Função parcial - Partial function

Em matemática , uma função parcial f a partir de um conjunto de X para um conjunto Y é uma função de um subconjunto S de X (possivelmente X em si) para Y . O subconjunto S , ou seja, o domínio de f visto como uma função, é chamado de domínio de definição de f . Se S é igual a X , ou seja, se f é definido em todos os elementos de X , então f é considerado total .

Mais tecnicamente, uma função parcial é uma relação binária sobre dois conjuntos que associa cada elemento do primeiro conjunto a no máximo um elemento do segundo conjunto; é, portanto, uma relação binária funcional . Ele generaliza o conceito de uma função (total) ao não exigir que cada elemento do primeiro conjunto seja associado a exatamente um elemento do segundo conjunto.

Uma função parcial é freqüentemente usada quando seu domínio exato de definição não é conhecido ou é difícil de especificar. É o caso do cálculo , onde, por exemplo, o quociente de duas funções é uma função parcial cujo domínio de definição não pode conter os zeros do denominador. Por esta razão, em cálculo e, mais geralmente, em análise matemática , uma função parcial é geralmente chamada simplesmente de função . Na teoria da computabilidade , uma função recursiva geral é uma função parcial de inteiros para inteiros; para muitos deles, nenhum algoritmo pode existir para decidir se eles são de fato totais.

Quando a notação de seta é usada para funções, uma função parcial de a às vezes é escrita como f : XY , ou No entanto, não há convenção geral, e a última notação é mais comumente usada para funções injetivas .

Especificamente, para uma função parcial e qualquer um tem:

  • (é um único elemento em Y ), ou
  • é indefinido.

Por exemplo, se a função de raiz quadrada está restrita a inteiros

definido por:
se e apenas se,

então, só é definido se for um quadrado perfeito (ou seja, ). Portanto, mas é indefinido.

Conceitos Básicos

Um exemplo de função parcial injetiva .
Um exemplo de função que não é injetiva.

Uma função parcial é dita injetiva , sobrejetiva ou bijetiva quando a função dada pela restrição da função parcial ao seu domínio de definição é injetiva, sobrejetiva e bijetiva, respectivamente.

Como uma função é trivialmente sobrejetiva quando restrita à sua imagem, o termo bijeção parcial denota uma função parcial que é injetiva.

Uma função parcial injetiva pode ser invertida para uma função parcial injetiva, e uma função parcial que é tanto injetiva quanto sobrejetiva tem uma função injetiva como inversa. Além disso, uma função que é injetiva pode ser invertida para uma função parcial injetiva.

A noção de transformação também pode ser generalizada para funções parciais. Uma transformação parcial é uma função em que e são subconjuntos de algum conjunto

Função

Uma função é uma relação binária funcional (também chamada de exclusivo à direita) e serial (também chamada de total à esquerda). Esta é uma definição mais forte do que uma função parcial que requer apenas a propriedade funcional.

Espaços funcionais

O conjunto de todas as funções parciais de um conjunto para um conjunto denotado por é a união de todas as funções definidas em subconjuntos de com o mesmo codomínio :

o último também escrito como No caso finito, sua cardinalidade é

porque qualquer função parcial pode ser estendida a uma função por qualquer valor fixo não contido em, de modo que o codomínio é uma operação que é injetiva (única e invertível por restrição).

Discussão e exemplos

O primeiro diagrama na parte superior do artigo representa uma função parcial que não é uma função, pois o elemento 1 no conjunto à esquerda não está associado a nada no conjunto à direita. Considerando que, o segundo diagrama representa uma função, uma vez que cada elemento no conjunto do lado esquerdo está associado a exatamente um elemento no conjunto do lado direito.

Logaritmo natural

Considere a função de logaritmo natural mapeando os números reais para eles próprios. O logaritmo de um real não positivo não é um número real, então a função de logaritmo natural não associa nenhum número real no codomínio com nenhum número real não positivo no domínio. Portanto, a função de logaritmo natural não é uma função quando vista como uma função dos reais para eles próprios, mas é uma função parcial. Se o domínio estiver restrito a incluir apenas os reais positivos (ou seja, se a função do logaritmo natural for vista como uma função dos reais positivos para os reais), então o logaritmo natural é uma função.

Subtração de números naturais

A subtração de números naturais ( inteiros não negativos ) pode ser vista como uma função parcial:

É definido apenas quando

Elemento inferior

Na semântica denotacional, uma função parcial é considerada como retornando o elemento inferior quando ele está indefinido.

Na ciência da computação, uma função parcial corresponde a uma sub-rotina que gera uma exceção ou faz um loop para sempre. O padrão de ponto flutuante IEEE define um valor não numérico que é retornado quando uma operação de ponto flutuante é indefinida e exceções são suprimidas, por exemplo, quando a raiz quadrada de um número negativo é solicitada.

Em uma linguagem de programação onde os parâmetros de função são estaticamente tipados , uma função pode ser definida como uma função parcial porque o sistema de tipos da linguagem não pode expressar o domínio exato da função, então o programador, em vez disso, dá a ela o menor domínio que pode ser expresso como um tipo e contém o domínio de definição da função.

Na teoria da categoria

Na teoria das categorias , ao considerar a operação de composição do morfismo em categorias concretas , a operação de composição é uma função se e somente se possui um elemento. A razão para isso é que dois morfismos e só podem ser compostos como se o codomínio de deve ser igual ao domínio de

A categoria de conjuntos e funções parciais é equivalente, mas não isomórfica, à categoria de conjuntos pontiagudos e mapas com preservação de pontos. Um livro texto observa que "Esta conclusão formal de conjuntos e mapas parciais, adicionando elementos“ impróprios ”e“ infinitos ”, foi reinventada muitas vezes, em particular na topologia ( compactação de um ponto ) e na ciência da computação teórica ”.

A categoria de conjuntos e bijeções parciais equivale ao seu dual . É a categoria inversa prototípica .

Em álgebra abstrata

A álgebra parcial generaliza a noção de álgebra universal para operações parciais . Um exemplo seria um campo , no qual a inversão multiplicativa é a única operação parcial adequada (porque a divisão por zero não é definida).

O conjunto de todas as funções parciais ( transformações parciais ) em um determinado conjunto de base, forma um semigrupo regular denominado semigrupo de todas as transformações parciais (ou o semigrupo de transformação parcial em ), normalmente denotado por O conjunto de todas as bijeções parciais em forma o inverso simétrico semigrupo .

Gráficos e atlas para manifolds e feixes de fibras

Os gráficos nos atlas que especificam a estrutura de variedades e feixes de fibras são funções parciais. No caso de variedades, o domínio é o conjunto de pontos da variedade. No caso de feixes de fibras, o domínio é o espaço do feixe de fibras. Nessas aplicações, a construção mais importante é o mapa de transição , que é a composição de um gráfico com o inverso de outro. A classificação inicial de variedades e feixes de fibras é amplamente expressa em termos de restrições nesses mapas de transição.

A razão para o uso de funções parciais em vez de funções é permitir que topologias globais gerais sejam representadas juntando patches locais para descrever a estrutura global. Os "patches" são os domínios onde os gráficos são definidos.

Veja também

Referências

  • Martin Davis (1958), Computability and Unsolvability , McGraw-Hill Book Company, Inc, New York. Republicado por Dover em 1982. ISBN  0-486-61471-9 .
  • Stephen Kleene (1952), Introdução à Meta-matemática , North-Holland Publishing Company, Amsterdã, Holanda, 10ª impressão com correções adicionadas na 7ª impressão (1974). ISBN  0-7204-2103-9 .
  • Harold S. Stone (1972), Introdução à Organização de Computadores e Estruturas de Dados , McGraw – Hill Book Company, Nova York.