Trissecção angular - Angle trisection

Os ângulos podem ser trissetados por meio de uma construção neusis usando ferramentas além de uma régua não marcada e uma bússola. O exemplo mostra a trissecção de qualquer ângulo θ> /4por uma régua com comprimento igual ao raio do círculo, dando ângulo trissecionado φ =θ/3.

A trissecção angular é um problema clássico de construção de régua e compasso da matemática grega antiga . Trata-se da construção de um ângulo igual a um terço de um determinado ângulo arbitrário, usando apenas duas ferramentas: uma régua não marcada e uma bússola .

Pierre Wantzel provou em 1837 que o problema, como afirmado, é impossível de resolver por ângulos arbitrários. No entanto, embora não haja como trissecionar um ângulo em geral apenas com uma bússola e uma régua, alguns ângulos especiais podem ser trissecionados. Por exemplo, é relativamente simples trissecionar um ângulo reto (ou seja, construir um ângulo de 30 graus).

É possível trissecionar um ângulo arbitrário usando outras ferramentas além de régua e compasso. Por exemplo, a construção neusis , também conhecida pelos gregos antigos, envolve deslizamento e rotação simultâneos de uma régua marcada, o que não pode ser alcançado com as ferramentas originais. Outras técnicas foram desenvolvidas por matemáticos ao longo dos séculos.

Por ser definido em termos simples, mas complexo para se provar insolúvel, o problema da trissecção do ângulo é um assunto frequente de tentativas pseudomatemáticas de solução por entusiastas ingênuos. Essas "soluções" geralmente envolvem interpretações equivocadas das regras ou são simplesmente incorretas.

Histórico e declaração do problema

A bissecção de ângulos arbitrários foi há muito resolvida.

Usando apenas uma régua não marcada e um compasso, os matemáticos gregos encontraram meios para dividir uma linha em um conjunto arbitrário de segmentos iguais, para desenhar linhas paralelas , para dividir ângulos , para construir muitos polígonos e construir quadrados iguais ou duas vezes a área de um determinado polígono.

Três problemas se mostraram elusivos, especificamente, a trissecção do ângulo, a duplicação do cubo e a quadratura do círculo . O problema da trissecção do ângulo é:

Construa um ângulo igual a um terço de um determinado ângulo arbitrário (ou divida-o em três ângulos iguais), usando apenas duas ferramentas:

  1. uma régua não marcada, e
  2. um compasso.

Prova de impossibilidade

Governantes . Os exibidos são marcados - uma régua ideal não está marcada
Bússolas

Pierre Wantzel publicou uma prova da impossibilidade de trissecar classicamente um ângulo arbitrário em 1837. A prova de Wantzel, reafirmada na terminologia moderna, usa o conceito de extensões de campo , um tópico agora tipicamente combinado com a teoria de Galois . No entanto, Wantzel publicou esses resultados antes de Évariste Galois (cuja obra, escrita em 1830, foi publicada apenas em 1846) e não utilizou os conceitos introduzidos por Galois.

O problema de construir um ângulo de uma dada medida θ é equivalente a construir dois segmentos de modo que a razão de seu comprimento seja cos  θ . De uma solução para um desses dois problemas, um pode passar à solução do outro por uma construção de compasso e régua. A fórmula do ângulo triplo fornece uma expressão que relaciona os cossenos do ângulo original e sua trissecção: cos  θ  =  4 cos 3 θ/3 - 3 cos θ/3.

Segue-se que, dado um segmento que é definido como tendo comprimento unitário, o problema da trissecção angular é equivalente a construir um segmento cujo comprimento é a raiz de um polinômio cúbico . Essa equivalência reduz o problema geométrico original a um problema puramente algébrico.

Todo número racional é construtível. Cada número irracional que é construtível em uma única etapa a partir de alguns números dados é uma raiz de um polinômio de grau 2 com coeficientes no campo gerados por esses números. Portanto, qualquer número que seja construtível por uma sequência de etapas é a raiz de um polinômio mínimo cujo grau é uma potência de dois . O ânguloπ/3 radianos (60 graus , escritos em 60 °) são construtíveis . O argumento abaixo mostra que é impossível construir um ângulo de 20 °. Isso implica que um ângulo de 60 ° não pode ser trissecionado e, portanto, um ângulo arbitrário não pode ser trissecionado.

Denotar o conjunto de números racionais por Q . Se 60 ° pudesse ser trissecionado, o grau de um polinômio mínimo de cos 20 ° sobre Q seria uma potência de dois. Agora, seja x = cos 20 ° . Observe que cos 60 ° = cosπ/3 = 1/2. Então, pela fórmula do ângulo triplo, cosπ/3= 4 x 3 - 3 x e assim 4 x 3 - 3 x =1/2. Assim, 8 x 3 - 6 x - 1 = 0 . Defina p ( t ) como o polinômio p ( t ) = 8 t 3 - 6 t - 1 .

Como x = cos 20 ° é a raiz de p ( t ) , o polinômio mínimo para cos 20 ° é um fator de p ( t ) . Como p ( t ) tem grau 3, se for redutível por Q, então tem uma raiz racional . Pelo teorema da raiz racional , essa raiz deve ser ± 1, ±1/2, ±1/4ou ±1/8, mas nenhum deles é uma raiz. Portanto, p ( t ) é irredutível por Q , e o polinômio mínimo para cos 20 ° é de grau  3 .

Portanto, um ângulo de medida de 60 ° não pode ser trissecionado.

Ângulos que podem ser trissetados

No entanto, alguns ângulos podem ser trissecionados. Por exemplo, para qualquer ângulo construtível θ , um ângulo de medida 3 θ pode ser trissecado trivialmente, ignorando o ângulo dado e construindo diretamente um ângulo de medida θ . Existem ângulos que não são construtíveis, mas são trissecíveis (apesar do próprio ângulo de um terço não ser construtível). Por exemplo,3 π/7 é esse ângulo: cinco ângulos de medida 3 π/7 combine para fazer um ângulo de medida 15 π/7, que é um círculo completo mais o desejado π/7.

Para um número inteiro positivo N , um ângulo de medida2 π/Né trisectible se e somente se 3 não se divide N . Em contraste,2 π/Né construtível se e somente se N for uma potência de 2 ou o produto de uma potência de 2 com o produto de um ou mais primos de Fermat distintos .

Caracterização algébrica

Mais uma vez, denotar o conjunto de números racionais por Q .

Teorema : Um ângulo de medida θ pode ser trissecionado se e somente se q ( t ) = 4 t 3 - 3 t - cos ( θ ) é redutível sobre a extensão de campo Q (cos ( θ )) .

A prova é uma generalização relativamente direta da prova dada acima de que um ângulo de 60 ° não é trissecível.

Outros métodos

O problema geral de trissecção angular pode ser resolvido com o uso de ferramentas adicionais e, portanto, saindo da estrutura grega original de bússola e régua.

Muitos métodos incorretos de trissecção do ângulo geral foram propostos. Alguns desses métodos fornecem aproximações razoáveis; outros (alguns dos quais são mencionados abaixo) envolvem ferramentas não permitidas no problema clássico. O matemático Underwood Dudley detalhou algumas dessas tentativas fracassadas em seu livro The Trisectors .

Aproximação por bissecções sucessivas

A trissecção pode ser aproximada pela repetição do método da bússola e da régua para dividir um ângulo ao meio. A série geométrica1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256+ ⋯ ou1/3 = 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16+ ⋯ pode ser usado como base para as bissecções. Uma aproximação de qualquer grau de precisão pode ser obtida em um número finito de etapas.

Usando origami

A trissecção, como muitas construções impossíveis pela régua e compasso, pode ser facilmente realizada pelas operações de dobragem de papel ou origami . Os axiomas de Huzita (tipos de operações de dobra) podem construir extensões cúbicas (raízes cúbicas) de comprimentos dados, enquanto a régua e compasso podem construir apenas extensões quadráticas (raízes quadradas).

Usando uma ligação

Sylvester's Link Fan

Há uma série de ligações simples que podem ser usadas para fazer um instrumento para trissectar ângulos, incluindo o Trissetor de Kempe e o Ventilador de Link de Sylvester ou Isoklinostat.

Com uma régua triangular direita

Trissecção de um ângulo de Bieberbach (em azul) por meio de uma régua triangular direita (em vermelho)

Em 1932, Ludwig Bieberbach publicou no Journal für die reine und angewandte Mathematik sua obra Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen . Ele afirma aí (tradução livre):

" Como se sabe ... toda construção cúbica pode ser remontada à trissecção do ângulo e à multiplicação do cubo, ou seja, a extração da terceira raiz. Só preciso mostrar como essas duas tarefas clássicas podem ser resolvido por meio do gancho em ângulo reto. "

A construção começa com o desenho de um círculo que passa pelo vértice P do ângulo a ser trissecionado, centrado em A em uma aresta desse ângulo, e tendo B como sua segunda interseção com a aresta. Um círculo centrado em P e dos mesmos intersecta o raio da linha que suporta o bordo em uma e ó .

Agora, a régua triangular direita é colocada no desenho da seguinte maneira: uma perna de seu ângulo reto passa por O ; o vértice do seu ângulo direito é colocado num ponto S na linha de PC de tal maneira que a segunda perna da régua é tangente em E para o círculo centrado em A . Segue-se que o ângulo original é trisected pela linha PE , e a linha de PD perpendicular ao SE e passando por P . Essa linha pode ser desenhada usando novamente a régua triangular direita ou usando uma construção tradicional de régua e compasso . Com uma construção semelhante, pode-se melhorar a localização de E , usando que é a intersecção da linha de SE e a sua passagem perpendicular através de um .

Prova: Tem-se que provar as igualdades dos ângulos e as três linhas OS , PD e AE são paralelas. Como os segmentos de linha OP e PA são iguais, essas três linhas paralelas delimitam dois segmentos iguais em todas as outras linhas secantes e, em particular, em sua perpendicular comum SE . Assim, SD ' = D ' E , onde D ' é a interseção das linhas PD e SE . Conclui-se que os triângulos retângulos PD ' S e PD ' E são congruentes e, portanto, a primeira igualdade desejada. Por outro lado, o triângulo PAE é isósceles , uma vez que todos os raios de um círculo são iguais; isso implica que Um também o fez, uma vez que esses dois ângulos são ângulos alternados de uma transversal a duas linhas paralelas. Isso prova a segunda igualdade desejada e, portanto, a correção da construção.

Com uma curva auxiliar

Existem certas curvas chamadas trisectrices que, se desenhadas no plano usando outros métodos, podem ser usadas para trissecionar ângulos arbitrários. Os exemplos incluem a trisectrix de Colin Maclaurin , dada em coordenadas cartesianas pela equação implícita

e a espiral de Arquimedes . A espiral pode, de fato, ser usada para dividir um ângulo em qualquer número de partes iguais.

Com uma régua marcada

Trissecção do ângulo usando régua marcada

Outro meio de trissecionar um ângulo arbitrário por um "pequeno" passo fora da estrutura grega é por meio de uma régua com duas marcas separadas por uma distância definida. A próxima construção deve-se originalmente a Arquimedes , denominada construção Neusis , ou seja, que utiliza outras ferramentas que não uma régua não marcada . Os diagramas que usamos mostram essa construção para um ângulo agudo, mas realmente funciona para qualquer ângulo de até 180 graus.

Isso requer três fatos da geometria (à direita):

  1. Qualquer conjunto completo de ângulos em uma linha reta soma 180 °,
  2. A soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180 °, e ,
  3. Quaisquer dois lados iguais de um triângulo isósceles irá satisfazer o terceiro no mesmo ângulo .

Seja l a linha horizontal no diagrama adjacente. O ângulo a (à esquerda do ponto B ) está sujeito à trissecção. Em primeiro lugar, um ponto A é desenhada em ângulo de um raio , uma unidade para além de B . Um círculo de raio AB é desenhado. Então, condição marcada do governante entra em jogo: uma marca da régua é colocada em um e outro no B . Enquanto mantém a régua (mas não a marca) tocando em A , a régua é deslizada e girada até que uma marca esteja no círculo e a outra na linha l . A marca no círculo é rotulado C e a marca na linha é marcada D . Isso garante que CD = AB . Um raio BC é desenhado para tornar óbvio que os segmentos de linha AB , BC e CD têm comprimentos iguais. Agora, os triângulos ABC e BCD são isósceles , portanto (pelo Fato 3 acima) cada um tem dois ângulos iguais.

Hipótese : Dado que AD é uma linha reta, e AB , BC e CD têm comprimento igual,

Conclusão : ângulo b =uma/3.

Prova :

  1. Do fato 1) acima, °.
  2. Olhando para o triângulo BCD , do Fato 2) °.
  3. Das duas últimas equações ,.
  4. Do Fato 2), °, portanto ° , portanto, do último, ° .
  5. Do Fato 1) acima, °, portanto ° °.

Limpando, a - 3 b = 0 , ou a = 3 b , e o teorema está provado .

Novamente, esta construção saiu da estrutura de construções permitidas usando uma régua marcada.

Com um barbante

Thomas Hutcheson publicou um artigo no Mathematics Teacher que usava uma corda em vez de um compasso e uma régua. Um barbante pode ser usado tanto como régua (esticando-o) quanto como bússola (fixando um ponto e identificando outro), mas também pode envolver um cilindro, a chave para a solução de Hutcheson.

Hutcheson construiu um cilindro a partir do ângulo a ser trissecado, desenhando um arco através do ângulo, completando-o como um círculo e construindo a partir desse círculo um cilindro no qual um, digamos, triângulo equilátero foi inscrito (um ângulo de 360 ​​graus dividido em três ) Este foi então "mapeado" no ângulo a ser trisseccionado, com uma prova simples de triângulos semelhantes.

Com uma "machadinha"

Uma machadinha cortando um ângulo. A machadinha é formada pelas linhas grossas e pelo semicírculo sombreado.

Uma " machadinha " é uma forma geométrica que consiste em um semicírculo e dois segmentos de linha ortogonais, de modo que o comprimento do segmento mais curto é igual ao raio do círculo. A trissecção é executada inclinando a extremidade do segmento mais curto da machadinha em um raio, a borda do círculo no outro, de modo que a "alça" (segmento mais longo) cruze o vértice do ângulo; a linha de trissecção passa entre o vértice e o centro do semicírculo.

Embora uma machadinha possa ser construída com bússola e régua, geralmente não é possível construir uma machadinha em qualquer posição desejada. Assim, a construção acima não contradiz a intrisectibilidade dos ângulos apenas com régua e compasso.

Como uma machadinha pode ser usada como um quadrado definido , também pode ser usada para ângulos de trissecção pelo método descrito em § Com uma régua triangular direita .

A machadinha produz o mesmo efeito geométrico que o método de dobra de papel: a distância entre o centro do círculo e a ponta do segmento mais curto é o dobro da distância do raio, que é garantido para entrar em contato com o ângulo. Também é equivalente ao uso de um arquiteto L-Ruler ( Praça do Carpinteiro ).

Com bússolas interconectadas

Um ângulo pode ser trissecionado com um dispositivo que é essencialmente uma versão de quatro pontas de uma bússola, com ligações entre as pontas projetadas para manter iguais os três ângulos entre as pontas adjacentes.

Usos da trissecção angular

Uma animação de uma construção neusis de um heptágono com raio de circunferência , baseado em Andrew M. Gleason , usando trissecção angular por meio de machadinha

Uma equação cúbica com coeficientes reais pode ser resolvida geometricamente com compasso, régua e um trissetor de ângulo se e somente se tiver três raízes reais .

Um polígono regular com n lados pode ser construído com régua, compasso e trissetor de ângulo se e somente se onde r, s, k ≥ 0 e onde p i são primos distintos maiores que 3 da forma (ou seja, Pierpont primos maiores que 3 )

Generalização

Para qualquer número inteiro diferente de zero N , um ângulo de medida 2 πN radianos pode ser dividido em n partes iguais com régua e compasso se e somente se n for uma potência de 2 ou uma potência de 2 multiplicada pelo produto de um ou primos Fermat mais distintas, nenhum dos quais divide N . No caso de trissecção ( n = 3 , que é um primo de Fermat), essa condição torna-se o requisito mencionado acima de que N não seja divisível por 3 .

Veja também

Referências

Leitura adicional

  • Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, O que é matemática ?: uma abordagem elementar para idéias e métodos , Oxford University Press US, 1996. ISBN  978-0-19-510519-3 .

links externos

Outros meios de trissecção