Método da matriz de transferência (ótica) - Transfer-matrix method (optics)

Propagação de um raio através de uma camada

O método da matriz de transferência é um método usado em óptica e acústica para analisar a propagação de ondas eletromagnéticas ou acústicas através de um meio estratificado . Isso é relevante, por exemplo, para o projeto de revestimentos anti-reflexos e espelhos dielétricos .

A reflexão da luz de uma única interface entre dois meios é descrita pelas equações de Fresnel . No entanto, quando há várias interfaces , como na figura, os próprios reflexos também são parcialmente transmitidos e, em seguida, parcialmente refletidos. Dependendo do comprimento exato do caminho, essas reflexões podem interferir de forma destrutiva ou construtiva. O reflexo geral de uma estrutura de camadas é a soma de um número infinito de reflexos.

O método da matriz de transferência é baseado no fato de que, de acordo com as equações de Maxwell , existem condições simples de continuidade para o campo elétrico através dos limites de um meio para o outro. Se o campo for conhecido no início de uma camada, o campo no final da camada pode ser derivado de uma simples operação de matriz . Uma pilha de camadas pode então ser representada como uma matriz de sistema, que é o produto das matrizes de camadas individuais. A etapa final do método envolve a conversão da matriz do sistema de volta em coeficientes de reflexão e transmissão .

Formalismo para ondas eletromagnéticas

Abaixo está descrito como a matriz de transferência é aplicada a ondas eletromagnéticas (por exemplo, luz) de uma determinada frequência propagando-se através de uma pilha de camadas com incidência normal . Ele pode ser generalizado para lidar com a incidência em ângulo, mídia absorvente e mídia com propriedades magnéticas . Assumimos que as camadas da pilha são normais ao eixo e que o campo dentro de uma camada pode ser representado como a superposição de uma onda viajando à esquerda e à direita com número de onda , ${\ displaystyle z \,}$ ${\ displaystyle k \,}$

${\ displaystyle E (z) = E_ {r} e ^ {ikz} + E_ {l} e ^ {- ikz} \,}$.

Como segue da equação de Maxwell que e deve ser contínuo através de um limite, é conveniente representar o campo como o vetor , onde ${\ displaystyle E \,}$${\ displaystyle H = 1 / ikZ_ {c} dE / dz \,}$${\ displaystyle (E (z), H (z)) \,}$

${\ displaystyle H (z) = 1 / Z_ {c} E_ {r} e ^ {ikz} -1 / Z_ {c} E_ {l} e ^ {- ikz} \,}$.

Uma vez que existem duas equações relativas e para e , estas duas representações são equivalentes. Na nova representação, a propagação ao longo de uma distância na direção positiva é descrita pela matriz unimodular${\ displaystyle E \,}$${\ displaystyle H \,}$${\ displaystyle E_ {r} \,}$${\ displaystyle E_ {l} \,}$${\ displaystyle L \,}$${\ displaystyle z \,}$

${\ displaystyle M = \ left ({\ begin {array} {cc} \ cos kL & iZ_ {c} \ sin kL \\ {\ frac {i} {Z_ {c}}} \ sin kL & \ cos kL \ end { array}} \ right),}$

e

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} E (z + L) \\ H (z + L) \ end {array}} \ right) = M \ cdot \ left ({\ begin {array } {c} E (z) \\ H (z) \ end {array}} \ right)}$

Tal matriz pode representar propagação através de uma camada se for o número de onda no meio e a espessura da camada: Para um sistema com camadas, cada camada possui uma matriz de transferência , onde aumenta para valores maiores . A matriz de transferência do sistema é então ${\ displaystyle k \,}$${\ displaystyle L \,}$${\ displaystyle N \,}$${\ displaystyle j \,}$${\ displaystyle M_ {j} \,}$${\ displaystyle j \,}$${\ displaystyle z \,}$

${\ displaystyle M_ {s} = M_ {N} \ cdot \ ldots \ cdot M_ {2} \ cdot M_ {1}.}$

Normalmente, gostaria de saber a refletância e transmitância da estrutura da camada. Se a pilha de camadas começa em , então, para negativo , o campo é descrito como ${\ displaystyle z = 0 \,}$${\ displaystyle z \,}$

${\ displaystyle E_ {L} (z) = E_ {0} e ^ {ik_ {L} z} + rE_ {0} e ^ {- ik_ {L} z}, \ qquad z <0,}$

onde é a amplitude da onda de entrada, o número da onda no meio esquerdo e é a amplitude (não a intensidade!) coeficiente de refletância da estrutura da camada. Do outro lado da estrutura da camada, o campo consiste em um campo transmitido de propagação à direita ${\ displaystyle E_ {0} \,}$${\ displaystyle k_ {L} \,}$${\ displaystyle r \,}$

${\ displaystyle E_ {R} (z) = tE_ {0} e ^ {ik_ {R} z}, \ qquad z> L ',}$

onde é a transmitância de amplitude, é o número da onda no meio mais à direita e é a espessura total. Se e , então podemos resolver ${\ displaystyle t \,}$${\ displaystyle k_ {R} \,}$${\ displaystyle L '}$${\ displaystyle H_ {L} = 1 / ikZ_ {c} dE_ {L} / dz \,}$${\ displaystyle H_ {R} = 1 / ikZ_ {c} dE_ {R} / dz \,}$

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} E (z_ {R}) \\ H (z_ {R}) \ end {array}} \ right) = M \ cdot \ left ({\ begin {array} {c} E (0) \\ H (0) \ end {array}} \ right)}$

em termos dos elementos da matriz da matriz do sistema e obter ${\ displaystyle M_ {mn} \,}$${\ displaystyle M_ {s} \,}$

${\ displaystyle t = 2ik_ {L} e ^ {- ik_ {R} L} \ left [{\ frac {1} {- M_ {21} + k_ {L} k_ {R} M_ {12} + i ( k_ {R} M_ {11} + k_ {L} M_ {22})}} \ right]}$

e

${\ displaystyle r = \ left [{\ frac {(M_ {21} + k_ {L} k_ {R} M_ {12}) + i (k_ {L} M_ {22} -k_ {R} M_ {11 })} {(- M_ {21} + k_ {L} k_ {R} M_ {12}) + i (k_ {L} M_ {22} + k_ {R} M_ {11})}} \ right] }$.

A transmitância e a refletância (ou seja, as frações da intensidade do incidente transmitida e refletida pela camada) são freqüentemente de uso mais prático e são fornecidas por e , respectivamente (na incidência normal). ${\ displaystyle \ left | E_ {0} \ right | ^ {2}}$${\ displaystyle T = {\ frac {k_ {R}} {k_ {L}}} | t | ^ {2} \,}$${\ displaystyle R = | r | ^ {2} \,}$

Exemplo

Como ilustração, considere uma única camada de vidro com índice de refração ne espessura d suspensa no ar em um número de onda k (no ar). No vidro, o número da onda é . A matriz de transferência é ${\ displaystyle k '= nk \,}$

${\ displaystyle M = \ left ({\ begin {array} {cc} \ cos k'd & \ sin (k'd) / k '\\ - k' \ sin k'd & \ cos k'd \ end { array}} \ right)}$.

O coeficiente de reflexão de amplitude pode ser simplificado para

${\ displaystyle r = {\ frac {(1 / nn) \ sin (k'd)} {(n + 1 / n) \ sin (k'd) + 2i \ cos (k'd)}}}$.

Esta configuração descreve efetivamente um interferômetro Fabry-Pérot ou etalon: pois , a reflexão desaparece. ${\ displaystyle k'd = 0, \ pi, 2 \ pi, \ cdots \,}$

Ondas acústicas

É possível aplicar o método da matriz de transferência às ondas sonoras. Em vez do campo elétrico E e sua derivada F , o deslocamento u e a tensão , onde é o módulo da onda p , devem ser usados. ${\ displaystyle \ sigma = Cdu / dz}$${\ displaystyle C}$

Formalismo da matriz de Abeles

Reflexo de uma interface estratificada

O método da matriz de Abeles é uma maneira computacionalmente rápida e fácil de calcular a refletividade especular a partir de uma interface estratificada, em função da transferência de momento perpendicular , Q _z :

${\ displaystyle Q_ {z} = {\ frac {4 \ pi} {\ lambda}} \ sin \ theta = 2k_ {z}}$

onde θ é o ângulo de incidência / reflexão da radiação incidente e λ é o comprimento de onda da radiação. A refletividade medida depende da variação no perfil de densidade de comprimento de espalhamento (SLD), ρ ( z ), perpendicular à interface. Embora o perfil de densidade de comprimento de espalhamento seja normalmente uma função de variação contínua, a estrutura interfacial pode muitas vezes ser bem aproximada por um modelo de laje em que camadas de espessura ( d _n ), densidade de comprimento de espalhamento ( ρ _n ) e rugosidade (σ _{n, n + 1} ) são imprensados ​​entre as fases super e subfases. Em seguida, usa-se um procedimento de refinamento para minimizar as diferenças entre as curvas de refletividade teórica e medida, alterando os parâmetros que descrevem cada camada.

Nesta descrição, a interface é dividida em n camadas. Uma vez que o feixe de nêutrons incidente é refratado por cada uma das camadas, o vetor de onda, k , na camada n , é dado por:

${\ displaystyle k_ {n} = {\ sqrt {{k_ {z}} ^ {2} -4 \ pi ({\ rho} _ {n} - {\ rho} _ {0})}}}$

O coeficiente de reflexão de Fresnel entre a camada n e n + 1 é então dado por:

${\ displaystyle r_ {n, n + 1} = {\ frac {k_ {n} -k_ {n + 1}} {k_ {n} + k_ {n + 1}}}}$

Uma vez que é improvável que a interface entre cada camada seja perfeitamente lisa, a rugosidade / difusão de cada interface modifica o coeficiente de Fresnel e é responsável por uma função de erro , conforme descrito por Nevot e Croce (1980) .

${\ displaystyle r_ {n, n + 1} = {\ frac {k_ {n} -k_ {n + 1}} {k_ {n} + k_ {n + 1}}} \ exp (-2k_ {n} k_ {n + 1} {\ sigma _ {n, n + 1}} ^ {2})}$

Um fator de fase, β , é introduzido, responsável pela espessura de cada camada.

${\ displaystyle \ beta _ {0} = 0}$

${\ displaystyle \ beta _ {n} = ik_ {n} d_ {n}}$

onde . Uma matriz característica, c _n, é então calculada para cada camada. ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$

${\ displaystyle c_ {n} = \ left [{\ begin {array} {cc} \ exp \ left (\ beta _ {n} \ right) & r_ {n, n + 1} \ exp \ left (\ beta _ {n} \ right) \\ r_ {n, n + 1} \ exp \ left (- \ beta _ {n} \ right) & \ exp \ left (- \ beta _ {n} \ right) \ end { array}} \ right]}$

A matriz resultante é definida como o produto dessas matrizes características

${\ displaystyle M = \ prod _ {n} c_ {n}}$

a partir da qual a refletividade é calculada como:

${\ displaystyle R = \ left | {\ frac {M_ {10}} {M_ {00}}} \ right | ^ {2}}$

Veja também

• Refletometria de nêutrons
• Elipsometria
• Cálculo de Jones
• Refletividade de raios X

Referências

Leitura adicional

• Refletividade multicamadas : derivação dos primeiros princípios das probabilidades de transmissão e reflexão de uma multicamadas com índices complexos de refração.
• Materiais em Camadas e Diagramas de Banda Fotônica (Aula 23) no MIT Curso Aberto de Propriedades Eletrônicas, Óticas e Magnéticas de Materiais .
• Propagação de ondas EM através de filmes finos e multicamadas (Aula 13) no curso aberto do MIT em processos de transporte de nanopara macro . Inclui ondas acústicas de discussão curta.

links externos

Existem vários programas de computador que implementam este cálculo:

• O FreeSnell é um programa de computador autônomo que implementa o método de matriz de transferência, incluindo aspectos mais avançados, como filmes granulares.
• Thinfilm é uma interface da web que implementa o método da matriz de transferência, emitindo coeficientes de reflexão e transmissão, e também parâmetros elipsométricos Psi e Delta.
• Luxpop.com é outra interface da web que implementa o método de matriz de transferência.
• Programas de cálculo de matrizes de transferência em Python e Mathematica .
• Software EMPy ("Electromagnetic Python") .
• motofit é um programa para analisar dados de refletometria de nêutrons e raios-X.
• OpenFilters é um programa para projetar filtros ópticos.
• Py_matrix é um código Python de código aberto que implementa o método de matriz de transferência para multicamadas com tensores dielétricos arbitrários. Foi criado especialmente para cálculos plasmônicos e magnetoplasmáticos.
• Calculadora no navegador e ajustador Calculadora de refletividade interativa Javascript usando método de matriz e aproximação de rugosidade Nevot-Croce (kernel de cálculo convertido de C via Emscripten )