Trigonometria - Trigonometry

A trigonometria (do grego trigōnon , "triângulo" e metron , "medida") é um ramo da matemática que estuda as relações entre comprimentos laterais e ângulos de triângulos . O campo surgiu no mundo helenístico durante o século 3 aC a partir de aplicações da geometria aos estudos astronômicos . Os gregos se concentraram no cálculo de acordes , enquanto os matemáticos da Índia criaram as primeiras tabelas conhecidas de valores para proporções trigonométricas (também chamadas de funções trigonométricas ), como o seno .

Ao longo da história, a trigonometria foi aplicada em áreas como geodésia , levantamento topográfico , mecânica celeste e navegação .

A trigonometria é conhecida por suas muitas identidades . Essas identidades trigonométricas são comumente usadas para reescrever expressões trigonométricas com o objetivo de simplificar uma expressão, encontrar uma forma mais útil de uma expressão ou resolver uma equação .

História

Hipparchus , responsável por compilar a primeira tabela trigonométrica , foi descrito como "o pai da trigonometria".

Os astrônomos sumérios estudaram a medida do ângulo, usando uma divisão de círculos em 360 graus. Eles, e mais tarde os babilônios , estudaram as proporções dos lados de triângulos semelhantes e descobriram algumas propriedades dessas proporções, mas não transformaram isso em um método sistemático para encontrar lados e ângulos de triângulos. Os antigos núbios usavam um método semelhante.

No século 3 aC, matemáticos helenísticos como Euclides e Arquimedes estudaram as propriedades de acordes e ângulos inscritos em círculos e provaram teoremas que são equivalentes às fórmulas trigonométricas modernas, embora os apresentem geometricamente em vez de algebricamente. Em 140 aC, Hiparco (de Nicéia , Ásia Menor) deu as primeiras tabelas de acordes, análogas às tabelas modernas de valores de seno , e as usou para resolver problemas de trigonometria e trigonometria esférica . No século 2 dC, o astrônomo greco-egípcio Ptolomeu (de Alexandria, Egito) construiu tabelas trigonométricas detalhadas ( a tabela de acordes de Ptolomeu ) no Livro 1, capítulo 11 de seu Almagesto . Ptolomeu usou o comprimento do acorde para definir suas funções trigonométricas, uma pequena diferença da convenção seno que usamos hoje. (O valor que chamamos de sin (θ) pode ser encontrado procurando o comprimento da corda para o dobro do ângulo de interesse (2θ) na tabela de Ptolomeu e, em seguida, dividindo esse valor por dois.) Séculos se passaram antes que tabelas mais detalhadas fossem produzidas, e O tratado de Ptolomeu permaneceu em uso para realizar cálculos trigonométricos em astronomia ao longo dos próximos 1200 anos nos mundos medievais bizantino , islâmico e, mais tarde, na Europa Ocidental.

A convenção seno moderna é atestada pela primeira vez no Surya Siddhanta , e suas propriedades foram posteriormente documentadas pelo matemático e astrônomo indiano do século V (dC) Aryabhata . Essas obras gregas e indianas foram traduzidas e expandidas por matemáticos islâmicos medievais . No século 10, os matemáticos islâmicos estavam usando todas as seis funções trigonométricas, tabularam seus valores e os aplicaram a problemas de geometria esférica . O polímata persa Nasir al-Din al-Tusi foi descrito como o criador da trigonometria como uma disciplina matemática em seu próprio direito. Nasīr al-Dīn al-Tūsī foi o primeiro a tratar a trigonometria como uma disciplina matemática independente da astronomia e desenvolveu a trigonometria esférica em sua forma atual. Ele listou os seis casos distintos de um triângulo retângulo em trigonometria esférica e em seu On the Sector Figure , ele declarou a lei dos senos para triângulos planos e esféricos, descobriu a lei das tangentes para triângulos esféricos e forneceu provas para ambos essas leis. O conhecimento das funções e métodos trigonométricos alcançou a Europa Ocidental por meio de traduções latinas do Almagesto grego de Ptolomeu, bem como das obras de astrônomos persas e árabes como Al Battani e Nasir al-Din al-Tusi . Um dos primeiros trabalhos sobre trigonometria de um matemático do norte da Europa é De Triangulis , do matemático alemão do século 15 Regiomontanus , que foi encorajado a escrever e recebeu uma cópia do Almagesto do cardeal estudioso grego bizantino Basilios Bessarion com quem viveu por muitos anos. Ao mesmo tempo, outra tradução do Almagesto do grego para o latim foi concluída pelo cretense Jorge de Trebizonda . A trigonometria ainda era tão pouco conhecida no norte da Europa do século 16 que Nicolaus Copernicus dedicou dois capítulos do De revolutionibus orbium coelestium para explicar seus conceitos básicos.

Impulsionada pelas demandas de navegação e pela necessidade crescente de mapas precisos de grandes áreas geográficas, a trigonometria tornou-se um importante ramo da matemática. Bartholomaeus Pitiscus foi o primeiro a usar a palavra, publicando seu Trigonometria em 1595. Gemma Frisius descreveu pela primeira vez o método de triangulação usado ainda hoje em topografia. Foi Leonhard Euler quem incorporou totalmente os números complexos à trigonometria. Os trabalhos dos matemáticos escoceses James Gregory no século 17 e Colin Maclaurin no século 18 foram influentes no desenvolvimento de séries trigonométricas . Também no século 18, Brook Taylor definiu a série geral de Taylor .

Razões trigonométricas

Neste triângulo retângulo: sin A = a / c ; cos A = b / c ; tan A = a / b .

As proporções trigonométricas são as proporções entre as arestas de um triângulo retângulo. Essas relações são dadas pelas seguintes funções trigonométricas do ângulo conhecido A , onde a , b e c se referem aos comprimentos dos lados na figura a seguir :

  • Função seno (sin), definida como a razão entre o lado oposto ao ângulo e a hipotenusa .
  • Função cosseno (cos), definida como a proporção daperna adjacente (o lado do triângulo que une o ângulo ao ângulo reto) para a hipotenusa.
  • Função tangente (tan), definida como a proporção da perna oposta para a perna adjacente.

A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90 graus em um triângulo retângulo; é o lado mais comprido do triângulo e um dos dois lados adjacentes ao ângulo A . A perna adjacente é o outro lado que é adjacente ao ângulo A . O lado oposto é o lado que é oposto ao ângulo A . Os termos perpendicular e base às vezes são usados ​​para os lados opostos e adjacentes, respectivamente. Veja abaixo em Mnemônicos .

Desde quaisquer dois triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo A são semelhantes , o valor de uma relação trigonométrica depende apenas do ângulo A .

Os recíprocos dessas funções são chamados de cossecante (csc), secante (sec) e cotangente (cot), respectivamente:

O cosseno, a cotangente e a cossecante são assim chamados porque são, respectivamente, o seno, a tangente e a secante do ângulo complementar abreviado para "co-".

Com essas funções, pode-se responder virtualmente a todas as questões sobre triângulos arbitrários usando a lei dos senos e a lei dos cossenos . Essas leis podem ser usadas para calcular os ângulos e lados restantes de qualquer triângulo assim que dois lados e seus ângulos incluídos ou dois ângulos e um lado ou três lados sejam conhecidos.

Mnemônicos

Um uso comum de mnemônicos é lembrar fatos e relações na trigonometria. Por exemplo, as relações de seno , cosseno e tangente em um triângulo retângulo podem ser lembradas, representando-os e seus lados correspondentes como sequências de letras. Por exemplo, um mnemônico é SOH-CAH-TOA:

S ine = O pposite ÷ H ypotenuse
C osine = A adjacente ÷ H ypotenuse
T angente = O pposite ÷ A adjacente

Uma maneira de se lembrar das cartas é soar los foneticamente (isto é, SOH-CAH-TOA , que é pronunciada 'so-ka toe Uh' / s k ul t ə / ). Outro método é expandir as letras em uma frase, como " S ome O ld H ippie C aught A nother H ippie T rippin ' O n A cid".

O círculo unitário e os valores trigonométricos comuns

Fig. 1a - Seno e cosseno de um ângulo θ definido pelo círculo unitário.

As razões trigonométricas também podem ser representadas usando o círculo unitário , que é o círculo de raio 1 centrado na origem no plano. Nesta configuração, o lado terminal de um ângulo A colocado na posição padrão cruzará o círculo unitário em um ponto (x, y), onde e . Essa representação permite o cálculo de valores trigonométricos comumente encontrados, como os da tabela a seguir:

Função 0
seno
cosseno
tangente Indefinido
secante Indefinido
cossecante Indefinido Indefinido
co-tangente Indefinido Indefinido

Funções trigonométricas de variáveis ​​reais ou complexas

Usando o círculo unitário , pode-se estender as definições das razões trigonométricas para todos os argumentos positivos e negativos (ver função trigonométrica ).

Gráficos de funções trigonométricas

A tabela a seguir resume as propriedades dos gráficos das seis funções trigonométricas principais:

Função Período Domínio Faixa Gráfico
seno Sine one period.svg
cosseno Cosine one period.svg
tangente Tangent-plot.svg
secante Secant.svg
cossecante Cosecant.svg
co-tangente Cotangent.svg

Funções trigonométricas inversas

Como as seis funções trigonométricas principais são periódicas, elas não são injetivas (ou, 1 para 1) e, portanto, não são invertíveis. Ao restringir o domínio de uma função trigonométrica, no entanto, eles podem ser invertidos.

Os nomes das funções trigonométricas inversas, juntamente com seus domínios e alcance, podem ser encontrados na tabela a seguir:

Nome Notação usual Definição Domínio de x para resultado real Faixa de valor principal usual
( radianos )
Faixa de valor principal usual
( graus )
arco seno y = arcsin ( x ) x = sin ( y ) −1 ≤ x ≤ 1 - π/2yπ/2 −90 ° ≤ y ≤ 90 °
arco-cosseno y = arccos ( x ) x = cos ( y ) −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ yπ 0 ° ≤ y ≤ 180 °
arco tangente y = arctan ( x ) x = tan ( y ) todos os números reais -π/2< y <π/2 −90 ° < y <90 °
arccotangent y = arccot ​​( x ) x = cot ( y ) todos os números reais 0 < y < π 0 ° < y <180 °
arco secante y = arcsec ( x ) x = seg ( y ) x ≤ −1 ou 1 ≤ x 0 ≤ y <π/2 ou π/2< yπ 0 ° ≤ y <90 ° ou 90 ° < y ≤ 180 °
arccossecante y = arccsc ( x ) x = csc ( y ) x ≤ −1 ou 1 ≤ x -π/2y <0 ou 0 < yπ/2 −90 ° ≤ y <0 ° ou 0 ° < y ≤ 90 °

Representações de séries de potências

Quando consideradas funções de uma variável real, as razões trigonométricas podem ser representadas por uma série infinita . Por exemplo, seno e cosseno têm as seguintes representações:

Com essas definições, as funções trigonométricas podem ser definidas para números complexos . Quando estendido como funções de variáveis ​​reais ou complexas, a seguinte fórmula vale para o exponencial complexo:

Esta função exponencial complexa, escrita em termos de funções trigonométricas, é particularmente útil.

Calculando funções trigonométricas

As funções trigonométricas estavam entre os primeiros usos para tabelas matemáticas . Essas tabelas foram incorporadas em livros de matemática e os alunos foram ensinados a procurar valores e como interpolar entre os valores listados para obter maior precisão. As réguas de cálculo tinham escalas especiais para funções trigonométricas.

As calculadoras científicas têm botões para calcular as principais funções trigonométricas (sen, cos, tan e, às vezes, cis e seus inversos). A maioria permite a escolha de métodos de medição de ângulo: graus , radianos e, às vezes, grados . A maioria das linguagens de programação de computador fornece bibliotecas de funções que incluem as funções trigonométricas. O hardware da unidade de ponto flutuante incorporado aos chips microprocessadores usados ​​na maioria dos computadores pessoais tem instruções integradas para calcular as funções trigonométricas.

Outras funções trigonométricas

Além das seis proporções listadas anteriormente, existem funções trigonométricas adicionais que foram historicamente importantes, embora raramente usadas hoje. Isso inclui o acorde ( crd ( θ ) = 2 sin (θ/2) ), a versina ( versin ( θ ) = 1 - cos ( θ ) = 2 sen 2 (θ/2) ) (que apareceu nas primeiras tabelas), o coversine ( coversin ( θ ) = 1 - sin ( θ ) = versin (π/2- θ ) ), o haversine ( haversin ( θ ) =1/2versin ( θ ) = sin 2 (θ/2) ), o exsecante ( exsec ( θ ) = sec ( θ ) - 1 ), e o exsecante ( excsc ( θ ) = exsec (π/2- θ ) = csc ( θ ) - 1 ). Consulte Lista de identidades trigonométricas para obter mais relações entre essas funções.

Formulários

Astronomia

Durante séculos, a trigonometria esférica foi usada para localizar posições solares, lunares e estelares, prever eclipses e descrever as órbitas dos planetas.

Nos tempos modernos, a técnica de triangulação é usada em astronomia para medir a distância a estrelas próximas, bem como em sistemas de navegação por satélite .

Navegação

Sextantes são usados ​​para medir o ângulo do sol ou das estrelas em relação ao horizonte. Usando trigonometria e um cronômetro marinho , a posição do navio pode ser determinada a partir de tais medições.

Historicamente, a trigonometria tem sido usada para localizar latitudes e longitudes de embarcações à vela, traçar cursos e calcular distâncias durante a navegação.

A trigonometria ainda é usada na navegação por meios como o Sistema de Posicionamento Global e inteligência artificial para veículos autônomos .

Topografia

No levantamento topográfico , a trigonometria é usada no cálculo de comprimentos, áreas e ângulos relativos entre objetos.

Em uma escala maior, a trigonometria é usada em geografia para medir distâncias entre marcos.

Funções periódicas

Função (em vermelho) é a soma de seis funções senoidais de diferentes amplitudes e frequências relacionadas harmonicamente. Seu somatório é chamado de série de Fourier. A transformada de Fourier, (em azul), que representa amplitude vs frequência , revela as 6 frequências ( em harmônicos ímpares ) e suas amplitudes ( 1 / número ímpar ).

As funções seno e cosseno são fundamentais para a teoria das funções periódicas , como aquelas que descrevem as ondas sonoras e luminosas . Fourier descobriu que cada contínua , função periódica poderia ser descrito como uma soma infinita das funções trigonométricas.

Mesmo funções não periódicas podem ser representadas como uma integral de senos e cossenos por meio da transformada de Fourier . Isso tem aplicações em mecânica quântica e comunicações , entre outros campos.

Óptica e acústica

A trigonometria é útil em muitas ciências físicas , incluindo acústica e óptica . Nessas áreas, eles são usados ​​para descrever ondas de som e luz e para resolver problemas relacionados a limites e transmissão.

Outras aplicações

Outros campos que usam trigonometria ou funções trigonométricas incluem teoria musical , geodésia , síntese de áudio , arquitetura , eletrônica , biologia , imagens médicas ( tomografias computadorizadas e ultrassom ), química , teoria dos números (e, portanto, criptologia ), sismologia , meteorologia , oceanografia , compressão de imagem , fonética , economia , engenharia elétrica , engenharia mecânica , engenharia civil , computação gráfica , cartografia , cristalografia e de desenvolvimento de jogos .

Identidades

Triângulo com lados a , b , ce , respectivamente, ângulos opostos A , B , C

A trigonometria é conhecida por suas muitas identidades, ou seja, equações que são verdadeiras para todas as entradas possíveis.

As identidades envolvendo apenas ângulos são conhecidas como identidades trigonométricas . Outras equações, conhecidas como identidades de triângulo , relacionam os lados e os ângulos de um determinado triângulo.

Identidades triangulares

Nos seguintes identidades, A , B e C são os ângulos de um triângulo e um , b e c são os comprimentos dos lados do triângulo em frente aos respectivos ângulos (como mostrado no diagrama).

Lei dos senos

A lei dos senos (também conhecida como "regra dos senos") para os estados de um triângulo arbitrário:

onde é a área do triângulo e R é o raio do círculo circunscrito do triângulo:

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos (conhecida como fórmula do cosseno ou "regra do cos") é uma extensão do teorema de Pitágoras para triângulos arbitrários:

ou equivalente:

Lei das tangentes

A lei das tangentes , desenvolvida por François Viète , é uma alternativa à Lei dos Cossenos na resolução de arestas desconhecidas de um triângulo, fornecendo cálculos mais simples ao usar tabelas trigonométricas. É dado por:

Área

Dados dois lados um e b e o ângulo entre os lados C , a área do triângulo é dada por metade do produto dos comprimentos dos dois lados e o seno do ângulo entre os dois lados:

A fórmula de Heron é outro método que pode ser usado para calcular a área de um triângulo. Esta fórmula afirma que se um triângulo tem lados de comprimentos a , b e c , e se o semiperímetro é

então a área do triângulo é:

,

onde R é o raio da circunferência do triângulo.

Identidades trigonométricas

Identidades pitagóricas

As seguintes identidades trigonométricas estão relacionadas ao teorema de Pitágoras e são válidas para qualquer valor:


A segunda e a terceira equações são derivadas da divisão da primeira equação por e , respectivamente.

Fórmula de Euler

A fórmula de Euler , que afirma que , produz as seguintes identidades analíticas para seno, cosseno e tangente em termos de e e da unidade imaginária i :

Outras identidades trigonométricas

Outras identidades trigonométricas comumente usadas incluem as identidades de meio ângulo, a soma dos ângulos e as identidades de diferença, e as identidades do produto para a soma.

Veja também

Referências

Bibliografia

Leitura adicional

links externos