Desigualdade triangular - Triangle inequality

Três exemplos da desigualdade de triângulo para triângulos com lados de comprimentos x , y , z . O exemplo superior mostra um caso em que z é muito menor que a soma x + y dos outros dois lados, e o exemplo inferior mostra um caso em que o lado z é apenas ligeiramente menor que x + y .

Em matemática , a desigualdade do triângulo afirma que, para qualquer triângulo , a soma dos comprimentos de quaisquer dois lados deve ser maior ou igual ao comprimento do lado restante. Essa afirmação permite a inclusão de triângulos degenerados , mas alguns autores, especialmente aqueles que escrevem sobre geometria elementar, irão excluir essa possibilidade, deixando de lado a possibilidade de igualdade. Se x , y e z são os comprimentos dos lados do triângulo, sem lado sendo maior do que z , então a desigualdade do triângulo afirma que

com igualdade apenas no caso degenerado de um triângulo com área zero. Na geometria euclidiana e em algumas outras geometrias, a desigualdade do triângulo é um teorema sobre distâncias e é escrito usando vetores e comprimentos de vetor ( normas ):

onde o comprimento z do terceiro lado foi substituído pela soma vetorial x + y . Quando x e y são números reais , eles podem ser vistos como vetores em R 1 , e a desigualdade do triângulo expressa uma relação entre valores absolutos .

Na geometria euclidiana, para triângulos retângulos a desigualdade do triângulo é uma conseqüência do teorema de Pitágoras , e para triângulos gerais, uma conseqüência da lei dos cossenos , embora possa ser provada sem esses teoremas. A desigualdade pode ser vista intuitivamente em R 2 ou R 3 . A figura à direita mostra três exemplos começando com clara desigualdade (topo) e se aproximando da igualdade (embaixo). No caso euclidiano, a igualdade ocorre apenas se o triângulo tiver um ângulo de 180 ° e dois ângulos de 0 ° , tornando os três vértices colineares , conforme mostrado no exemplo inferior. Assim, na geometria euclidiana, a menor distância entre dois pontos é uma linha reta.

Na geometria esférica , a distância mais curta entre dois pontos é um arco de um grande círculo , mas a desigualdade do triângulo se mantém, desde que a restrição seja feita de que a distância entre dois pontos em uma esfera é o comprimento de um segmento de linha esférica menor (isto é, um com ângulo central em [0, π ] ) com esses pontos finais.

A desigualdade do triângulo é uma propriedade definidora de normas e medidas de distância . Esta propriedade deve ser estabelecida como um teorema para qualquer função proposta para tais fins para cada espaço particular: por exemplo, espaços como os números reais , espaços euclidianos , os espaços L p ( p ≥ 1 ) e espaços de produto interno .

Geometria euclidiana

Construção de Euclides para prova da desigualdade triangular para geometria plana.

Euclides provou a desigualdade do triângulo para distâncias na geometria plana usando a construção da figura. Começando com o triângulo ABC , um triângulo isósceles é construído com um lado considerado como BC e o outro lado igual BD ao longo da extensão do lado AB . Argumenta-se então que o ângulo β > α , então lado AD > AC . Mas AD = AB + BD = AB + BC então a soma dos lados AB + BC > AC . Essa prova aparece em Elementos de Euclides , Livro 1, Proposição 20.

Expressão matemática da restrição nos lados de um triângulo

Para um triângulo adequado, a desigualdade do triângulo, conforme declarado em palavras, literalmente se traduz em três desigualdades (dado que um triângulo adequado tem comprimentos laterais a , b , c que são todos positivos e excluem o caso degenerado de área zero):

Uma forma mais sucinta deste sistema de desigualdade pode ser mostrado para ser

Outra forma de afirmar isso é

implicando

e, portanto, o comprimento do lado mais longo é menor que o semiperímetro .

Uma formulação matematicamente equivalente é que a área de um triângulo com lados a , b , c deve ser um número real maior que zero. A fórmula de Heron para a área é

Em termos de qualquer expressão de área, a desigualdade triangular imposta em todos os lados é equivalente à condição de que a expressão sob o sinal de raiz quadrada seja real e maior que zero (então a expressão de área é real e maior que zero).

A desigualdade triangular fornece duas restrições mais interessantes para os triângulos cujos lados são a, b, c , onde umbC e é a razão de ouro , como

Triângulo retângulo

Triângulo isósceles com lados iguais AB = AC dividido em dois triângulos retângulos por uma altitude desenhada de um dos dois ângulos de base.

No caso dos triângulos retângulos, a desigualdade do triângulo se especializa na afirmação de que a hipotenusa é maior do que qualquer um dos dois lados e menor do que sua soma.

A segunda parte deste teorema já foi estabelecida acima para qualquer lado de qualquer triângulo. A primeira parte é estabelecida usando a figura inferior. Na figura, considere o ADC do triângulo retângulo . Um triângulo isósceles ABC é construído com lados iguais AB = AC . Do postulado do triângulo , os ângulos no ADC do triângulo retângulo satisfazem:

Da mesma forma, no triângulo isósceles ABC , os ângulos satisfazem:

Portanto,

e então, em particular,

Isso significa que o lado AD oposto ao ângulo α é mais curto do que o lado AB oposto ao ângulo maior β . Mas AB = AC . Portanto:

Uma construção semelhante mostra AC > DC , estabelecendo o teorema.

Uma prova alternativa (também baseada no postulado do triângulo) prossegue considerando três posições para o ponto B : (i) como representado (que deve ser provado), ou (ii) B coincidente com D (o que significaria que o triângulo isósceles tinha dois ângulos retos como ângulos de base mais o ângulo do vértice γ , o que violaria o postulado do triângulo ), ou por último, (iii) B no interior do triângulo retângulo entre os pontos A e D (caso em que o ângulo ABC é um ângulo externo de um triângulo retângulo BDC e, portanto, maior do que π / 2 , o que significa que o outro ângulo da base do triângulo isósceles também é maior do que π / 2 e sua soma excede π , violando o postulado do triângulo).

Este teorema que estabelece desigualdades é aprimorado pelo teorema de Pitágoras para a igualdade de que o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.

Exemplos de uso

Considere um triângulo cujos lados estão em uma progressão aritmética e deixe os lados serem a , a + d , a + 2 d . Então, a desigualdade do triângulo exige que

Para satisfazer todas essas desigualdades requer

Quando d é escolhido de forma que d = a / 3 , ele gera um triângulo retângulo que é sempre semelhante ao triplo pitagórico com lados 3 , 4 , 5 .

Agora considere um triângulo cujos lados estão em uma progressão geométrica e deixe os lados serem a , ar , ar 2 . Então, a desigualdade do triângulo exige que

A primeira desigualdade requer um > 0 ; conseqüentemente, pode ser dividido e eliminado. Com a > 0 , a desigualdade do meio requer apenas r > 0 . Isso agora deixa a primeira e a terceira desigualdades precisando satisfazer

A primeira dessas desigualdades quadráticas requer r para variar na região além do valor da raiz positiva da equação quadrática r 2 + r - 1 = 0 , ou seja, r > φ - 1 onde φ é a razão áurea . A segunda desigualdade quadrática requer que r varie entre 0 e a raiz positiva da equação quadrática r 2 - r - 1 = 0 , ou seja, 0 < r < φ . Os requisitos combinados resultam em r sendo confinado ao intervalo

Quando r, a razão comum é escolhida de modo que r = φ, ela gera um triângulo retângulo que é sempre semelhante ao triângulo Kepler .

Generalização para qualquer polígono

A desigualdade do triângulo pode ser estendida por indução matemática a caminhos poligonais arbitrários, mostrando que o comprimento total de tal caminho não é menor que o comprimento da linha reta entre seus pontos finais. Consequentemente, o comprimento de qualquer lado do polígono é sempre menor que a soma dos outros comprimentos do lado do polígono.

Exemplo da desigualdade poligonal generalizada para um quadrilátero

Considere um quadrilátero cujos lados estão em uma progressão geométrica e sejam os lados a , ar , ar 2 , ar 3 . Então, a desigualdade poligonal generalizada requer que

Essas desigualdades para um > 0 se reduzem ao seguinte

Os polinômios do lado esquerdo dessas duas desigualdades têm raízes que são a constante tribonacci e sua recíproca. Consequentemente, r é limitado ao intervalo 1 / t < r < t, onde t é a constante tribonacci.

Relacionamento com os caminhos mais curtos

O comprimento do arco de uma curva é definido como o menor limite superior dos comprimentos das aproximações poligonais.

Esta generalização pode ser usada para provar que a curva mais curta entre dois pontos na geometria euclidiana é uma linha reta.

Nenhum caminho poligonal entre dois pontos é mais curto do que a linha entre eles. Isso implica que nenhuma curva pode ter um comprimento de arco menor que a distância entre seus pontos finais. Por definição, o comprimento do arco de uma curva é o menor limite superior dos comprimentos de todas as aproximações poligonais da curva. O resultado para caminhos poligonais mostra que a linha reta entre os pontos finais é a mais curta de todas as aproximações poligonais. Como o comprimento do arco da curva é maior ou igual ao comprimento de cada aproximação poligonal, a curva em si não pode ser menor do que o caminho da linha reta.

Conversar

O inverso do teorema da desigualdade do triângulo também é verdadeiro: se três números reais são tais que cada um é menor que a soma dos outros, então existe um triângulo com esses números em seus comprimentos laterais e com área positiva; e se um número é igual à soma dos outros dois, existe um triângulo degenerado (isto é, com área zero) com esses números como seus comprimentos laterais.

Em ambos os casos, se os comprimentos dos lados são a, b, c , podemos tentar colocar um triângulo no plano euclidiano, conforme mostrado no diagrama. Precisamos provar que existe um número real h consistente com os valores a, b e c , caso em que este triângulo existe.

Triângulo com altitude h base de corte c em d + ( c - d ) .

Pelo teorema de Pitágoras temos b 2 = h 2 + d 2 e a 2 = h 2 + ( c - d ) 2 conforme a figura à direita. Subtraindo esses rendimentos a 2 - b 2 = c 2 - 2 cd . Esta equação nos permite expressar d em termos dos lados do triângulo:

Para a altura do triângulo, temos que h 2 = b 2 - d 2 . Substituindo d pela fórmula dada acima, temos

Para que um número real h satisfaça isso, deve ser não negativo:

que é válido se a desigualdade do triângulo for satisfeita para todos os lados. Portanto, existe um número real h consistente com os lados a, b, c , e o triângulo existe. Se cada desigualdade do triângulo for estritamente , h > 0 e o triângulo não é degenerado (tem área positiva); mas se uma das desigualdades se mantém com igualdade, então h = 0, o triângulo é degenerado.

Generalização para dimensões superiores

A área de uma face triangular de um tetraedro é menor ou igual à soma das áreas das outras três faces triangulares. Mais geralmente, no espaço euclidiano a hiperárea de uma ( n - 1) - faceta de um n - simplex (ou seja, triângulo ( n = 2 ), tetraedro ( n = 3 ), pentatopo ( n = 4 ), etc.) é menor ou igual à soma das hiperáreas das outras n facetas. Assim como a desigualdade do triângulo generaliza para uma desigualdade poligonal - veja acima - a desigualdade para um simplex de qualquer dimensão generaliza para um politopo de qualquer dimensão: a hiperárea de qualquer faceta de um politopo é menor ou igual à soma das hiperáreas de as facetas restantes.

Observe que a desigualdade do triângulo nem sempre implica a desigualdade tetraédrica no seguinte sentido. Suponha que existam quatro pontos e que as distâncias aos pares entre eles sejam AB = BC = CA = 7 e AZ = BZ = CZ = 4 . Cada trinca desses pontos satisfaz a desigualdade do triângulo, mas acontece que os quatro pontos não podem ser os vértices de um tetraedro, neste caso com um triângulo equilátero 7-7-7 e três triângulos isósceles 7-4-4 como faces. Sabemos disso porque a desigualdade tetraédrica não é satisfeita: a área do triângulo ABC seria de aproximadamente 21,22 pela fórmula de Heron , e isso não é menos que a soma das áreas dos outros três triângulos, que são aproximadamente 6,78 cada pela fórmula de Heron .

Espaço vetorial normatizado

Desigualdade triangular para normas de vetores.

Em um espaço vetorial normado V , uma das propriedades definidoras da norma é a desigualdade do triângulo:

ou seja, a norma da soma de dois vetores é no máximo tão grande quanto a soma das normas dos dois vetores. Isso também é conhecido como subaditividade . Para que qualquer função proposta se comporte como uma norma, ela deve atender a esse requisito. Se o espaço normado for euclidiano , ou, mais geralmente, estritamente convexo , então se e somente se o triângulo formado por x , y e x + y , for degenerado, ou seja, x e y estão no mesmo raio, ou seja, x = 0 ou y = 0 , ou x = α y para algum α > 0 . Esta propriedade caracteriza espaços normados estritamente convexos, como os espaços p com 1 < p <∞ . No entanto, existem espaços normados em que isso não é verdade. Por exemplo, considerar o plano com o uma norma (a distância Manhattan ) e significam x = (1, 0) e y = (0, 1) . Então, o triângulo formado por x , y e x + y , não é degenerado, mas

Normas de exemplo

  • Valor absoluto como norma para a linha real . Para ser uma norma, a desigualdade do triângulo requer que o valor absoluto satisfaça para quaisquer números reais x e y :
    o que acontece.

Prova:

Depois de adicionar,

Use o fato de que (com b substituído por x + y e a por ), temos

A desigualdade do triângulo é útil na análise matemática para determinar a melhor estimativa superior do tamanho da soma de dois números, em termos dos tamanhos dos números individuais.

Há também uma estimativa mais baixa, que pode ser encontrada usando a desigualdade do triângulo reverso, que afirma que para quaisquer números reais x e y :

  • Produto interno como norma em um espaço de produto interno . Se a norma surge de um produto interno (como é o caso dos espaços euclidianos), então a desigualdade do triângulo segue a desigualdade de Cauchy-Schwarz como segue: Vetores dados e , denotando o produto interno como :
(pela desigualdade de Cauchy-Schwarz)
.

A desigualdade de Cauchy-Schwarz se transforma em igualdade se e somente se x e y são linearmente dependentes. A desigualdade se transforma em igualdade para linearmente dependente e se e somente se um dos vetores x ou y for um escalar não negativo do outro.

Tirar a raiz quadrada do resultado final dá a desigualdade do triângulo.
  • norma p : uma norma comumente usada é a normap:
    onde x i são os componentes do vetor x . Para p = 2, a norma p torna-se a norma euclidiana :
    que é o teorema de Pitágoras em n- dimensões, um caso muito especial que corresponde a uma norma interna de produto. Exceto para o caso p = 2 , a norma p não é uma norma de produto interno, porque não satisfaz a lei do paralelogramo . A desigualdade triangular para valores gerais de p é chamada de desigualdade de Minkowski . Tem a forma:

Espaço métrico

Em um espaço métrico M com métrica d , a desigualdade do triângulo é um requisito para a distância :

para todos os x , y , z em H . Ou seja, a distância de x a z é no máximo tão grande quanto a soma da distância de x a y e a distância de y a z .

A desigualdade do triângulo é responsável pela maior parte da estrutura interessante em um espaço métrico, a saber, a convergência. Isso ocorre porque os requisitos restantes para uma métrica são bastante simplistas em comparação. Por exemplo, o fato de que qualquer sequência convergente em um espaço métrico é uma sequência de Cauchy é uma consequência direta da desigualdade do triângulo, porque se escolhermos qualquer x n e x m tal que d ( x n , x ) < ε / 2 e d ( x m , x ) < ε / 2 , onde ε > 0 é dado e arbitrário (como na definição de um limite em um espaço métrico), então pela desigualdade do triângulo, d ( x n , x m ) ≤ d ( x n , x ) + d ( x m , x ) < ε / 2 + ε / 2 = ε , de modo que a sequência { x n } é uma sequência de Cauchy, por definição.

Esta versão da desigualdade do triângulo se reduz à declarada acima no caso de espaços vetoriais normados onde uma métrica é induzida via d ( x , y ) ≔ ‖ x - y , com x - y sendo o vetor apontando do ponto y para x .

Desigualdade de triângulo reverso

A desigualdade do triângulo reverso é uma consequência elementar da desigualdade do triângulo que fornece limites inferiores em vez de limites superiores. Para geometria plana, a afirmação é:

Qualquer lado de um triângulo é maior ou igual à diferença entre os outros dois lados .

No caso de um espaço vetorial normatizado, a afirmação é:

ou para espaços métricos, | d ( y , x ) - d ( x , z ) | ≤ d ( y , z ) . Isso implica que a norma , bem como a função de distância, são contínuas de Lipschitz com a constante de Lipschitz 1 e, portanto, são em particular uniformemente contínuas .

A prova para o triângulo reverso usa a desigualdade do triângulo regular e :

Combinar essas duas afirmações dá:

Inversão no espaço de Minkowski

A métrica espacial de Minkowski não é definida positivamente, o que significa que pode ter sinal ou desaparecer, mesmo se o vetor x for diferente de zero. Além disso, se x e y são ambos os vectores temporais que encontram-se no futuro cone de luz, a desigualdade triangular é invertida:

Um exemplo físico dessa desigualdade é o paradoxo dos gêmeos na relatividade especial . A mesma forma invertida da desigualdade se mantém se ambos os vetores estiverem no cone de luz passado e se um ou ambos forem vetores nulos. O resultado é válido em n + 1 dimensões para qualquer n ≥ 1. Se o plano definido por X e Y é de tipo espaço (e, por conseguinte, um subespaço euclidiana), em seguida, a desigualdade triangular habitual detém.

Veja também

Notas

Referências

links externos