Trapézio -Trapezoid

Trapézio (AmE) Trapézio (BrE)
Trapézio ou trapézio
Tipo	quadrilátero
Arestas e vértices	4
Área	${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}h}$
Propriedades	convexo

Em inglês fora da América do Norte, um quadrilátero convexo na geometria euclidiana , com pelo menos um par de lados paralelos , é referido como um trapézio ( / t r ə ˈ p iː z i ə m / ); em inglês americano e canadense , isso geralmente é chamado de trapézio ( / t r æ p ə z ɔɪ d / ). Os lados paralelos são chamados de basesdo trapézio. Os outros dois lados são chamados de pernas (ou laterais ) se não forem paralelos; caso contrário, o trapézio é um paralelogramo e existem dois pares de bases). Um trapézio escaleno é um trapézio sem lados de medida igual, em contraste com os casos especiais abaixo.

Etimologia e trapézio vs trapézio

O matemático grego antigo Euclides definiu cinco tipos de quadriláteros, dos quais quatro tinham dois conjuntos de lados paralelos (conhecidos em inglês como quadrado, retângulo, losango e losango) e o último não tinha dois conjuntos de lados paralelos – um τραπέζια ( trapézio literalmente " uma mesa", ele próprio de τετράς ( tetrás ), "quatro" + πέζα ( peza ), "um pé; fim, borda, borda").

Dois tipos de trapézios foram introduzidos por Proclo (412 a 485 dC) em seu comentário sobre o primeiro livro dos Elementos de Euclides :

• um par de lados paralelos - um trapézio (τραπέζιον), dividido em trapézios isósceles (pernas iguais) e escalenos (desiguais)
• sem lados paralelos - trapézio (τραπεζοειδή, trapezoeidé , literalmente trapézio-like ( εἶδος significa "semelhante"), da mesma forma que cuboide significa cubo e rombóide significa losango )

Todas as línguas européias seguem a estrutura de Proclus, assim como o inglês até o final do século XVIII, até que um influente dicionário matemático publicado por Charles Hutton em 1795 apoiou sem explicação uma transposição dos termos. Esse erro foi corrigido no inglês britânico por volta de 1875, mas foi mantido no inglês americano até os dias modernos.

Tipo	Imagem	Terminologia original			Terminologia moderna
		Euclides (Definição 22)	Proclus (Definições 30-34, citando Posidônio)	Definição de Euclides/Proclus	Inglês britânico (e idiomas europeus)	inglês americano
Paralelogramo		ῥόμβος (rombos)		equilátero, mas não reto	Losango		Trapezóide ( inclusive )
		ῥομβοειδὲς (rhomboides)		lados opostos e ângulos iguais entre si, mas não equiláteros nem retos	Rombóide (coloquialmente paralelogramo)
Não paralelogramo		τραπέζια (trapézio)	τραπέζιον ἰσοσκελὲς ( trapez ion isoskelés )	Dois lados paralelos e uma linha de simetria	Trapézio _	Trapez oid (exclusivo)
			τραπέζιον σκαληνὸν ( trapez ion skalinón )	Dois lados paralelos e nenhuma linha de simetria
			τραπέζοειδὲς ( trapez oides )	Sem lados paralelos	trapézio _	Trapézio _

Este artigo usa o termo trapézio no sentido que é corrente nos Estados Unidos e Canadá. A forma é muitas vezes chamada de quadrilátero irregular.

Definição inclusiva x exclusiva

Há algum desacordo se os paralelogramos , que têm dois pares de lados paralelos, devem ser considerados trapézios. Alguns definem um trapézio como um quadrilátero com apenas um par de lados paralelos (a definição exclusiva), excluindo assim os paralelogramos. Outros definem um trapézio como um quadrilátero com pelo menos um par de lados paralelos (a definição inclusiva), tornando o paralelogramo um tipo especial de trapézio. A última definição é consistente com seus usos em matemática superior, como cálculo . Este artigo usa a definição inclusiva e considera os paralelogramos como casos especiais de um trapézio. Isso também é defendido na taxonomia de quadriláteros .

Sob a definição inclusiva, todos os paralelogramos (incluindo losangos , retângulos e quadrados ) são trapézios. Os retângulos têm simetria espelhada nas bordas médias; os losangos têm simetria espelhada nos vértices, enquanto os quadrados têm simetria espelhada nas arestas médias e nos vértices.

Casos especiais

Um trapézio reto (também chamado de trapézio reto ) tem dois ângulos retos adjacentes . Os trapézios direitos são usados ​​na regra trapezoidal para estimar áreas sob uma curva.

Um trapézio agudo tem dois ângulos agudos adjacentes em sua borda de base mais longa, enquanto um trapézio obtuso tem um ângulo agudo e um obtuso em cada base .

Um trapézio isósceles é um trapézio onde os ângulos da base têm a mesma medida. Como consequência, as duas pernas também têm o mesmo comprimento e simetria de reflexão . Isso é possível para trapézios agudos ou trapézios retos (retângulos).

Um paralelogramo é um trapézio com dois pares de lados paralelos. Um paralelogramo tem simetria rotacional central de 2 vezes (ou simetria de reflexão pontual ). É possível para trapézios obtusos ou trapézios retos (retângulos).

Um trapézio tangencial é um trapézio que tem um incircle .

Um quadrilátero de Saccheri é semelhante a um trapézio no plano hiperbólico, com dois ângulos retos adjacentes, enquanto é um retângulo no plano euclidiano. Um quadrilátero de Lambert no plano hiperbólico tem 3 ângulos retos.

Condição de existência

Quatro comprimentos a , c , b , d podem constituir os lados consecutivos de um trapézio não paralelogramo com a e b paralelos somente quando

${\displaystyle \displaystyle |dc|<|ba|<d+c.}$

O quadrilátero é um paralelogramo quando , mas é um quadrilátero ex-tangencial (que não é um trapézio) quando . ${\displaystyle dc=ba=0}$${\displaystyle |dc|=|ba|\neq 0}$

Caracterizações

Dado um quadrilátero convexo, as seguintes propriedades são equivalentes, e cada uma implica que o quadrilátero é um trapézio:

• Possui dois ângulos adjacentes que são suplementares , ou seja, somam 180 graus .
• O ângulo entre um lado e uma diagonal é igual ao ângulo entre o lado oposto e a mesma diagonal.
• As diagonais cortam-se mutuamente na mesma proporção (essa proporção é a mesma que entre os comprimentos dos lados paralelos).
• As diagonais cortam o quadrilátero em quatro triângulos dos quais um par oposto tem áreas iguais.
• O produto das áreas dos dois triângulos formados por uma diagonal é igual ao produto das áreas dos dois triângulos formados pela outra diagonal.
• As áreas S e T de alguns dois triângulos opostos dos quatro triângulos formados pelas diagonais satisfazem a equação

${\displaystyle {\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},}$

onde K é a área do quadrilátero.

• Os pontos médios de dois lados opostos e a interseção das diagonais são colineares .
• Os ângulos do quadrilátero ABCD satisfazem${\displaystyle \sin A\sin C=\sin B\sin D.}$
• Os cossenos de dois ângulos adjacentes somam 0, assim como os cossenos dos outros dois ângulos.
• As cotangentes de dois ângulos adjacentes somam 0, assim como as cotangentes dos outros dois ângulos adjacentes.
• Uma bimediana divide o quadrilátero em dois quadriláteros de áreas iguais.
• O dobro do comprimento da bimediana que liga os pontos médios de dois lados opostos é igual à soma dos comprimentos dos outros lados.

Além disso, as seguintes propriedades são equivalentes e cada uma implica que os lados opostos a e b são paralelos:

• Os lados consecutivos a , c , b , d e as diagonais p , q satisfazem a equação

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.}$

• A distância v entre os pontos médios das diagonais satisfaz a equação

${\displaystyle v={\frac {|ab|}{2}}.}$

Segmento médio e altura

O segmento médio (também chamado de mediana ou linha média) de um trapézio é o segmento que une os pontos médios das pernas. É paralelo às bases. Seu comprimento m é igual à média dos comprimentos das bases a e b do trapézio,

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}.}$

O segmento médio de um trapézio é uma das duas bimedianas (a outra bimediana divide o trapézio em áreas iguais).

A altura (ou altitude) é a distância perpendicular entre as bases. Caso as duas bases tenham comprimentos diferentes ( a ≠ b ), a altura de um trapézio h pode ser determinada pelo comprimento de seus quatro lados usando a fórmula

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+cd)(ab-c+d)}}{2| ba|}}}$

onde c e d são os comprimentos das pernas.

Área

A área K de um trapézio é dada por

${\displaystyle K={\frac {a+b}{2}}\cdot h=mh}$

onde a e b são os comprimentos dos lados paralelos, h é a altura (a distância perpendicular entre esses lados) e m é a média aritmética dos comprimentos dos dois lados paralelos. Em 499 dC Aryabhata , um grande matemático - astrônomo da era clássica da matemática indiana e da astronomia indiana , usou esse método no Aryabhatiya (seção 2.8). Isso produz como um caso especial a conhecida fórmula da área de um triângulo , considerando um triângulo como um trapézio degenerado no qual um dos lados paralelos encolheu a um ponto.

O matemático indiano do século VII Bhāskara I derivou a seguinte fórmula para a área de um trapézio com lados consecutivos a , c , b , d :

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}(a+b){\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left((ba)+{\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}\right)^{2}}}}$

onde a e b são paralelos e b > a . Esta fórmula pode ser fatorada em uma versão mais simétrica

${\displaystyle K={\frac {a+b}{4|ba|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+cd) (ab-c+d)}}.}$

Quando um dos lados paralelos se reduz a um ponto (digamos, a = 0), essa fórmula se reduz à fórmula de Heron para a área de um triângulo.

Outra fórmula equivalente para a área, que se assemelha mais à fórmula de Heron, é

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|ba|}}{\sqrt {(sb)(sa)(sbc)(sbd)}},}$

onde é o semiperímetro do trapézio. (Esta fórmula é semelhante à fórmula de Brahmagupta , mas difere dela, pois um trapézio pode não ser cíclico (inscrito em um círculo). A fórmula também é um caso especial da fórmula de Bretschneider para um quadrilátero geral ). ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$

Da fórmula de Bretschneider segue que

${\displaystyle K={\sqrt {{\frac {(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2})(ab^{2}-a^{2 }b-ac^{2}+bd^{2})}{4(ba)^{2}}}-\left({\frac {c^{2}+d^{2}-a^{ 2}-b^{2}}{4}}\right)^{2}}}.}$

A linha que une os pontos médios dos lados paralelos, corta a área.

Diagonais

Os comprimentos das diagonais são

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{ba}}},}$

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{ba}}}}$

onde a é a base curta, b é a base longa e c e d são as pernas do trapézio.

Se o trapézio é dividido em quatro triângulos por suas diagonais AC e BD (como mostrado à direita), que se cruzam em O , então a área de AOD é igual à de BOC , e o produto das áreas de AOD e BOC é igual ao de AOB e COD . A razão das áreas de cada par de triângulos adjacentes é a mesma que aquela entre os comprimentos dos lados paralelos. ${\estilo de exibição \triângulo }$ ${\estilo de exibição \triângulo }$ ${\estilo de exibição \triângulo }$ ${\estilo de exibição \triângulo }$ ${\estilo de exibição \triângulo }$ ${\estilo de exibição \triângulo }$

Seja o trapézio com vértices A , B , C e D em seqüência e com lados paralelos AB e DC . Seja E a interseção das diagonais, e seja F no lado DA e G no lado BC tal que FEG seja paralelo a AB e CD . Então FG é a média harmônica de AB e DC :

${\displaystyle {\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right ).}$

A linha que passa pelo ponto de interseção dos lados não paralelos estendidos e pelo ponto de interseção das diagonais, corta cada base.

Outras propriedades

O centro de área (centro de massa para uma lâmina uniforme ) está ao longo do segmento de linha que une os pontos médios dos lados paralelos, a uma distância perpendicular x do lado maior b dado por

${\displaystyle x={\frac {h}{3}}\left({\frac {2a+b}{a+b}}\right).}$

O centro da área divide este segmento na proporção (quando tomado do lado curto para o lado longo)

${\displaystyle {\frac {a+2b}{2a+b}}.}$

Se as bissetrizes dos ângulos A e B se cruzam em P , e as bissetrizes dos ângulos C e D se cruzam em Q , então

${\displaystyle PQ={\frac {|AD+BC-AB-CD|}{2}}.}$

Formulários

Arquitetura

Na arquitetura, a palavra é usada para se referir a portas, janelas e edifícios simétricos construídos mais largos na base, afunilando em direção ao topo, em estilo egípcio. Se estes têm lados retos e cantos angulares afiados, suas formas são geralmente trapézios isósceles . Este era o estilo padrão para as portas e janelas do Inca .

Geometria

O problema das escadas cruzadas é o problema de encontrar a distância entre os lados paralelos de um trapézio reto, dados os comprimentos diagonais e a distância da perna perpendicular à interseção diagonal.

Biologia

Em morfologia , taxonomia e outras disciplinas descritivas nas quais um termo para tais formas é necessário, termos como trapezoidal ou trapeziforme comumente são úteis em descrições de órgãos ou formas particulares.

Engenharia da computação

Na engenharia da computação, especificamente na lógica digital e na arquitetura de computadores, os trapézios são normalmente utilizados para simbolizar multiplexadores . Multiplexadores são elementos lógicos que selecionam entre vários elementos e produzem uma única saída com base em um sinal de seleção. Projetos típicos empregarão trapézios sem declarar especificamente que são multiplexadores, pois são universalmente equivalentes.

Veja também

• Número polido , também conhecido como número trapezoidal
• Cunha , um poliedro definido por dois triângulos e três faces trapezoidais.

Referências

Leitura adicional

• D. Fraivert, A. Sigler e M. Stupel: Propriedades comuns de trapézios e quadriláteros convexos

links externos

• Trapézio na Enciclopédia de Matemática .
• Weisstein, Eric W. "Trapézio direito" . MathWorld .
• Definição   de trapézio Área de um trapézio   Mediana de um trapézio Com animações interativas
• Trapezoid (América do Norte) em elsy.at: Curso animado (construção, circunferência, área)
• Regra trapezoidal sobre métodos numéricos para graduação em tronco
• Autar Kaw e E. Eric Kalu, Métodos Numéricos com Aplicações , (2008)