Espaço totalmente limitado - Totally bounded space

Em topologia e ramos relacionados da matemática , a limitação total é uma generalização da compactação para circunstâncias nas quais um conjunto não é necessariamente fechado . Um conjunto totalmente limitado pode ser coberto por um número finito de subconjuntos de cada "tamanho" fixo (onde o significado de "tamanho" depende da estrutura do espaço ambiente .)

O termo précompactado (ou précompactado ) é por vezes utilizado com o mesmo significado, mas também précompactado é usado para significar relativamente compacto . Essas definições coincidem para subconjuntos de um espaço métrico completo , mas não em geral.

Em espaços métricos

Um espaço métrico é totalmente limitado se e somente se para cada número real , existe um conjunto finito de bolas abertas em M de raio cuja união contém  M . Equivalentemente, o espaço métrico M é totalmente limitado se e somente se para cada , existe uma cobertura finita tal que o raio de cada elemento da cobertura é no máximo . Isso é equivalente à existência de uma rede ε finita . Diz - se que um espaço métrico é pré-compactado de Cauchy se toda sequência admite uma subseqüência de Cauchy; em espaços métricos completos, um conjunto é pré-compactado de Cauchy se e somente se for totalmente limitado. ${\ displaystyle (M, d)}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Cada espaço totalmente limitado é limitado (assim como a união de muitos conjuntos limitados é limitada). O inverso é verdadeiro para subconjuntos de espaço euclidiano (com a topologia de subespaço ), mas não em geral. Por exemplo, um conjunto infinito equipado com a métrica discreta é limitado, mas não totalmente limitado.

Espaços uniformes (topológicos)

Uma métrica aparece na definição de limite total apenas para garantir que cada elemento da cobertura finita seja de tamanho comparável e possa ser enfraquecido para uma estrutura uniforme . Um subconjunto S de um espaço uniforme X é totalmente delimitada se e apenas se, para qualquer comitiva E , existe uma tampa finito de S por subconjuntos de X cada um de cujos quadrados cartesiano é um subconjunto de E . (Em outras palavras, E substitui o "tamanho" ε , e um subconjunto é de tamanho E se seu quadrado cartesiano for um subconjunto de E. )

A definição pode ser estendida ainda mais, a qualquer categoria de espaços com uma noção de compactação e completação de Cauchy : um espaço é totalmente limitado se e somente se sua (Cauchy) completação for compacta.

Exemplos e propriedades elementares

• Todo conjunto compacto é totalmente delimitado, sempre que o conceito é definido.
• Todo conjunto totalmente limitado é limitado.
• Um subconjunto da linha real , ou mais geralmente do espaço euclidiano de dimensão finita , é totalmente limitado se e somente se for limitado .
• A esfera unitária em um espaço de Hilbert , ou mais geralmente em um espaço de Banach , é totalmente limitada (na topologia normal) se e somente se o espaço tiver dimensão finita .
• Funções limitadas equicontínuas em um conjunto compacto são pré-compactadas na topologia uniforme ; este é o teorema de Arzelà-Ascoli .
• Um espaço métrico é separável se e somente se for homeomórfico a um espaço métrico totalmente limitado.
• O fechamento de um subconjunto totalmente limitado é novamente totalmente limitado.

Comparação com conjuntos compactos

Em espaços métricos, um conjunto é compacto se e somente se for completo e totalmente limitado; sem o axioma da escolha, apenas a direção para a frente se mantém. Os conjuntos pré-compactados compartilham várias propriedades com os conjuntos compactos.

• Como os conjuntos compactos, uma união finita de conjuntos totalmente limitados é totalmente limitada.
• Ao contrário dos conjuntos compactos, cada subconjunto de um conjunto totalmente limitado é novamente totalmente limitado.
• A imagem contínua de um conjunto compacto é compacta. A imagem uniformemente contínua de um conjunto pré-compactado é pré-compactada.

Em grupos topológicos

Embora a noção de limitação total esteja intimamente ligada aos espaços métricos, a maior estrutura algébrica dos grupos topológicos permite que se negocie algumas propriedades de separação . Por exemplo, em espaços métricos, um conjunto é compacto se e somente se completo e totalmente limitado. De acordo com a definição abaixo, o mesmo vale para qualquer espaço vetorial topológico (não necessariamente de Hausdorff nem completo!).

A forma lógica geral da definição é: um subconjunto de um espaço é totalmente limitado se e somente se, dado qualquer tamanho , existe uma cobertura finita de tal que cada elemento de tamanho máximo é então totalmente limitado se e somente se for totalmente limitado quando considerado como um subconjunto de si mesmo. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E,}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle E.}$ ${\ displaystyle X}$

Adotamos a convenção de que, para qualquer vizinhança da identidade, um subconjunto é chamado (à esquerda ) -pequeno se e somente se Um subconjunto de um grupo topológico é (à esquerda ) totalmente limitado se satisfizer qualquer uma das seguintes condições equivalentes: ${\ displaystyle U \ subseteq X}$${\ displaystyle S \ subseteq X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle (-S) + S \ subseteq U.}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$

1. Definição : Para qualquer bairro da identidade existem finitamente muitos, tais que${\ displaystyle U}$${\ displaystyle 0,}$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ in X}$${\ textstyle S \ subseteq \ bigcup _ {j = 1} ^ {n} \ left (x_ {j} + U \ right): = \ left (x_ {1} + U \ right) + \ cdots + \ left (x_ {n} + U \ direita).}$
2. Para qualquer vizinhança de existe um subconjunto finito tal que (onde o lado direito é a soma de Minkowski ).${\ displaystyle U}$${\ displaystyle 0,}$${\ displaystyle F \ subseteq X}$${\ displaystyle S \ subseteq F + U}$ ${\ displaystyle F + U: = \ {f + u: f \ in F, u \ in U \}}$
3. Para qualquer vizinhança de , existem finitamente muitos subconjuntos de tais que e cada um é pequeno.${\ displaystyle U}$${\ displaystyle 0,}$${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ subseteq B_ {1} \ cup \ cdots \ cup B_ {n}}$${\ displaystyle B_ {j}}$${\ displaystyle U}$
4. Para qualquer subbase de filtro dada do filtro de vizinhança do elemento de identidade (que consiste em todas as vizinhanças de in ) e para cada existe uma cobertura de por finitamente muitos - pequenos subconjuntos de${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}},}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X.}$
5. ${\ displaystyle S}$é limitado por Cauchy : para cada vizinhança da identidade e cada subconjunto infinito contável de lá existem distintos de tal forma que (Se for finito, então esta condição é satisfeita vagamente ).${\ displaystyle U}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle S,}$${\ displaystyle x, y \ in I}$${\ displaystyle xy \ in U.}$${\ displaystyle S}$
6. Qualquer um dos três conjuntos a seguir satisfaz (qualquer uma das definições acima) de ser (à esquerda) totalmente limitado:
   1. O fechamento de em${\ displaystyle {\ overline {S}} = \ operatorname {cl} _ {X} S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X.}$
      • Este conjunto estando na lista significa que a seguinte caracterização é válida: é (à esquerda) totalmente limitado se e somente se for (à esquerda) totalmente limitado (de acordo com qualquer uma das condições de definição mencionadas acima). A mesma caracterização vale para os outros conjuntos listados abaixo.${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S}$
   2. A imagem de sob o quociente canônico que é definido por (onde está o elemento de identidade).${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X \ to X / {\ overline {\ {0 \}}},}$${\ displaystyle x \ mapsto x + {\ overline {\ {0 \}}}}$${\ displaystyle 0}$
   3. A soma ${\ displaystyle S + \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}.}$

O termo pré-compacto geralmente aparece no contexto de espaços vetoriais topológicos de Hausdorff. Nesse caso, as seguintes condições também são equivalentes a ser (à esquerda) totalmente limitado: ${\ displaystyle S}$

7. Na conclusão do fecho de é compacto.${\ displaystyle {\ widehat {X}}}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {\ widehat {X}} S}$${\ displaystyle S}$
8. Cada ultrafiltro ativado é um filtro de Cauchy .${\ displaystyle S}$

A definição de direito totalmente limitado é análoga: basta trocar a ordem dos produtos.

A condição 4 implica que qualquer subconjunto de é totalmente limitado (na verdade, compacto; consulte § Comparação com conjuntos compactos acima). Se não for Hausdorff, então, por exemplo, é um conjunto completo compacto que não é fechado. ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ {0 \}}$

Espaços vetoriais topológicos

Qualquer espaço vetorial topológico é um grupo topológico abeliano sob adição, então as condições acima se aplicam. Historicamente, a definição 1 (b) foi a primeira reformulação da delimitação total para espaços vetoriais topológicos ; data de um artigo de 1935 de John von Neumann.

Essa definição tem a propriedade atraente de que, em um espaço localmente convexo dotado de topologia fraca , os conjuntos pré-compactados são exatamente os conjuntos limitados .

Para espaços separáveis ​​de Banach, há uma boa caracterização dos conjuntos pré-compactos (na topologia de norma) em termos de sequências fracamente convergentes de funcionais: se for um espaço separável de Banach, então é pré-compactado se e somente se todas as sequências fracamente convergentes de funcionais convergem uniformemente em${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ subseteq X}$${\ displaystyle S.}$

Interação com convexidade

• O casco balanceado de um subconjunto totalmente limitado de um espaço vetorial topológico é novamente totalmente limitado.
• A soma de Minkowski de dois conjuntos compactos (totalmente limitados) é compacta (resp. Totalmente limitados).
• Em um espaço localmente convexo (Hausdorff), o casco convexo e o casco em disco de um conjunto totalmente limitado são totalmente limitados se e somente se estiverem completos.${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

Veja também

• Espaço compacto
• Espaço localmente compacto
• Medida de não compactação
• Espaço ortocompacto
• Espaço Paracompacto
• Subespaço relativamente compacto

Referências

Bibliografia