Paradoxo gêmeo - Twin paradox

Na física, o paradoxo dos gêmeos é um experimento mental na relatividade especial envolvendo gêmeos idênticos, um dos quais faz uma viagem ao espaço em um foguete de alta velocidade e retorna para casa para descobrir que o gêmeo que permaneceu na Terra envelheceu mais. Esse resultado parece intrigante porque cada gêmeo vê o outro gêmeo em movimento e, portanto, como consequência de uma aplicação incorreta e ingênua da dilatação do tempo e do princípio da relatividade , cada um deve paradoxalmente descobrir que o outro envelheceu menos. No entanto, esse cenário pode ser resolvido dentro da estrutura padrão da relatividade especial: a trajetória do gêmeo viajante envolve duas estruturas inerciais diferentes , uma para a jornada de ida e outra para a jornada de volta. Outra maneira de ver isso é perceber que o gêmeo viajante está em aceleração , o que o torna um observador não inercial. Em ambas as vistas, não há simetria entre os caminhos do espaço-tempo dos gêmeos. Portanto, o paradoxo dos gêmeos não é um paradoxo no sentido de uma contradição lógica.

Começando com Paul Langevin em 1911, houve várias explicações para esse paradoxo. Essas explicações "podem ser agrupadas entre aquelas que enfocam o efeito de diferentes padrões de simultaneidade em diferentes quadros, e aquelas que designam a aceleração [experimentada pelo gêmeo viajante] como o principal motivo". Max von Laue argumentou em 1913 que, uma vez que o gêmeo viajante deve estar em duas estruturas inerciais separadas, uma na saída e outra na volta, essa mudança de estrutura é a razão para a diferença de envelhecimento. As explicações apresentadas por Albert Einstein e Max Born invocaram a dilatação do tempo gravitacional para explicar o envelhecimento como um efeito direto da aceleração. No entanto, foi comprovado que nem a relatividade geral, nem mesmo a aceleração, são necessárias para explicar o efeito, já que o efeito ainda se aplica a um observador teórico que pode inverter a direção do movimento instantaneamente, mantendo a velocidade constante em todas as duas fases do viagem. Esse observador pode ser pensado como um par de observadores, um viajando para longe do ponto de partida e outro viajando em direção a ele, passando um pelo outro onde seria o ponto de virada. Nesse momento, a leitura do relógio do primeiro observador é transferida para o segundo, ambos mantendo a velocidade constante, sendo os dois tempos de viagem somados ao final da viagem.

História

Em seu famoso artigo sobre a relatividade especial em 1905, Albert Einstein deduziu que quando dois relógios foram reunidos e sincronizados, e então um foi movido e trazido de volta, o relógio que passou pela viagem estaria atrasado em relação ao relógio que tinha ficado parado. Einstein considerou isso uma consequência natural da relatividade especial, não um paradoxo como alguns sugeriram, e em 1911, ele reafirmou e elaborou este resultado da seguinte forma (com os comentários do físico Robert Resnick após os de Einstein):

Einstein: Se colocássemos um organismo vivo em uma caixa ... poderíamos providenciar para que o organismo, após qualquer voo arbitrário longo, pudesse ser devolvido ao seu local original em uma condição quase inalterada, enquanto os organismos correspondentes que permaneceram em suas posições originais há muito já havia dado lugar a novas gerações. Para o organismo em movimento, a longa duração da viagem foi de um mero instante, desde que o movimento ocorresse com aproximadamente a velocidade da luz.
Resnick: Se o organismo estacionário é um homem e o viajante é seu gêmeo, então o viajante retorna para casa e encontra seu irmão gêmeo muito mais velho do que ele. O paradoxo se concentra na alegação de que, na relatividade, um dos gêmeos poderia considerar o outro como o viajante, caso em que cada um deveria encontrar o outro mais jovem - uma contradição lógica. Essa contenção assume que as situações dos gêmeos são simétricas e intercambiáveis, uma suposição que não é correta. Além disso, os experimentos acessíveis foram feitos e apóiam a previsão de Einstein.

Em 1911, Paul Langevin deu um "exemplo notável" ao descrever a história de um viajante fazendo uma viagem a um fator Lorentz de γ = 100 (99,995% da velocidade da luz). O viajante permanece em um projétil por um ano de seu tempo, e então inverte a direção. Ao retornar, o viajante descobrirá que envelheceu dois anos, enquanto 200 anos se passaram na Terra. Durante a viagem, tanto o viajante quanto a Terra continuam enviando sinais um ao outro a uma taxa constante, o que coloca a história de Langevin entre as versões de deslocamento Doppler do paradoxo dos gêmeos. Os efeitos relativísticos sobre as taxas de sinal são usados ​​para explicar as diferentes taxas de envelhecimento. A assimetria que ocorreu porque apenas o viajante sofreu aceleração é usada para explicar porque existe alguma diferença, porque "qualquer mudança de velocidade, ou qualquer aceleração tem um significado absoluto".

Max von Laue ( 1911,1913 ) elaborou a explicação de Langevin. Usando o formalismo do espaço-tempo de Hermann Minkowski , Laue passou a demonstrar que as linhas de mundo dos corpos em movimento inercial maximizam o tempo apropriado decorrido entre dois eventos. Ele também escreveu que o envelhecimento assimétrico é totalmente explicado pelo fato de que o gêmeo astronauta viaja em dois quadros separados, enquanto o gêmeo da Terra permanece em um quadro, e o tempo de aceleração pode ser arbitrariamente pequeno em comparação com o tempo de movimento inercial . Eventualmente, Lord Halsbury e outros removeram qualquer aceleração introduzindo a abordagem de "três irmãos". O gêmeo viajante transfere a leitura do relógio para um terceiro, viajando na direção oposta. Outra maneira de evitar os efeitos de aceleração é o uso do efeito Doppler relativístico (veja Como se parece: o deslocamento Doppler relativístico abaixo).

Nem Einstein nem Langevin consideraram tais resultados problemáticos: Einstein apenas os chamou de "peculiares", enquanto Langevin os apresentou como uma consequência da aceleração absoluta. Ambos os homens argumentaram que, a partir do diferencial de tempo ilustrado pela história dos gêmeos, nenhuma autocontradição poderia ser construída. Em outras palavras, nem Einstein nem Langevin viam a história dos gêmeos como um desafio à autoconsistência da física relativística.

Exemplo específico

Considere uma nave espacial viajando da Terra para o sistema estelar mais próximo: uma distância d = 4 anos- luz de distância, a uma velocidade v = 0,8 c (ou seja, 80% da velocidade da luz).

Para facilitar os números, presume-se que o navio atinja velocidade total em um tempo desprezível após a partida (embora levasse cerca de 9 meses para acelerar a g para atingir a velocidade). Da mesma forma, no final da viagem de ida, presume-se que a mudança de direção necessária para iniciar a viagem de volta ocorra em um tempo desprezível. Isso também pode ser modelado assumindo que o navio já está em movimento no início do experimento e que o evento de retorno é modelado por uma aceleração de distribuição delta de Dirac .

As partes irão observar a situação da seguinte forma:

Perspectiva da terra

O controle da missão baseado na Terra raciocina sobre a viagem da seguinte maneira: a viagem de ida e volta levará t = 2 d / v = 10 anos no tempo da Terra ( ou seja, todos na Terra serão 10 anos mais velhos quando a nave retornar). A quantidade de tempo medida nos relógios do navio e o envelhecimento dos viajantes durante a viagem serão reduzidos pelo fator , o recíproco do fator de Lorentz ( dilatação do tempo ). Neste caso α = 0,6 e os viajantes terão apenas 0,6 × 10 = 6 anos quando retornarem.

Perspectiva dos viajantes

Os membros da tripulação do navio também calculam os detalhes de sua viagem a partir de sua perspectiva. Eles sabem que o sistema estelar distante e a Terra estão se movendo em relação à nave na velocidade v durante a viagem. Em seu referencial de repouso, a distância entre a Terra e o sistema estelar é α d = 0,6 × 4 = 2,4 anos- luz ( contração do comprimento ), tanto para a jornada de ida quanto para a de retorno. Cada metade da viagem leva α d / v = 2,4 / 0,8 = 3 anos , e a viagem de ida e volta leva o dobro (6 anos). Seus cálculos mostram que chegarão em casa com 6 anos de idade. O cálculo final dos viajantes sobre seu envelhecimento está em total concordância com os cálculos daqueles que estão na Terra, embora vivam a viagem de forma bem diferente daqueles que ficam em casa.

Conclusão

Leituras nos relógios da Terra e de espaçonaves
Evento Terra
(anos)
Nave espacial
(anos)
Partida 0 0
Fim da viagem de ida =
Início da viagem de ida
5 3
Chegada 10 6

Não importa que método eles usem para prever as leituras do relógio, todos concordarão sobre eles. Se nascerem gêmeos no dia da partida do navio e um partir para a viagem enquanto o outro permanecer na Terra, eles se encontrarão novamente quando o viajante tiver 6 anos e o gêmeo que fica em casa tiver 10 anos.

Resolução do paradoxo na relatividade especial

O aspecto paradoxal da situação dos gêmeos surge do fato de que, a qualquer momento, o relógio do gêmeo terrestre está atrasado na estrutura inercial do gêmeo terrestre, mas com base no princípio da relatividade, pode-se igualmente argumentar que o relógio do gêmeo terrestre está lento em a estrutura inercial do gêmeo viajante. Uma resolução proposta é baseada no fato de que o gêmeo terrestre está em repouso na mesma estrutura inercial ao longo da viagem, enquanto o gêmeo viajante não: na versão mais simples do experimento mental, o gêmeo viajante muda no ponto médio do viagem de estar em repouso em uma estrutura inercial que se move em uma direção (para longe da Terra) para estar em repouso em uma estrutura inercial que se move na direção oposta (em direção à Terra). Nessa abordagem, determinar qual observador muda de quadro e qual não é crucial. Embora ambos os gêmeos possam legitimamente afirmar que estão em repouso em seu próprio quadro, apenas o gêmeo viajante experimenta aceleração quando os motores da espaçonave são ligados. Essa aceleração, mensurável com um acelerômetro, torna seu quadro de repouso temporariamente não inercial. Isso revela uma assimetria crucial entre as perspectivas dos gêmeos: embora possamos prever a diferença de envelhecimento de ambas as perspectivas, precisamos usar métodos diferentes para obter resultados corretos.

Papel da aceleração

Embora algumas soluções atribuam um papel crucial à aceleração do gêmeo viajante no momento da reviravolta, outras observam que o efeito também surge se alguém imaginar dois viajantes separados, um indo de ida e um vindo de dentro, que se cruzam e sincronizar seus relógios no ponto correspondente à "volta" de um único viajante. Nesta versão, a aceleração física do relógio móvel não desempenha um papel direto; "a questão é quão longas são as linhas do mundo, não quão tortas". O comprimento referido aqui é o comprimento invariante de Lorentz ou "intervalo de tempo adequado" de uma trajetória que corresponde ao tempo decorrido medido por um relógio seguindo essa trajetória (ver Seção Diferença no tempo decorrido como resultado das diferenças nos caminhos do espaço-tempo dos gêmeos abaixo). No espaço-tempo de Minkowski, o gêmeo viajante deve sentir uma história diferente de acelerações do gêmeo terrestre, mesmo que isso signifique apenas acelerações do mesmo tamanho separadas por diferentes quantidades de tempo, no entanto, "mesmo esse papel para a aceleração pode ser eliminado nas formulações do paradoxo dos gêmeos no espaço-tempo curvo, onde os gêmeos podem cair livremente ao longo da geodésica do espaço-tempo entre os encontros ".

Relatividade da simultaneidade

Diagrama de Minkowski do paradoxo dos gêmeos. Há uma diferença entre as trajetórias dos gêmeos: a trajetória da nave é igualmente dividida entre dois referenciais inerciais diferentes, enquanto o gêmeo baseado na Terra permanece no mesmo referencial inercial.

Para uma compreensão momento a momento de como a diferença de tempo entre os gêmeos se desdobra, deve-se entender que na relatividade especial não existe o conceito de presente absoluto . Para diferentes quadros inerciais, existem diferentes conjuntos de eventos que são simultâneos nesse quadro. Essa relatividade da simultaneidade significa que a mudança de um referencial inercial para outro requer um ajuste em qual fatia do espaço-tempo conta como "presente". No diagrama do espaço-tempo à direita, desenhado para o referencial do gêmeo baseado na Terra, a linha de mundo desse gêmeo coincide com o eixo vertical (sua posição é constante no espaço, movendo-se apenas no tempo). No primeiro trecho da viagem, o segundo gêmeo se move para a direita (linha preta inclinada); e na segunda etapa, de volta à esquerda. As linhas azuis mostram os planos de simultaneidade para o gêmeo viajante durante a primeira etapa da viagem; linhas vermelhas, durante a segunda etapa. Pouco antes da reviravolta, o gêmeo viajante calcula a idade do gêmeo baseado na Terra medindo o intervalo ao longo do eixo vertical da origem até a linha azul superior. Logo após o retorno, se ele recalcular, medirá o intervalo da origem até a linha vermelha inferior. Em certo sentido, durante a inversão de marcha, o plano de simultaneidade salta do azul para o vermelho e muito rapidamente percorre um grande segmento da linha do mundo do gêmeo baseado na Terra. Quando alguém se transfere do referencial inercial de saída para o referencial inercial de entrada, há um salto de descontinuidade na idade do gêmeo baseado na Terra (6,4 anos no exemplo acima).

Uma abordagem não espaço-temporal

Como mencionado acima, uma aventura de paradoxo de gêmeos "ida e volta" pode incorporar a transferência da leitura do relógio de um astronauta "de saída" para um astronauta de "entrada", eliminando assim inteiramente o efeito da aceleração. Além disso, de acordo com o chamado "postulado do relógio", a aceleração física dos relógios não contribui para os efeitos cinemáticos da relatividade especial. Em vez disso, o diferencial de tempo entre dois relógios reunidos é produzido puramente por movimento inercial uniforme, conforme discutido no artigo original da relatividade de Einstein de 1905, bem como em todas as derivações cinemáticas subsequentes das transformações de Lorentz.

Como os diagramas de espaço-tempo incorporam a sincronização do relógio de Einstein (com sua metodologia de treliça de relógios), haverá um salto necessário na leitura do tempo do relógio da Terra feito por um "astronauta que retorna repentinamente" que herda um "novo significado de simultaneidade" de acordo com uma nova sincronização de relógio ditada pela transferência para um referencial inercial diferente, conforme explicado em Spacetime Physics de John A. Wheeler.

Se, em vez de incorporar a sincronização do relógio de Einstein (rede de relógios), o astronauta (de saída e de entrada) e a parte baseada na Terra atualizam regularmente um ao outro sobre o status de seus relógios por meio do envio de sinais de rádio (que viajam à velocidade da luz) , então todas as partes notarão um acúmulo incremental de assimetria na cronometragem, começando no ponto de "volta". Antes da "volta", cada parte considera que o relógio da outra parte está registrando o tempo de maneira diferente do seu, mas a diferença observada é simétrica entre as duas partes. Após a "reviravolta", as diferenças observadas não são simétricas, e a assimetria cresce gradativamente até que as duas partes se reúnam. Ao finalmente se reunir, essa assimetria pode ser vista na diferença real mostrada nos dois relógios reunidos.

A equivalência de envelhecimento biológico e cronometragem

Todos os processos - químicos, biológicos, funcionamento do aparelho de medição, percepção humana envolvendo o olho e o cérebro, a comunicação da força - são restringidos pela velocidade da luz. Há um relógio funcionando em todos os níveis, dependendo da velocidade da luz e do atraso inerente até mesmo no nível atômico. O envelhecimento biológico, portanto, não é de forma alguma diferente da contagem do tempo. Isso significa que o envelhecimento biológico seria retardado da mesma maneira que um relógio.

O que parece: o deslocamento Doppler relativístico

Em vista da dependência de quadro de simultaneidade para eventos em diferentes locais no espaço, alguns tratamentos preferem uma abordagem mais fenomenológica, descrevendo o que os gêmeos observariam se cada um enviasse uma série de pulsos de rádio regulares, igualmente espaçados no tempo de acordo com o emissor relógio. Isso equivale a perguntar, se cada gêmeo enviou um feed de vídeo de si mesmo para o outro, o que eles veem em suas telas? Ou, se cada gêmeo sempre carregasse um relógio indicando sua idade, que horas cada um veria na imagem de seu irmão gêmeo distante e seu relógio?

Logo após a partida, o gêmeo viajante vê o gêmeo que fica em casa sem demora. Na chegada, a imagem na tela da nave mostra o gêmeo que fica 1 ano após o lançamento, porque o rádio emitido da Terra 1 ano após o lançamento chega à outra estrela 4 anos depois e encontra a nave lá. Durante esta etapa da viagem, o gêmeo viajante vê seu próprio relógio avançar 3 anos e o relógio na tela avançar 1 ano, então parece avançar 13 da taxa normal, apenas 20 segundos de imagem por minuto de navio. Isso combina os efeitos da dilatação do tempo devido ao movimento (pelo fator ε = 0,6, cinco anos na Terra são 3 anos na nave) e o efeito do aumento do atraso da luz no tempo (que cresce de 0 a 4 anos).

Claro, a frequência observada da transmissão também é 13 da frequência do transmissor (uma redução na frequência; "desvio para o vermelho"). Isso é chamado de efeito Doppler relativístico . A frequência dos tiques do relógio (ou das frentes de onda) que se vê de uma fonte com a frequência de repouso f rest é

quando a fonte está se movendo diretamente para longe. Isso é f obs = 13 f descanso para v / c = 0,8.

Já o gêmeo que fica em casa, recebe um sinal lento da nave por 9 anos, na frequência 13 da frequência do transmissor. Durante esses 9 anos, o relógio do gêmeo viajante na tela parece avançar 3 anos, então os dois gêmeos veem a imagem de seu irmão envelhecendo a uma taxa de apenas 13 de sua própria taxa. Expresso de outra forma, ambos veriam o relógio do outro rodando a 13 de sua própria velocidade de clock. Se eles desconsiderarem do cálculo o fato de que o atraso do tempo de luz da transmissão está aumentando a uma taxa de 0,8 segundos por segundo, ambos podem deduzir que o outro gêmeo está envelhecendo mais lentamente, a uma taxa de 60%.

Então o navio volta para casa. O relógio do gêmeo que fica fica mostra "1 ano após o lançamento" na tela do navio, e durante os 3 anos da viagem de volta aumenta para "10 anos após o lançamento", então o relógio na tela parece estar avançando 3 vezes mais rápido que o normal.

Quando a fonte está se movendo em direção ao observador, a frequência observada é maior ("desviada para o azul") e dada por

Isso é f obs = 3 f descanso para v / c = 0,8.

Já a tela na Terra mostra aquela viagem de volta começando 9 anos após o lançamento, e o relógio de viagem na tela mostra que 3 anos se passaram na nave. Um ano depois, o navio está de volta em casa e o relógio marca 6 anos. Então, durante a viagem de volta, os dois gêmeos veem o relógio do irmão indo 3 vezes mais rápido que o seu. Considerando o fato de que o tempo de luz está diminuindo em 0,8 segundos a cada segundo, cada gêmeo calcula que o outro está envelhecendo a 60% de sua própria velocidade de envelhecimento.

Caminhos de luz para imagens trocadas durante a viagem
Esquerda: Terra para enviar. À direita: Envie para a Terra.
As linhas vermelhas indicam que as imagens de baixa frequência são recebidas, as linhas azuis indicam que as imagens de alta frequência são recebidas

Os diagramas x - t (espaço-tempo) à esquerda mostram os caminhos dos sinais de luz que viajam entre a Terra e a nave (1º diagrama) e entre a nave e a Terra (2º diagrama). Esses sinais transportam as imagens de cada gêmeo e de seu relógio de idade para o outro gêmeo. A linha preta vertical é o caminho da Terra através do espaço-tempo e os outros dois lados do triângulo mostram o caminho da nave através do espaço-tempo (como no diagrama de Minkowski acima). No que diz respeito ao remetente, ele as transmite em intervalos iguais (digamos, uma vez por hora) de acordo com seu próprio relógio; mas de acordo com o relógio do gêmeo que recebe esses sinais, eles não estão sendo recebidos em intervalos iguais.

Depois que o navio atingiu sua velocidade de cruzeiro de 0,8 c , cada gêmeo veria 1 segundo passar na imagem recebida do outro gêmeo a cada 3 segundos de seu próprio tempo. Ou seja, cada um veria a imagem do relógio do outro indo devagar, não apenas pelo fator ε 0,6, mas ainda mais lento porque o atraso da luz está aumentando 0,8 segundos por segundo. Isso é mostrado nas figuras por caminhos de luz vermelha. Em algum momento, as imagens recebidas por cada gêmeo mudam de modo que cada um veja passar 3 segundos na imagem a cada segundo de seu próprio tempo. Ou seja, a frequência do sinal recebido foi aumentada pelo desvio Doppler. Essas imagens de alta frequência são mostradas nas figuras por caminhos de luz azul.

A assimetria nas imagens deslocadas Doppler

A assimetria entre a Terra e a nave espacial é manifestada neste diagrama pelo fato de que mais imagens desviadas para o azul (envelhecimento rápido) são recebidas pela nave. Dito de outra forma, a nave espacial vê a mudança da imagem de um desvio para o vermelho (envelhecimento mais lento da imagem) para um desvio para o azul (envelhecimento mais rápido da imagem) no ponto médio de sua viagem (na reviravolta, 3 anos após a partida ); a Terra vê a imagem da nave mudar do desvio para o vermelho para o azul após 9 anos (quase no final do período em que a nave está ausente). Na próxima seção, veremos outra assimetria nas imagens: a gêmea da Terra vê a idade da nave gêmea na mesma proporção nas imagens alteradas para vermelho e azul; a nave gêmea vê a idade gêmea da Terra em diferentes quantidades nas imagens alteradas para vermelho e azul.

Cálculo do tempo decorrido a partir do diagrama Doppler

O gêmeo na nave vê imagens de baixa frequência (vermelhas) por 3 anos. Durante esse tempo, ele veria o gêmeo da Terra na imagem envelhecer em 3/3 = 1 ano . Ele então vê imagens de alta frequência (azuis) durante a viagem de volta de 3 anos. Durante esse tempo, ele veria o gêmeo da Terra na imagem envelhecer 3 × 3 = 9 anos. Quando a jornada termina, a imagem do gêmeo da Terra envelhece 1 + 9 = 10 anos.

A gêmea da Terra vê 9 anos de imagens lentas (vermelhas) da gêmea da nave, durante os quais a gêmea da nave envelhece (na imagem) em 9/3 = 3 anos. Ele então vê imagens rápidas (azuis) pelo 1 ano restante até o retorno do navio. Nas imagens rápidas, o gêmeo do navio envelhece em 1 × 3 = 3 anos. O envelhecimento total da nave gêmea nas imagens recebidas pela Terra é 3 + 3 = 6 anos , então a nave gêmea retorna mais jovem (6 anos em oposição a 10 anos na Terra).

A distinção entre o que eles veem e o que calculam

Para evitar confusão, observe a distinção entre o que cada gêmeo vê e o que cada um calcularia. Cada um vê uma imagem de seu gêmeo que ele sabe que se originou em um momento anterior e que ele sabe que foi deslocada por Doppler. Ele não considera o tempo decorrido na imagem como a idade de seu irmão gêmeo agora.

  • Se ele quiser calcular quando seu gêmeo tinha a idade mostrada na imagem ( ou seja, quantos anos ele tinha então), ele deve determinar a que distância seu irmão gêmeo estava quando o sinal foi emitido - em outras palavras, ele deve considerar a simultaneidade para um evento distante.
  • Se ele quiser calcular a rapidez com que seu gêmeo estava envelhecendo quando a imagem foi transmitida, ele se ajusta para o desvio Doppler. Por exemplo, quando ele recebe imagens de alta frequência (mostrando seu gêmeo envelhecendo rapidamente) com frequência , ele não conclui que o gêmeo estava envelhecendo tão rapidamente quando a imagem foi gerada, assim como não conclui que a sirene de uma ambulância está emitindo o frequência que ele ouve. Ele sabe que o efeito Doppler aumentou a frequência da imagem no fator 1 / (1 - v / c ). Portanto, ele calcula que seu gêmeo estava envelhecendo a uma taxa de

quando a imagem foi emitida. Um cálculo semelhante revela que seu gêmeo estava envelhecendo com a mesma taxa reduzida de εf repouso em todas as imagens de baixa frequência.

Simultaneidade no cálculo do deslocamento Doppler

Pode ser difícil ver onde a simultaneidade entrou no cálculo do desvio Doppler e, de fato, o cálculo é geralmente preferido porque não é necessário se preocupar com a simultaneidade. Como visto acima, o navio gêmeo pode converter sua taxa de deslocamento Doppler recebida para uma taxa mais lenta do relógio do relógio distante para imagens vermelhas e azuis. Se ele ignorar a simultaneidade, ele pode dizer que seu irmão gêmeo estava envelhecendo a uma taxa reduzida ao longo da viagem e, portanto, deveria ser mais jovem do que ele. Ele agora está de volta à estaca zero e precisa levar em consideração a mudança em sua noção de simultaneidade na virada. A taxa que ele pode calcular para a imagem (corrigida para o efeito Doppler) é a taxa do relógio do gêmeo da Terra no momento em que foi enviada, não no momento em que foi recebida. Visto que ele recebe um número desigual de imagens deslocadas para vermelho e azul, ele deve perceber que as emissões deslocadas para vermelho e azul não foram emitidas em períodos iguais para o gêmeo da Terra e, portanto, ele deve levar em consideração a simultaneidade à distância.

Ponto de vista do gêmeo viajante

Durante a reviravolta, o gêmeo viajante está em um referencial acelerado . De acordo com o princípio da equivalência , o gêmeo viajante pode analisar a fase de reversão como se o gêmeo que fica em casa estivesse caindo livremente em um campo gravitacional e como se o gêmeo viajante estivesse estacionário. Um artigo de 1918 de Einstein apresenta um esboço conceitual da ideia. Do ponto de vista do viajante, um cálculo para cada trecho separado, ignorando a reviravolta, leva a um resultado em que o relógio da Terra envelhece menos do que o viajante. Por exemplo, se os relógios terrestres envelhecem 1 dia a menos em cada perna, a quantidade de atrasos dos relógios terrestres é de 2 dias. A descrição física do que acontece na reviravolta deve produzir um efeito contrário do dobro dessa quantidade: 4 dias de avanço dos relógios terrestres. Então o relógio do viajante terminará com um atraso líquido de 2 dias nos relógios da Terra, de acordo com os cálculos feitos no referencial do gêmeo que fica em casa.

O mecanismo para o avanço do relógio do gêmeo que fica em casa é a dilatação do tempo gravitacional . Quando um observador descobre que objetos em movimento inercial estão sendo acelerados em relação a eles próprios, esses objetos estão em um campo gravitacional no que diz respeito à relatividade. Para o gêmeo viajante em recuperação, este campo gravitacional preenche o universo. Em uma aproximação de campo fraco, os relógios marcam a uma taxa de t ' = t (1 + Φ / c 2 ) onde Φ é a diferença no potencial gravitacional. Nesse caso, Φ = gh, onde g é a aceleração do observador viajante durante a reviravolta eh é a distância até o gêmeo que fica em casa. O foguete está disparando em direção ao gêmeo que fica em casa, colocando assim esse gêmeo em um potencial gravitacional mais alto. Devido à grande distância entre os gêmeos, os relógios dos gêmeos que ficam em casa parecem estar acelerados o suficiente para explicar a diferença de horários experimentados pelos gêmeos. Não é por acaso que essa aceleração é suficiente para explicar a mudança de simultaneidade descrita acima. A solução da relatividade geral para um campo gravitacional homogêneo estático e a solução da relatividade especial para a aceleração finita produzem resultados idênticos.

Outros cálculos foram feitos para o gêmeo viajante (ou para qualquer observador que às vezes acelera), os quais não envolvem o princípio da equivalência e não envolvem quaisquer campos gravitacionais. Esses cálculos são baseados apenas na teoria especial, não na teoria geral da relatividade. Uma abordagem calcula superfícies de simultaneidade considerando pulsos de luz, de acordo com a ideia de Hermann Bondi do cálculo k . Uma segunda abordagem calcula uma integral direta, mas tecnicamente complicada, para determinar como o gêmeo viajante mede o tempo decorrido no relógio que fica em casa. Um esboço desta segunda abordagem é fornecido em uma seção separada abaixo .

Diferença no tempo decorrido como resultado das diferenças nos caminhos do espaço-tempo dos gêmeos

Paradoxo gêmeo empregando um foguete seguindo um perfil de aceleração em termos de coordenada de tempo T e definindo c = 1: Fase 1 (a = 0,6, T = 2); Fase 2 (a = 0, T = 2); Fase 3-4 (a = -0,6, 2T = 4); Fase 5 (a = 0, T = 2); Fase 6 (a = 0,6, T = 2). Os gêmeos se encontram em T = 12 e τ = 9,33. Os números azuis indicam o tempo de coordenada T no referencial inercial do gêmeo que fica em casa, os números vermelhos o tempo adequado τ do gêmeo-foguete e "a" é a aceleração adequada. As linhas vermelhas finas representam linhas de simultaneidade em termos de diferentes quadros inerciais momentâneos do foguete-gêmeo. Os pontos marcados por números azuis 2, 4, 8 e 10 indicam os momentos em que a aceleração muda de direção.

O parágrafo a seguir mostra várias coisas:

  • como empregar uma abordagem matemática precisa no cálculo das diferenças no tempo decorrido
  • como provar exatamente a dependência do tempo decorrido nos diferentes caminhos percorridos no espaço-tempo pelos gêmeos
  • como quantificar as diferenças no tempo decorrido
  • como calcular o tempo adequado como uma função (integral) do tempo coordenado

Deixe o relógio K ser associado ao "gêmeo ficar em casa". Deixe o relógio K ' ser associado ao foguete que faz a viagem. No evento de partida, ambos os relógios são ajustados para 0.

Fase 1: Rocket (com relógio K' ) embarca com constante aceleração adequada um durante um tempo t um como medido pelo relógio K até atingir alguma velocidade V .
Fase 2: Rocket continua por inércia a velocidade V durante algum tempo T c de acordo com o relógio K .
Fase 3: Rocket dispara seus motores no sentido oposto de K durante um tempo t um segundo relógio K até que ele está em repouso com respeito ao relógio K . A aceleração adequada constante tem o valor - a , em outras palavras, o foguete está desacelerando .
Fase 4: Foguete continua disparando seus motores na direção oposta de K , durante o mesmo tempo T a de acordo com o relógio K , até que K ' recupere a mesma velocidade V em relação a K , mas agora em direção a K (com velocidade - V ).
Fase 5: Rocket continua por inércia para com K a uma velocidade V durante o mesmo tempo T c de acordo com o relógio K .
Fase 6: Rocket novamente dispara seus motores na direção de K , por isso desacelera com uma aceleração adequada constante a durante um tempo T a , ainda de acordo com o relógio de K , até que ambos os relógios reunir.

Sabendo que o relógio K permanece inercial (estacionário), o tempo próprio total acumulado Δ τ do relógio K ' será dado pela função integral do tempo coordenado Δ t

onde v ( t ) é a velocidade coordenada do relógio K ' como uma função de t de acordo com o relógio K , e, por exemplo, durante a fase 1, dada por

Esta integral pode ser calculada para as 6 fases:

Fase 1
Fase 2
Fase 3
Fase 4
Fase 5
Fase 6

onde a é a aceleração adequada, sentida pelo relógio K ' durante a (s) fase (s) de aceleração e onde as seguintes relações se mantêm entre V , a e T a :

Portanto, o relógio de viagem K ' mostrará um tempo decorrido de

que pode ser expresso como

enquanto o relógio estacionário K mostra um tempo decorrido de

que é, para cada valor possível de a , T a , T c e V , maior do que a leitura do relógio K ' :

Diferença nos tempos decorridos: como calcular a partir do navio

Paradoxo gêmeo empregando um foguete seguindo um perfil de aceleração em termos de tempo próprio τ e definindo c = 1: Fase 1 (a = 0,6, τ = 2); Fase 2 (a = 0, τ = 2); Fase 3-4 (a = -0,6, 2τ = 4); Fase 5 (a = 0, τ = 2); Fase 6 (a = 0,6, τ = 2). Os gêmeos se encontram em T = 17,3 e τ = 12.

Na fórmula de tempo adequado padrão

Δ τ representa o tempo do observador não inercial (viajando) K ' como uma função do tempo decorrido Δ t do observador inercial (permanece em casa) K para o qual o observador K' tem velocidade v ( t ) no tempo t .

Para calcular o tempo decorrido Δ t do observador inercial K em função do tempo decorrido Δ τ do observador não inercial K ' , onde apenas as quantidades medidas por K' são acessíveis, a seguinte fórmula pode ser usada:

onde a (τ) é a aceleração adequada do observador não inercial K ' medida por ele mesmo (por exemplo, com um acelerômetro) durante toda a viagem de ida e volta. A desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser usada para mostrar que a desigualdade Δ t > Δ τ segue da expressão anterior:

Usando a função delta de Dirac para modelar a fase de aceleração infinita no caso padrão do viajante com velocidade constante v durante a viagem de ida e volta, a fórmula produz o resultado conhecido:

No caso em que o observador acelerado K 'se afasta de K com velocidade inicial zero, a equação geral se reduz à forma mais simples:

que, na versão suave do paradoxo dos gêmeos, onde o viajante tem constantes fases de aceleração próprias, sucessivamente dadas por a , - a , - a , a , resulta em

onde a convenção c = 1 é usada, de acordo com a expressão acima com fases de aceleração T a = Δ t / 4 e fases inerciais (desaceleração) T c = 0.

Uma versão rotativa

Os gêmeos Bob e Alice habitam uma estação espacial em órbita circular em torno de um enorme corpo no espaço. Bob se arruma e sai da estação. Enquanto Alice permanece dentro da estação, continuando a orbitar como antes, Bob usa um sistema de propulsão de foguete para parar de orbitar e pairar onde estava. Quando a estação completa uma órbita e retorna para Bob, ele se reúne com Alice. Alice agora é mais jovem do que Bob. Além da aceleração rotacional, Bob deve desacelerar para se tornar estacionário e, em seguida, acelerar novamente para corresponder à velocidade orbital da estação espacial.

Nenhum paradoxo gêmeo em um quadro de referência absoluto

A conclusão de Einstein sobre uma diferença real nos tempos registrados (ou envelhecimento) entre as partes reunidas fez com que Paul Langevin postulasse um quadro de referência absoluto real, embora experimentalmente indetectável:

Em 1911, Langevin escreveu: "Uma tradução uniforme no éter não tem sentido experimental. Mas por isso não se deve concluir, como às vezes aconteceu prematuramente, que o conceito de éter deve ser abandonado, que o éter não existe e inacessível para experimentar. Apenas uma velocidade uniforme em relação a ela não pode ser detectada, mas qualquer mudança de velocidade ... tem um sentido absoluto. "

Em 1913, Henri Poincaré póstumo Últimos Ensaios foram publicados e ali ele reafirmou sua posição: "Hoje alguns físicos querem adotar uma nova convenção. Não é que eles sejam obrigados a fazê-lo; eles consideram esta nova convenção mais conveniente; isto é todos. E aqueles que não são desta opinião podem reter legitimamente a antiga. "

Na relatividade de Poincaré e Hendrik Lorentz , que assume um quadro de referência absoluto (embora experimentalmente indiscernível), nenhum paradoxo gêmeo surge devido ao fato de que a desaceleração do relógio (junto com a contração do comprimento e a velocidade) é considerada como uma realidade, portanto, o diferença de tempo entre os relógios reunidos.

Essa interpretação da relatividade, que John A. Wheeler chama de "teoria do éter B (contração do comprimento mais contração do tempo)", não ganhou tanta força quanto a de Einstein, que simplesmente desconsiderou qualquer realidade mais profunda por trás das medições simétricas em quadros inerciais. Não existe um teste físico que distinga uma interpretação da outra.

Mais recentemente (em 2005), Robert B. Laughlin (Prêmio Nobel de Física, Universidade de Stanford), escreveu sobre a natureza do espaço:

"É irônico que o trabalho mais criativo de Einstein, a teoria geral da relatividade, deva se resumir a conceituar o espaço como um meio quando sua premissa original [na relatividade especial] era que tal meio não existia... A palavra 'éter' foi extremamente conotações negativas na física teórica por causa de sua associação passada com a oposição à relatividade. Isso é lamentável porque, despojado dessas conotações, ele captura muito bem a maneira como a maioria dos físicos realmente pensa sobre o vácuo ... A relatividade na verdade não diz nada sobre a existência ou inexistência de matéria permeando o universo, apenas que tal matéria deve ter simetria relativística (isto é, como medida). "

AP French escreve, na Relatividade Especial :

"Observe, porém, que estamos apelando para a realidade da aceleração de A e para a observabilidade das forças inerciais associadas a ela. Efeitos como o paradoxo dos gêmeos existiriam se a estrutura de estrelas fixas e galáxias distantes não existisse? os físicos diriam que não. Nossa definição final de um referencial inercial pode de fato ser que é um referencial com aceleração zero em relação à matéria do universo em geral. "

Veja também

Fontes primárias

Fontes secundárias

Leitura adicional

O relogio ideal

O relógio ideal é um relógio cuja ação depende apenas de sua velocidade instantânea e é independente de qualquer aceleração do relógio.

Dilatação do tempo gravitacional; dilatação do tempo em movimento circular

links externos