Transpor - Transpose

A transposta Um ^T de uma matriz A pode ser obtido através da reflexão dos elementos ao longo da sua diagonal principal. A repetição do processo na matriz transposta retorna os elementos à sua posição original.

Na álgebra linear , a transposição de uma matriz é um operador que vira uma matriz sobre sua diagonal; isto é, ele troca os índices de linha e coluna da matriz $A$ produzindo outra matriz, freqüentemente denotada por $A T$ (entre outras notações).

A transposição de uma matriz foi introduzida em 1858 pelo matemático britânico Arthur Cayley . No caso de uma matriz lógica representando um binário relação R, os corresponde a transposição para a relação inverso R ^T .

Transpor de uma matriz

Definição

A transposta da matriz $A$ , denotada por $um T$ , $⊤ Um$ , $Um ⊤$ , , $A '$ , $A$ $TR$ , $t$ $Um$ ou $uma$ $t$ , pode ser construído por qualquer um dos métodos que se seguem: ${\ displaystyle A ^ {\ intercal}}$

Reflita $A$ sobre sua diagonal principal (que vai da parte superior esquerda para a parte inferior direita) para obter $A T$
Escreva as linhas de $A$ como colunas de $A T$
Escreva as colunas de $A$ como as linhas de $A T$

Formalmente, o $i$ -ésimo linha, $j$ -ésimo elemento da coluna de $A T$ é o $j$ -ésimo linha, $i$ -ésimo elemento da coluna de $A$ :

{\ displaystyle \ left [\ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} \ right] _ {ij} = \ left [\ mathbf {A} \ right] _ {ji}.}

Se $A$ é uma matriz $m \times n$ , então $A T$ é uma matriz $n \times m$ .

No caso de matrizes quadradas, $A T$ também pode denotar o $t$ th poder da matriz $Uma$ . Para evitar uma possível confusão, muitos autores usam upperscripts esquerdo, isto é, eles denotam a transposta como $T A$ . Uma vantagem dessa notação é que não são necessários parênteses quando expoentes estão envolvidos: como $(T A) n = T (A n)$ , a notação $T A n$ não é ambígua.

Neste artigo, essa confusão é evitada por nunca usar o símbolo $T$ como um nome de variável .

Definições de matriz envolvendo transposição

Uma matriz quadrada cuja transposta é igual a si mesma é chamada de matriz simétrica ; ou seja, $A$ é simétrico se

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} = \ mathbf {A}.}

Uma matriz quadrada cuja transposta é igual ao seu negativo é chamada de matriz simétrica inclinada ; isto é, $A$ é assimétrico se

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} = - \ mathbf {A}.}

Uma matriz quadrada complexa cuja transposta é igual à matriz com cada entrada substituída por seu conjugado complexo (denotado aqui com uma linha sobreposta) é chamada de matriz Hermitiana (equivalente à matriz sendo igual a sua transposta conjugada ); isto é, $A$ é hermitiano se

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} = {\ overline {\ mathbf {A}}}.}

Uma matriz quadrada complexa cuja transposta é igual à negação de seu conjugado complexo é chamada de matriz skew-hermitiana ; isto é, $A$ é inclinado-hermitiano se

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} = - {\ overline {\ mathbf {A}}}.}

Uma matriz quadrada cuja transposta é igual à sua inversa é chamada de matriz ortogonal ; ou seja, $A$ é ortogonal se

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} = \ mathbf {A} ^ {- 1}.}

Uma matriz quadrada complexa cuja transposta é igual ao seu inverso conjugado é chamada de matriz unitária ; ou seja, $A$ é unitário se

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} = {\ overline {\ mathbf {A} ^ {- 1}}}.}

Exemplos

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 e 2 \ end {bmatrix}} ^ {\ operatorname {T}} = \, {\ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix}} ^ {\ operatorname {T}} = {\ begin {bmatrix} 1 e 3 \\ 2 & 4 \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \ end {bmatrix}} ^ {\ operatorname {T}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \ end {bmatrix}}}$

Propriedades

Sejam $A$ e $B$ matrizes $ec$ um escalar .

${\ displaystyle \ left (\ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} \ right) ^ {\ operatorname {T}} = \ mathbf {A}.}$
A operação de tomar a transposta é uma involução ( autoconversa ).
${\ displaystyle \ left (\ mathbf {A} + \ mathbf {B} \ right) ^ {\ operatorname {T}} = \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} + \ mathbf {B} ^ { \ operatorname {T}}.}$
A transposição respeita a adição .
${\ displaystyle \ left (\ mathbf {AB} \ right) ^ {\ operatorname {T}} = \ mathbf {B} ^ {\ operatorname {T}} \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}}. }$
Observe que a ordem dos fatores se inverte. Disto pode-se deduzir que uma matriz quadrada $A$ é invertível se e somente se $A T$ é invertível e, neste caso, temos $(A -1) T = (A T) -1$ . Por indução, esse resultado se estende ao caso geral de matrizes múltiplas, onde encontramos que $(A 1 A 2 ... A k -1 A k) T = A k T A k -1 T \dots A 2 T A 1 T$ .
${\ displaystyle \ left (c \ mathbf {A} \ right) ^ {\ operatorname {T}} = c \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}}.}$
A transposição de um escalar é o mesmo escalar. Junto com (2), isso afirma que a transposta é um mapa linear do espaço de matrizes $m \times n$ para o espaço de todas as matrizes $n \times m$ .
${\ displaystyle \ det \ left (\ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} \ right) = \ det (\ mathbf {A}).}$
O determinante de uma matriz quadrada é o mesmo que o determinante de sua transposta.
O produto escalar de dois vetores de coluna $a$ e $b$ pode ser calculado como a única entrada do produto da matriz:
${\ displaystyle \ left [\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} \ right] = \ mathbf {a} ^ {\ operatorname {T}} \ mathbf {b},}$
que é escrito como $a i b i$ na convenção de resumo de Einstein .
Se $A$ tiver apenas entradas reais, então $A T A$ é uma matriz semidefinida positiva .
${\ displaystyle \ left (\ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} \ right) ^ {- 1} = \ left (\ mathbf {A} ^ {- 1} \ right) ^ {\ operatorname {T }}.}$
A transposta de uma matriz invertível também é invertível, e sua inversa é a transposta da inversa da matriz original. A notação $A -T$ às vezes é usada para representar qualquer uma dessas expressões equivalentes.
Se $A$ é uma matriz quadrada, então seus autovalores são iguais aos autovalores de sua transposta, uma vez que compartilham o mesmo polinômio característico .

Produtos

Se $A$ é uma matriz $m \times n$ e $A T$ é sua transposta, então o resultado da multiplicação da matriz com essas duas matrizes dá duas matrizes quadradas: $AA T$ é $m \times m$ e $A T A$ é $n \times n$ . Além disso, esses produtos são matrizes simétricas . Com efeito, o produto de matriz $AA T$ tem entradas que são o produto interior de uma fila de $uma$ com uma coluna de $um T$ . Mas as colunas de $A T$ são as linhas de $A$ , de modo que os corresponde entrada para o produto interno de duas fileiras de $A$ . Se $p i j$ é a entrada do produto, que é obtido a partir de linhas $de i$ e $j$ em $um$ . A entrada $p j i$ também é obtida a partir dessas linhas, portanto, $p i j = p j i$ , e a matriz do produto ( $p i j$ ) é simétrica. Da mesma forma, o produto $A T A$ é uma matriz simétrica.

Uma rápida prova da simetria de $AA T$ resulta do fato de ser sua própria transposta:

{\ displaystyle \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} \ right) ^ {\ operatorname {T}} = \ left (\ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T }} \ right) ^ {\ operatorname {T}} \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} = \ mathbf {A} \ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}}.}

Implementação da transposição da matriz em computadores

Ilustração da ordem principal de linha e coluna

Em um computador , muitas vezes pode-se evitar a transposição explícita de uma matriz na memória simplesmente acessando os mesmos dados em uma ordem diferente. Por exemplo, bibliotecas de software para álgebra linear , como BLAS , normalmente fornecem opções para especificar que certas matrizes devem ser interpretadas em ordem transposta para evitar a necessidade de movimentação de dados.

No entanto, ainda existem várias circunstâncias nas quais é necessário ou desejável reordenar fisicamente uma matriz na memória para sua ordem transposta. Por exemplo, com uma matriz armazenada em ordem de linha maior , as linhas da matriz são contíguas na memória e as colunas são descontíguas. Se operações repetidas precisam ser realizadas nas colunas, por exemplo, em um algoritmo de transformação rápida de Fourier , a transposição da matriz na memória (para tornar as colunas contíguas) pode melhorar o desempenho aumentando a localidade da memória .

Idealmente, pode-se esperar transpor uma matriz com armazenamento adicional mínimo. Isso leva ao problema de transpor uma matriz n × m no local , com O (1) armazenamento adicional ou, no máximo, armazenamento muito menor do que mn . Para n ≠ m , isso envolve uma permutação complicada dos elementos de dados que não é trivial para implementar no local. Portanto, a transposição de matriz in-loco eficiente tem sido o assunto de inúmeras publicações de pesquisa em ciência da computação , começando no final dos anos 1950, e vários algoritmos foram desenvolvidos.

Transpostas de mapas lineares e formas bilineares

Lembre-se de que as matrizes podem ser colocadas em uma correspondência um-para-um com operadores lineares . A transposta de um operador linear pode ser definida sem a necessidade de considerar uma representação matricial dela. Isso leva a uma definição muito mais geral da transposta que pode ser aplicada a operadores lineares que não podem ser representados por matrizes (por exemplo, envolvendo muitos espaços vetoriais de dimensão infinita).

Transposição de um mapa linear

Deixe- $X #$ denotar o espaço dual algébrico de um $R$ - módulo $X$ . Deixe que $X$ e $Y$ ser $R$ -modules. Se $u : X \to Y$ é um mapa linear , então seu adjunto algébrico ou dual , é o mapa $# u : Y # \to X #$ definido por $f \mapsto f \circ u$ . O funcional $u # (f)$ resultante é chamado de recuo de $f$ por $u$ . A seguinte relação caracteriza o adjunto algébrico de $u$

⟨ U # (F), x ⟩ = ⟨ f, u (x)⟩

para todos os

f \in Y'

e

X \in X

onde $⟨•, •⟩$ é o emparelhamento naturais (isto é definido por $⟨ z, h ⟩: = H (z)$ ). Esta definição também se aplica inalterada aos módulos à esquerda e aos espaços vetoriais.

A definição da transposta pode ser vista como independente de qualquer forma bilinear nos módulos, ao contrário da adjacente ( abaixo ).

O espaço dual contínuo de um espaço vetorial topológico (TVS) $X$ é denotado por $X'$ . Se $X$ e $Y$ são TVSs, então um mapa linear $u : X \to Y$ é fracamente contínuo se e somente se $u # (Y') \subseteq X'$ , caso em que deixamos $t u : Y' \to X'$ denotar a restrição de $u #$ para $Y'$ . O mapa $t u$ é chamado de transposta de $u$ .

Se a matriz $A$ descreve um mapa linear em relação às bases de $V$ e $W$ , então a matriz $A T$ descreve a transposta desse mapa linear em relação às bases duais .

Transpor de uma forma bilinear

Todo mapa linear para o espaço dual $u : X \to X #$ define uma forma bilinear $B : X \times X \to F$ , com a relação $B (x, y) = u (x) (y)$ . Ao definir a transposta desta forma bilinear como a forma bilinear $t B$ definida pela transposta $t u : X ## \to X #$ ie $t B (y, x) = t u (Ψ (y)) (x)$ , encontramos que $B (x, y) = t B (y, x)$ . Aqui, $Ψ$ é o homomorfismo natural $X \to X ##$ no dual duplo .

Adjunto

Se os espaços vetoriais $X$ e $Y$ têm, respectivamente, formas bilineares não degeneradas $B$ $X$ e $B$ $Y$ , um conceito conhecido como adjunto , que está intimamente relacionado à transposta, pode ser definido:

Se $u : X \to Y$ é um mapa linear entre os espaços vetoriais $X$ e $Y$ , definimos $g$ como o adjunto de $u$ se $g : Y \to X$ satisfaz

{\ displaystyle B_ {X} {\ big (} x, g (y) {\ big)} = B_ {Y} {\ big (} u (x), y {\ big)}}

para todos os

x \in X

e

Y \in Y

.

Essas formas bilineares definem um isomorfismo entre $X$ e $X #$ , e entre $Y$ e $Y #$ , resultando em um isomorfismo entre o transposto e o adjunto de $u$ . A matriz do adjunto de um mapa é a matriz transposta apenas se as bases forem ortonormais em relação às suas formas bilineares. Nesse contexto, muitos autores usam o termo transpor para se referir ao adjunto conforme definido aqui.

O adjunta permite-nos considerar se $g : Y \to X$ é igual a $u -1 : Y \to X$ . Em particular, isso permite que o grupo ortogonal sobre um espaço vetorial $X$ com uma forma quadrática seja definido sem referência a matrizes (nem seus componentes) como o conjunto de todos os mapas lineares $X \to X$ para os quais o adjunto é igual ao inverso.

Em um espaço vetorial complexo, geralmente se trabalha com formas sesquilineares (linear-conjugada em um argumento) em vez de formas bilineares. O adjunto Hermitiano de um mapa entre tais espaços é definido de forma semelhante, e a matriz do adjunto Hermitiano é dada pela matriz transposta conjugada se as bases são ortonormais.

Veja também

Matriz adjuvante , a transposição da matriz cofator
Conjugado transposto
Pseudoinverso de Moore-Penrose
Projeção (álgebra linear)

Referências

Leitura adicional

Bourbaki, Nicolas (1989) [1970]. Algebra I Chapters 1-3 [ Algèbre: Chapitres 1 a 3 ] (PDF) . Éléments de mathématique . Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 18588156 .

Halmos, Paul (1974), Espaços vetoriais de dimensão finita , Springer, ISBN 978-0-387-90093-3.
Maruskin, Jared M. (2012). Álgebra Linear Essencial . San José: Solar Crest. pp. 122–132. ISBN 978-0-9850627-3-6.
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espaços vetoriais topológicos . GTM . 8 (segunda edição). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Trèves, François (2006) [1967]. Espaços Vetoriais Topológicos, Distribuições e Kernels . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Schwartz, Jacob T. (2001). Introdução às matrizes e vetores . Mineola: Dover. pp. 126-132. ISBN 0-486-42000-0.

links externos

Gilbert Strang (primavera de 2010) Álgebra Linear do MIT Open Courseware

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