente classificados, até o homeomorfismo, por suas propriedades topológicas . Uma propriedade topológica é uma propriedade de espaços que é invariável sob homeomorfismos. Para provar que dois espaços não são homeomórficos, é suficiente encontrar uma propriedade topológica não compartilhada por eles. Exemplos de tais propriedades incluem conectividade , compactação e vários axiomas de separação . Para invariantes algébricos, consulte a topologia algébrica .

Espaços topológicos com estrutura algébrica

Para quaisquer objetos algébricos , podemos introduzir a topologia discreta, sob a qual as operações algébricas são funções contínuas. Para qualquer estrutura que não seja finita, geralmente temos uma topologia natural compatível com as operações algébricas, no sentido de que as operações algébricas ainda são contínuas. Isto leva a conceitos como grupos topológicos , espaços vetoriais topológicos , anel topológico e campos locais .

Espaços topológicos com estrutura de ordem

Veja também

Citações

Bibliografia

links externos