Matriz triangular - Triangular matrix

Na disciplina matemática de álgebra linear , uma matriz triangular é um tipo especial de matriz quadrada . Uma matriz quadrada é chamada triangular inferior se todas as entradasacimadadiagonal principalforem zero. Da mesma forma, uma matriz quadrada é chamadatriangular superior se todas as entradasabaixodadiagonal principalforem zero.

Como as equações matriciais com matrizes triangulares são mais fáceis de resolver, elas são muito importantes na análise numérica . Pelo algoritmo de decomposição LU , uma matriz invertível pode ser escrita como o produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U se e somente se todas as suas principais secundárias forem diferentes de zero.

Descrição

Uma matriz da forma

é chamada de matriz triangular inferior ou matriz triangular esquerda e, analogamente, uma matriz da forma

é chamada de matriz triangular superior ou matriz triangular direita . Uma matriz inferior esquerda ou triangular é geralmente denotada com a variável L , e uma matriz triangular superior ou para a direita é geralmente denotada com a variável L ou R .

Uma matriz triangular superior e inferior é diagonal . Matrizes semelhantes a matrizes triangulares são chamadas de triangularizáveis .

Uma matriz não quadrada (ou às vezes qualquer) com zeros acima (abaixo) da diagonal é chamada de matriz trapezoidal inferior (superior). As entradas diferentes de zero têm a forma de um trapézio .

Exemplos

Esta matriz

é triangular superior e esta matriz

é triangular inferior.

Substituição para frente e para trás

Uma equação de matriz na forma ou é muito fácil de resolver por um processo iterativo denominado substituição direta para matrizes triangulares inferiores e analogamente substituição posterior para matrizes triangulares superiores. O processo é assim chamado porque para matrizes triangulares inferiores, primeiro calcula-se , depois substitui -se para a próxima equação a ser resolvida e repete-se até . Em uma matriz triangular superior, trabalha-se de trás para frente, primeiro computando , depois substituindo isso de volta na equação anterior para resolver e repetindo .

Observe que isso não requer a inversão da matriz.

Substituição para frente

A equação matricial L x = b pode ser escrita como um sistema de equações lineares

Observe que a primeira equação ( ) envolve apenas e, portanto, pode-se resolver diretamente. A segunda equação envolve apenas e , e portanto pode ser resolvida uma vez que se substitua no valor já resolvido por . Continuando desta forma, a -ésima equação envolve apenas , e pode-se resolver por usar os valores previamente resolvidos para .

As fórmulas resultantes são:

Uma equação de matriz com uma matriz triangular superior U pode ser resolvida de maneira análoga, apenas trabalhando para trás.

Formulários

A substituição direta é usada na inicialização financeira para construir uma curva de rendimento .

Propriedades

A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior e vice-versa.

Uma matriz simétrica e triangular é diagonal. De forma semelhante, uma matriz que é normal (significando A * A = AA * , onde A * é a transposta conjugada ) e triangular também é diagonal. Isso pode ser visto observando-se as entradas diagonais de A * A e AA * .

O determinante e o permanente de uma matriz triangular são iguais ao produto das entradas diagonais, como pode ser verificado por cálculo direto.

Na verdade, mais é verdade: os autovalores de uma matriz triangular são exatamente suas entradas diagonais. Além disso, cada valor próprio ocorre exactamente k vezes sobre a diagonal, onde k é a sua multiplicidade algébrica , isto é, a sua multiplicidade como uma raiz do polinomial característica de um . Em outras palavras, o polinômio característico de uma matriz triangular n × n A é exatamente

,

isto é, o polinômio de grau n único cujas raízes são as entradas diagonais de A (com multiplicidades). Para ver isso, observe que também é triangular e, portanto, seu determinante é o produto de suas entradas diagonais .

Formulários especiais

Matriz unitriangular

Se as entradas na diagonal principal de uma matriz triangular (superior ou inferior) forem todas 1, a matriz é chamada de unitriangular (superior ou inferior) .

Outros nomes usados para essas matrizes são unidade (superior ou inferior) triangular , ou muito raramente normed (superior ou inferior) triangular . No entanto, uma matriz triangular unitária não é igual à matriz unitária , e uma matriz triangular normada não tem nada a ver com a noção de norma de matriz .

Todas as matrizes unitriangulares finitas são unipotentes .

Matriz estritamente triangular

Se todas as entradas na diagonal principal de uma matriz triangular (superior ou inferior) também forem 0, a matriz será denominada estritamente triangular (superior ou inferior) .

Todas as matrizes finitas estritamente triangulares são nilpotentes .

Matriz triangular atômica

Uma matriz triangular atômica (superior ou inferior) é uma forma especial de matriz unitriangular, onde todos os elementos fora da diagonal são zero, exceto para as entradas em uma única coluna. Essa matriz também é chamada de matriz de Frobenius , matriz de Gauss ou matriz de transformação de Gauss .

Triangularisability

Uma matriz semelhante a uma matriz triangular é denominada triangularizável . Abstratamente, isso equivale a estabilizar uma bandeira : matrizes triangulares superiores são precisamente aquelas que preservam a bandeira padrão , que é dada pela base ordenada padrão e a bandeira resultante. Todas as bandeiras são conjugadas (já que o grupo linear geral age transitivamente nas bases), portanto, qualquer matriz que estabilize uma bandeira é semelhante àquela que estabiliza a bandeira padrão.

Qualquer matriz quadrada complexa é triangularizável. Na verdade, uma matriz A sobre um campo contendo todos os autovalores de A (por exemplo, qualquer matriz sobre um campo algebricamente fechado ) é semelhante a uma matriz triangular. Isso pode ser provado usando indução no fato de que A tem um autovetor, tomando o espaço quociente pelo autovetor e induzindo para mostrar que A estabiliza uma bandeira e, portanto, é triangularizável em relação a uma base para essa bandeira.

Uma declaração mais precisa é dada pelo teorema da forma normal de Jordan , que afirma que, nesta situação, A é semelhante a uma matriz triangular superior de uma forma muito particular. O resultado de triangularização mais simples é freqüentemente suficiente, entretanto, e em qualquer caso usado para provar o teorema da forma normal de Jordan.

No caso de matrizes complexas, é possível dizer mais sobre triangularização, a saber, que qualquer matriz quadrada A tem uma decomposição de Schur . Isso significa que A é unitariamente equivalente (isto é, semelhante, usando uma matriz unitária como mudança de base) a uma matriz triangular superior; isso segue tomando uma base hermitiana para a bandeira.

Triangularidade simultânea

Um conjunto de matrizes seriamsimultaneamente triangularizável se houver uma base sob a qual eles são todos triangulares superiores; equivalentemente, se eles são triangularizáveis ​​para cima por uma única matriz de similaridadeP.Esse conjunto de matrizes é mais facilmente compreendido considerando a álgebra de matrizes que ele gera, ou seja, todos os polinômios natriangularizabilidade Simultâneadenotadasignifica que esta álgebra é conjugada na subálgebra de Lie de matrizes triangulares superiores, e é equivalente a esta álgebra sendo uma subálgebra de Lie de uma subálgebra deBorel.

O resultado básico é que (sobre um campo algebraicamente fechado), as matrizes de comutação ou mais geralmente são triangularizáveis ​​simultaneamente. Isso pode ser provado mostrando primeiro que as matrizes de comutação têm um autovetor comum e, em seguida, induzindo na dimensão como antes. Isso foi comprovado por Frobenius, a partir de 1878 para um par pendular, conforme discutido em matrizes pendulares . Quanto a uma única matriz, sobre os números complexos, eles podem ser triangularizados por matrizes unitárias.

O fato de que as matrizes de comutação têm um autovetor comum pode ser interpretado como resultado do Nullstellensatz de Hilbert : matrizes de comutação formam uma álgebra comutativa sobre a qual pode ser interpretada como uma variedade no espaço afim k- dimensional e a existência de um autovalor (comum) ( e, portanto, um autovetor comum) corresponde a essa variedade tendo um ponto (sendo não vazio), que é o conteúdo do Nullstellensatz (fraco). Em termos algébricos, esses operadores correspondem a uma representação álgebra da álgebra polinomial em variáveis k .

Isso é generalizado pelo teorema de Lie , que mostra que qualquer representação de uma álgebra de Lie solucionável é simultaneamente triangularizável para cima, o caso de matrizes comutáveis ​​sendo o caso da álgebra de Lie abeliana, sendo abeliana a fortiori solucionável.

De forma mais geral e precisa, um conjunto de matrizes é simultaneamente triangularizável se e somente se a matriz for nilpotente para todos os polinômios p em k variáveis não comutáveis, onde é o comutador ; para pendurar, o comutador desaparece, então isso se mantém. Isso foi provado em ( Drazin, Dungey & Gruenberg 1951 ); uma breve prova é fornecida em ( Prasolov 1994 , pp. 178-179 ). Uma direção é clara: se as matrizes são simultaneamente triangularizáveis, então são estritamente triangularizáveis ​​para cima (portanto, nilpotente), que é preservada pela multiplicação por qualquer uma ou combinação delas - ela ainda terá 0s na diagonal na base de triangularização.

Álgebras de matrizes triangulares

Matrizes binárias inferiores unitriangulares de Toeplitz , multiplicadas usando operações F 2 . Eles formam a tabela Cayley de Z 4 e correspondem às potências da permutação do código Gray de 4 bits .

A triangularidade superior é preservada por muitas operações:

  • A soma de duas matrizes triangulares superiores é triangular superior.
  • O produto de duas matrizes triangulares superiores é triangular superior.
  • O inverso de uma matriz triangular superior, quando existente, é triangular superior.
  • O produto de uma matriz triangular superior e um escalar é triangular superior.

Juntos, esses fatos significam que as matrizes triangulares superiores formam uma subálgebra da álgebra associativa de matrizes quadradas para um determinado tamanho. Além disso, isso também mostra que as matrizes triangulares superiores podem ser vistas como uma subálgebra de Lie da álgebra de Lie de matrizes quadradas de tamanho fixo, onde o colchete de Lie [ a , b ] dado pelo comutador ab - ba . A álgebra de Lie de todas as matrizes triangulares superiores é uma álgebra de Lie solucionável . É frequentemente referido como uma subálgebra de Borel da álgebra de Lie de todas as matrizes quadradas.

Todos esses resultados são válidos se o triangular superior for substituído por triangular inferior por completo ; em particular, as matrizes triangulares inferiores também formam uma álgebra de Lie. No entanto, as operações que misturam matrizes triangulares superiores e inferiores não produzem, em geral, matrizes triangulares. Por exemplo, a soma de uma matriz triangular superior e inferior pode ser qualquer matriz; o produto de um triangular inferior com uma matriz triangular superior também não é necessariamente triangular.

O conjunto de matrizes unitriangulares forma um grupo de Lie .

O conjunto de matrizes triangulares estritamente superiores (ou inferiores) forma uma álgebra de Lie nilpotente , denotada. Esta álgebra é a álgebra de Lie derivada de , a álgebra de Lie de todas as matrizes triangulares superiores; em símbolos, além disso, é a álgebra de Lie do grupo de matrizes unitriangulares de Lie.

De fato, pelo teorema de Engel , qualquer álgebra de Lie nilpotente de dimensão finita é conjugada a uma subálgebra das matrizes triangulares estritamente superiores, ou seja, uma álgebra de Lie nilpotente de dimensão finita é simultaneamente estritamente triangularizável para cima.

Álgebras de matrizes triangulares superiores têm uma generalização natural na análise funcional que produz álgebras de ninho em espaços de Hilbert .

Subgrupos de Borel e subálgebras de Borel

O conjunto de matrizes triangulares invertíveis de um determinado tipo (superior ou inferior) forma um grupo , na verdade um grupo de Lie , que é um subgrupo do grupo linear geral de todas as matrizes invertíveis. Uma matriz triangular é invertível precisamente quando suas entradas diagonais são invertíveis (diferente de zero).

Sobre os números reais, este grupo é desconectado, tendo componentes correspondentes, pois cada entrada na diagonal é positiva ou negativa. O componente identidade são matrizes triangulares invertíveis com entradas positivas na diagonal, e o grupo de todas as matrizes triangulares invertíveis é um produto semidireto desse grupo e o grupo de matrizes diagonais com na diagonal, correspondendo às componentes.

A álgebra de Lie do grupo de Lie de matrizes triangulares superiores invertíveis é o conjunto de todas as matrizes triangulares superiores, não necessariamente invertíveis, e é uma álgebra de Lie solucionável . Estes são, respectivamente, o subgrupo B de Borel padrão do grupo de Lie GL n e a subálgebra de Borel padrão da álgebra de Lie gl n .

As matrizes triangulares superiores são precisamente aquelas que estabilizam a bandeira padrão . Os invertíveis entre eles formam um subgrupo do grupo linear geral, cujos subgrupos conjugados são aqueles definidos como o estabilizador de alguma (outra) bandeira completa. Esses subgrupos são subgrupos Borel . O grupo de matrizes triangulares inferiores invertíveis é esse subgrupo, uma vez que é o estabilizador da bandeira padrão associada à base padrão na ordem inversa.

O estabilizador de uma bandeira parcial obtido pelo esquecimento de algumas partes da bandeira padrão pode ser descrito como um conjunto de matrizes triangulares superiores de bloco (mas seus elementos não são todas matrizes triangulares). Os conjugados de tal grupo são os subgrupos definidos como estabilizadores de alguma bandeira parcial. Esses subgrupos são chamados de subgrupos parabólicos .

Exemplos

O grupo de matrizes unitriangulares superiores 2 × 2 é isomórfico ao grupo aditivo do campo dos escalares; no caso de números complexos, corresponde a um grupo formado por transformações parabólicas de Möbius ; as matrizes unitriangulares superiores 3 × 3 formam o grupo de Heisenberg .

Veja também

Referências

  • Axler, Sheldon (1996), Linear Algebra Done Right , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98258-2
  • Drazin, MP; Dungey, JW; Gruenberg, KW (1951), "Some teoremas on commutative matrices" , J. London Math. Soc. , 26 (3): 221-228, doi : 10.1112 / jlms / s1-26.3.221
  • Herstein, IN (1975), Topics in Algebra (2ª ed.), John Wiley and Sons, ISBN 0-471-01090-1
  • Prasolov, Viktor (1994), Problemas e teoremas em álgebra linear , ISBN 9780821802366