Sistema quântico de dois estados - Two-state quantum system

Um feixe de átomos de prata eletricamente neutros através do campo magnético não homogêneo do experimento de Stern-Gerlach se divide em dois, cada um correspondendo a um possível valor de spin do elétron mais externo do átomo de prata.

Na mecânica quântica , um sistema de dois estados (também conhecido como sistema de dois níveis ) é um sistema quântico que pode existir em qualquer superposição quântica de dois estados quânticos independentes (fisicamente distinguíveis) . O espaço de Hilbert que descreve tal sistema é bidimensional . Portanto, uma base completa abrangendo o espaço consistirá em dois estados independentes. Qualquer sistema de dois estados também pode ser visto como um qubit .

Os sistemas de dois estados são os sistemas quânticos mais simples de interesse, uma vez que a dinâmica de um sistema de um estado é trivial (já que não há outros estados nos quais o sistema possa existir). A estrutura matemática necessária para a análise de sistemas de dois estados é a de equações diferenciais lineares e álgebra linear de espaços bidimensionais. Como resultado, a dinâmica de um sistema de dois estados pode ser resolvida analiticamente sem qualquer aproximação. O comportamento genérico do sistema é que a amplitude da função de onda oscila entre os dois estados.

Um exemplo bem conhecido de sistema de dois estados é o spin de uma partícula de spin 1/2 , como um elétron, cujo spin pode ter valores + ħ / 2 ou - ħ / 2, onde ħ é a constante de Planck reduzida .

O sistema de dois estados não pode ser usado como uma descrição de absorção ou decadência, porque tais processos requerem acoplamento a um continuum. Tais processos envolveriam decaimento exponencial das amplitudes, mas as soluções do sistema de dois estados são oscilatórias.

Soluções analíticas para energias de estado estacionário e dependência do tempo

Representação

Supondo que os dois estados básicos disponíveis do sistema sejam e , em geral, o estado pode ser escrito como uma superposição desses dois estados com amplitudes de probabilidade , ${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle | 2 \ rangle}$ ${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = c_ {1} | 1 \ rangle + c_ {2} | 2 \ rangle.}$

Como os estados de base são ortonormais , onde e é o delta de Kronecker , então . Esses dois números complexos podem ser considerados coordenadas em um espaço de Hilbert complexo bidimensional . Assim, o vetor de estado correspondente ao estado é ${\ displaystyle \ langle i | j \ rangle = \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle i, j \ in {1,2}}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle c_ {i} = \ langle i | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ equiv {\ begin {pmatrix} \ langle 1 | \ psi \ rangle \\\ langle 2 | \ psi \ rangle \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} c_ {1 } \\ c_ {2} \ end {pmatrix}} = c_ {1} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} + c_ {2} {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ fim {pmatriz}} = \ mathbf {c},}$

e os estados de base correspondem aos vetores de base, e . ${\ displaystyle | 1 \ rangle \ equiv {\ begin {pmatrix} \ langle 1 | 1 \ rangle \\\ langle 2 | 1 \ rangle \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle | 2 \ rangle \ equiv {\ begin {pmatrix} \ langle 1 | 2 \ rangle \\\ langle 2 | 2 \ rangle \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$

Se o estado é normalizada , a norma do vector de estado é a unidade, ou seja . ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle {| c_ {1} |} ^ {2} + {| c_ {2} |} ^ {2} = 1}$

Todas as quantidades físicas observáveis , como energia, estão associadas a operadores hermitianos . No caso de energia e o hamiltoniano correspondente , H , isso significa

${\ displaystyle H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle = \ langle j | H | i \ rangle ^ {*} = H_ {ji} ^ {*},}$

ou seja, e são reais, e . Assim, esses quatro elementos da matriz produzem uma matriz hermitiana 2 × 2 , ${\ displaystyle H_ {11}}$${\ displaystyle H_ {22}}$${\ displaystyle H_ {12} = H_ {21} ^ {*}}$${\ displaystyle H_ {ij}}$

${\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ begin {pmatrix} \ langle 1 | H | 1 \ rangle & \ langle 1 | H | 2 \ rangle \\\ langle 2 | H | 1 \ rangle & \ langle 2 | H | 2 \ rangle \ end {pmatriz}} = {\ begin {pmatriz} H_ {11} & H_ {12} \\ H_ {12} ^ {*} & H_ {22} \ end {pmatriz}}.}$

A equação de Schrödinger independente do tempo afirma que ; substituindo em termos dos estados básicos de cima, e pré-multiplicando ambos os lados por ou produz um sistema de duas equações lineares que podem ser escritas em forma de matriz, ${\ displaystyle H | \ psi \ rangle = E | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle \ langle 1 |}$${\ displaystyle \ langle 2 |}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} H_ {11} & H_ {12} \\ H_ {12} ^ {*} & H_ {22} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \ end {pmatriz}} = E {\ begin {pmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \ end {pmatrix}},}$

ou que é um problema de autovalores e autovetores de matriz 2 × 2 . ${\ displaystyle \ mathbf {Hc} = E \ mathbf {c}}$

Por causa da hermiticidade dos autovalores são reais; ou, antes, inversamente, é a exigência de que as energias sejam reais que implica a hermiticidade de . Os autovetores representam os estados estacionários , ou seja, aqueles para os quais a magnitude absoluta dos quadrados das amplitudes de probabilidade não muda com o tempo. ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$${\ displaystyle \ mathbf {H}}$

Valores próprios do hamiltoniano

A forma mais geral de uma matriz hermitiana 2 × 2, como a hamiltoniana de um sistema de dois estados, é dada por

${\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ begin {pmatrix} \ epsilon _ {1} & \ beta -i \ gamma \\\ beta + i \ gamma & \ epsilon _ {2} \ end {pmatrix}}, }$

onde e γ são números reais com unidades de energia. Os níveis de energia permitidos do sistema, nomeadamente os autovalores da matriz hamiltoniana, podem ser encontrados da forma usual. ${\ displaystyle \ epsilon _ {1}, \ epsilon _ {2}, \ beta}$

Equivalentemente, esta matriz pode ser decomposta como,

${\ displaystyle \ mathbf {H} = \ alpha \ cdot \ sigma _ {0} + \ beta \ cdot \ sigma _ {1} + \ gamma \ cdot \ sigma _ {2} + \ delta \ cdot \ sigma _ { 3} = {\ begin {pmatrix} \ alpha + \ delta & \ beta -i \ gamma \\\ beta + i \ gamma & \ alpha - \ delta \ end {pmatrix}}.}$

Aqui, e são números reais. A matriz é a matriz de identidade 2 × 2 e as matrizes são as matrizes de Pauli . Esta decomposição simplifica a análise do sistema, principalmente no caso independente do tempo, onde os valores de e são constantes. ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {(\ epsilon _ {1} + \ epsilon _ {2})} {2}}}$${\ displaystyle \ delta = {\ frac {(\ epsilon _ {1} - \ epsilon _ {2})} {2}}}$${\ displaystyle \ sigma _ {0}}$${\ displaystyle \ sigma _ {k}}$ ${\ displaystyle (k = 1,2,3)}$${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma}$${\ displaystyle \ delta}$

O hamiltoniano pode ser condensado ainda mais como

${\ displaystyle \ mathbf {H} = \ alpha \ cdot \ sigma _ {0} + \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {\ sigma}.}$

O vetor é dado por e é dado por . Esta representação simplifica a análise da evolução temporal do sistema e é mais fácil de usar com outras representações especializadas, como a esfera de Bloch . ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle (\ beta, \ gamma, \ delta)}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3})}$

Se o hamiltoniano H independente do tempo do sistema de dois estados for definido como acima, então seus autovalores serão dados por . Evidentemente, α é a energia média dos dois níveis, e a norma de é a divisão entre eles. Os autovetores correspondentes são denotados como e . ${\ displaystyle E _ {\ pm} = \ alpha \ pm | \ mathbf {r} |}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle | + \ rangle}$${\ displaystyle | - \ rangle}$

Dependência do tempo

Agora assumimos que as amplitudes de probabilidade são dependentes do tempo, embora os estados de base não sejam. A equação de Schrödinger dependente do tempo afirma , e procedendo como antes (substituir e pré- multiplicar por novamente produz um par de equações lineares acopladas, mas desta vez são equações diferenciais parciais de primeira ordem:. Se for independente do tempo, existem várias abordagens para encontrar o dependência do tempo de , como os modos normais . O resultado é que ${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi \ rangle = H | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle \ langle 1 |, \ langle 2 |}$${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ mathbf {c} = \ mathbf {Hc}}$${\ displaystyle \ mathbf {H}}$${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$

${\ displaystyle \ mathbf {c} (t) = e ^ {- i \ mathbf {H} t / \ hbar} \ mathbf {c} _ {0} = \ mathbf {U} (t) \ mathbf {c} _ {0}.}$

onde está o statevector em . Aqui, o exponencial de uma matriz pode ser encontrado a partir da expansão da série. A matriz é chamada de matriz de evolução no tempo (que compreende os elementos da matriz do operador de evolução no tempo correspondente ). É facilmente provado que é unitário , ou seja . ${\ displaystyle \ mathbf {c} _ {0} = \ mathbf {c} (0)}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {U} (t)}$${\ displaystyle U (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {U} (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {U} ^ {\ dagger} \ mathbf {U} = 1}$

Pode-se mostrar que

${\ displaystyle \ mathbf {U} (t) = e ^ {- i \ mathbf {H} t / \ hbar} = e ^ {- i \ alpha t / \ hbar} (\ cos (| \ mathbf {r} | t / \ hbar) \ sigma _ {0} -i \ sin (| \ mathbf {r} | t / \ hbar) {\ hat {r}} \ cdot \ mathbf {\ sigma}),}$

Onde ${\ displaystyle {\ hat {r}} = {\ frac {\ mathbf {r}} {| \ mathbf {r} |}}.}$

Quando se muda a base para os vectores próprios da Hamiltoniano, em outras palavras, se os estados da base são escolhidos para serem os vectores próprios, em seguida, e e assim o Hamiltoniano é diagonal, isto é, e tem a forma, ${\ displaystyle | 1 \ rangle, | 2 \ rangle}$${\ displaystyle \ epsilon _ {1} = H_ {11} = \ langle 1 | H | 1 \ rangle = E_ {1} \ langle 1 | 1 \ rangle = E_ {1}}$${\ displaystyle \ beta + i \ gamma = H_ {21} = \ langle 2 | H | 1 \ rangle = E_ {1} \ langle 2 | 1 \ rangle = 0}$${\ displaystyle | \ mathbf {r} | = \ delta}$

${\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ begin {pmatrix} E_ {1} & 0 \\ 0 & E_ {2} \ end {pmatrix}}.}$

Agora, o operador de evolução de tempo unitário é facilmente visto como dado por: ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ mathbf {U} (t) = e ^ {- i \ mathbf {H} t / \ hbar} = {\ begin {pmatrix} e ^ {- iE_ {1} t / \ hbar} & 0 \\ 0 & e ^ {- iE_ {2} t / \ hbar} \ end {pmatrix}} = e ^ {- i \ alpha t / \ hbar} {\ begin {pmatrix} e ^ {- i \ delta t / \ hbar} & 0 \\ 0 & e ^ {i \ delta t / \ hbar} \ end {pmatrix}} = e ^ {- i \ alpha t / \ hbar} (\ cos (\ delta t / \ hbar) \ sigma _ {0} -i \ sin (\ delta t / \ hbar) \ mathbf {\ sigma} _ {3}).}$

O fator apenas contribui para a fase geral do operador e geralmente pode ser ignorado para produzir um novo operador de evolução de tempo que é fisicamente indistinguível do operador original. Além disso, qualquer perturbação no sistema (que terá a mesma forma que o hamiltoniano) pode ser adicionada ao sistema na base própria do hamiltoniano não perturbado e analisada da mesma forma que acima. Portanto, para qualquer perturbação, os novos vetores próprios do sistema perturbado podem ser resolvidos exatamente, conforme mencionado na introdução. ${\ displaystyle e ^ {- i \ alpha t / \ hbar}}$

Fórmula de Rabi para uma perturbação estática

Suponha que o sistema comece em um dos estados de base em , digamos que , e estamos interessados ​​na probabilidade de ocupação de cada um dos estados de base em função do tempo quando é o hamiltoniano independente do tempo. ${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbf {c} _ {0} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle \ mathbf {H}}$

${\ displaystyle \ mathbf {c} (t) = \ mathbf {U} (t) \ mathbf {c} _ {0} = {\ begin {pmatrix} U_ {11} (t) & U_ {12} (t) \\ U_ {21} (t) & U_ {22} (t) \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} U_ {11} ( t) \\ U_ {21} (t) \ end {pmatriz}}.}$

A probabilidade de ocupação do estado i é . No caso do estado inicial,, e de cima ,. Por isso, ${\ displaystyle P_ {i} (t) = | c_ {i} (t) | ^ {2} = | U_ {i1} (t) | ^ {2}}$${\ displaystyle P_ {1} (t) = | c_ {1} (t) | ^ {2} = | U_ {11} (t) | ^ {2}}$${\ displaystyle U_ {11} (t) = e ^ {\ frac {-i \ alpha t} {\ hbar}} (\ cos (| \ mathbf {r} | t / \ hbar) -i \ sin (| \ mathbf {r} | t / \ hbar) {\ frac {\ delta} {| \ mathbf {r} |}})}$

${\ displaystyle P_ {1} (t) = \ cos ^ {2} (\ Omega t) + \ sin ^ {2} (\ Omega t) {\ frac {\ Delta ^ {2}} {\ Omega ^ { 2}}}.}$

Obviamente, devido à condição inicial. A frequência é chamada de frequência Rabi generalizada, é chamada de frequência Rabi e é chamada de desafinação. ${\ displaystyle P_ {1} (0) = 1}$${\ displaystyle \ Omega = | \ mathbf {r} | / \ hbar = {\ sqrt {\ beta ^ {2} + \ gamma ^ {2} + \ delta ^ {2}}} / \ hbar = {\ sqrt {| \ Omega _ {R} | ^ {2} + \ Delta ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ Omega _ {R} = (\ beta + i \ gamma) / \ hbar}$${\ displaystyle \ Delta = \ delta / \ hbar}$

Na desafinação zero , ou seja, há Rabi pulando da ocupação garantida do estado 1, para a ocupação garantida do estado 2, e de volta ao estado 1, etc., com frequência . À medida que a desafinação é aumentada de zero, a frequência do flop aumenta (para Ω ) e a amplitude diminui para . ${\ displaystyle P_ {1} (t) = \ cos ^ {2} (| \ Omega _ {R} | t)}$${\ displaystyle | \ Omega _ {R} |}$${\ displaystyle 1- \ Delta ^ {2} / \ Omega ^ {2}}$

Para hamiltonianos dependentes do tempo induzidos por ondas de luz,

Alguns sistemas importantes de dois estados

Precessão em um campo

Considere o caso de uma partícula de spin 1/2 em um campo magnético . O hamiltoniano de interação para este sistema é ${\ displaystyle \ mathbf {B} = B \ mathbf {\ hat {n}}}$

${\ displaystyle H = - {\ boldsymbol {\ mu}} \ cdot \ mathbf {B} = - \ mu {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {B},}$

onde é a magnitude do momento magnético da partícula e é o vetor das matrizes de Pauli . Resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo resulta ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ displaystyle H \ psi = i \ hbar \ parcial _ {t} \ psi}$

${\ displaystyle \ psi (t) = e ^ {i \ omega t {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}} \ psi (0),}$

onde e . Fisicamente, isso corresponde ao vetor de Bloch precessando com frequência angular . Sem perda de generalidade, suponha que o campo é pontos uniformes , de modo que o operador de evolução de tempo é dado como ${\ displaystyle \ omega = \ mu B / \ hbar}$${\ displaystyle e ^ {i \ omega t {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}} = \ cos {\ left (\ omega t \ right)} I + i \; \ mathbf {\ hat {n}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} \ sin {\ left (\ omega t \ right)}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$${\ displaystyle 2 \ omega}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {z}}}$

${\ displaystyle e ^ {i \ omega t {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}} = {\ begin {pmatrix} e ^ {i \ omega t} & 0 \\ 0 & e ^ {-i \ omega t} \ end {pmatrix}}.}$

Pode-se ver que tal operador de evolução de tempo atuando em um estado geral de spin de uma partícula de spin 1/2 levará à precessão em torno do eixo definido pelo campo magnético aplicado (este é o equivalente mecânico quântico da precessão de Larmor )

O método acima pode ser aplicado à análise de qualquer sistema genérico de dois estados que esteja interagindo com algum campo (equivalente ao campo magnético no caso anterior) se a interação for dada por um termo de acoplamento apropriado que é análogo ao momento magnético . A precessão do vetor de estado (que não precisa ser um giro físico como no caso anterior) pode ser vista como a precessão do vetor de estado na esfera de Bloch .

A representação na esfera de Bloch para um vetor de estado será simplesmente o vetor de valores esperados . Como exemplo, considere um vetor de estado que é uma superposição normalizada de e , isto é, um vetor que pode ser representado na base como ${\ displaystyle \ psi (0)}$${\ displaystyle \ mathbf {R} = \ left (\ langle \ sigma _ {x} \ rangle, \ langle \ sigma _ {y} \ rangle, \ langle \ sigma _ {z} \ rangle \ right)}$${\ displaystyle \ psi (0)}$${\ displaystyle \ left | \ uparrow \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ left | \ downarrow \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ sigma _ {z}}$

${\ displaystyle \ psi (0) = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$

Os componentes de na esfera de Bloch serão simplesmente . Este é um vetor unitário que começa a apontar ao longo e precessa de maneira canhota. Em geral, por uma rotação ao redor , qualquer vetor de estado pode ser representado com coeficientes reais e . Esse vetor de estado corresponde a um vetor de Bloch no plano xz formando um ângulo com o eixo z . Este vetor continuará a precessão . Em teoria, ao permitir que o sistema interaja com o campo de uma determinada direção e intensidade por durações precisas, é possível obter qualquer orientação do vetor de Bloch , o que equivale a obter qualquer superposição complexa. Esta é a base para várias tecnologias, incluindo computação quântica e ressonância magnética . ${\ displaystyle \ psi (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {R} = \ left (\ cos {2 \ omega t}, - \ sin {2 \ omega t}, 0 \ right)}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {x}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {z}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {z}}}$${\ displaystyle \ psi (0)}$${\ displaystyle a \ left | \ uparrow \ right \ rangle + b \ left | \ downarrow \ right \ rangle}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ tan (\ theta / 2) = b / a}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {z}}}$

Evolução em um campo dependente do tempo: ressonância magnética nuclear

A ressonância magnética nuclear (RMN) é um exemplo importante na dinâmica de sistemas de dois estados porque envolve a solução exata para um hamiltoniano dependente do tempo. O fenômeno de NMR é alcançado colocando um núcleo em um campo forte e estático B ₀ (o "campo de retenção") e, em seguida, aplicando um campo transversal fraco B ₁ que oscila em alguma radiofrequência ω _r . Explicitamente, considere uma partícula de spin 1/2 em um campo de espera e um campo rf transversal B ₁ girando no plano xy de forma destra em torno de B ₀ : ${\ displaystyle B_ {0} \ mathbf {\ hat {z}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ begin {pmatrix} B_ {1} \ cos \ omega _ {\ mathrm {r}} t \\ B_ {1} \ sin \ omega _ {\ mathrm {r}} t \\ B_ {0} \ end {pmatriz}}.}$

Como no caso de precessão livre, o hamiltoniano é , e a evolução de um vetor de estado é encontrada resolvendo a equação de Schrödinger dependente do tempo . Após alguma manipulação (dada na seção reduzida abaixo), pode ser mostrado que a equação de Schrödinger torna-se ${\ displaystyle H = - \ mu {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ psi (t)}$${\ displaystyle H \ psi = i \ hbar \, \ partial \ psi / \ partial t}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = i \ left (\ omega _ {1} \ sigma _ {x} + \ left (w_ {0} + {\ frac {\ omega _ {r}} {2}} \ right) \ sigma _ {z} \ right) \ psi,}$

onde e . ${\ displaystyle \ omega _ {0} = \ mu B_ {0} / \ hbar}$${\ displaystyle \ omega _ {1} = \ mu B_ {1} / \ hbar}$

Conforme a seção anterior, a solução para esta equação tem o vetor de Bloch precessando com uma frequência que é duas vezes a magnitude do vetor. Se for suficientemente forte, alguma proporção dos spins estará apontando diretamente para baixo antes da introdução do campo rotativo. Se a frequência angular do campo magnético giratório for escolhida de modo que , no quadro giratório, o vetor de estado terá uma precessão com frequência e, assim, saltará de baixo para cima, liberando energia na forma de fótons detectáveis. Esta é a base fundamental para NMR e, na prática, é realizada por varredura até que a frequência ressonante seja encontrada, ponto em que a amostra emitirá luz. Cálculos semelhantes são feitos em física atômica, e no caso em que o campo não está girando, mas oscilando com uma amplitude complexa, o uso é feito da aproximação de onda giratória para derivar tais resultados. ${\ displaystyle (\ omega _ {1}, 0, \ omega _ {0} + \ omega _ {r} / 2)}$${\ displaystyle \ omega _ {0}}$${\ displaystyle \ omega _ {r} = - 2 \ omega _ {0}}$${\ displaystyle {\ hat {x}}}$${\ displaystyle 2 \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {r}}$

Relação com as equações de Bloch

As equações ópticas de Bloch para uma coleção de partículas de spin 1/2 podem ser derivadas da equação de Schrödinger dependente do tempo para um sistema de dois níveis. Começando com o hamiltoniano declarado anteriormente , ele pode ser escrito em notação de soma após algum rearranjo como ${\ displaystyle i \ hbar \ partial _ {t} \ psi = - \ mu {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {B}} \ psi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = i {\ frac {\ mu} {\ hbar}} \ sigma _ {i} B_ {i} \ psi}$

Multiplicando por uma matriz de Pauli e a transposta conjugada da função de onda, e subsequentemente expandindo o produto de duas matrizes de Pauli, resulta ${\ displaystyle \ sigma _ {i}}$

${\ displaystyle \ psi ^ {\ dagger} \ sigma _ {j} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = i {\ frac {\ mu} {\ hbar}} \ psi ^ {\ punhal} \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} B_ {i} \ psi = i {\ frac {\ mu} {\ hbar}} \ psi ^ {\ punhal} \ left (I \ delta _ {ij } -i \ sigma _ {k} \ varepsilon _ {ijk} \ right) B_ {i} \ psi = {\ frac {\ mu} {\ hbar}} \ psi ^ {\ dagger} \ left (iI \ delta _ {ij} + \ sigma _ {k} \ varepsilon _ {ijk} \ right) B_ {i} \ psi}$

Adicionar esta equação à sua própria transposta conjugada produz um lado esquerdo do formulário

${\ displaystyle \ psi ^ {\ dagger} \ sigma _ {j} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial \ psi ^ {\ dagger}} {\ partial t }} \ sigma _ {j} \ psi = {\ frac {\ partial \ left (\ psi ^ {\ dagger} \ sigma _ {j} \ psi \ right)} {\ partial t}}}$

E um lado direito do formulário

${\ displaystyle {\ frac {\ mu} {\ hbar}} \ psi ^ {\ dagger} \ left (iI \ delta _ {ij} + \ sigma _ {k} \ varepsilon _ {ijk} \ right) B_ { i} \ psi + {\ frac {\ mu} {\ hbar}} \ psi ^ {\ dagger} \ left (-iI \ delta _ {ij} + \ sigma _ {k} \ varepsilon _ {ijk} \ right ) B_ {i} \ psi = {\ frac {2 \ mu} {\ hbar}} \ left (\ psi ^ {\ dagger} \ sigma _ {k} \ psi \ right) B_ {i} \ varepsilon _ { ijk}}$

Como mencionado anteriormente, o valor esperado de cada matriz Pauli é um componente do vector de Bloch , . Igualando os lados esquerdo e direito, e observando que é a razão giromagnética , produz-se outra forma para as equações de movimento do vetor de Bloch${\ displaystyle \ langle \ sigma _ {i} \ rangle = \ psi ^ {\ dagger} \ sigma _ {i} \ psi = R_ {i}}$${\ displaystyle {\ frac {2 \ mu} {\ hbar}}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial R_ {j}} {\ partial t}} = \ gamma R_ {k} B_ {i} \ varepsilon _ {kij}}$

onde o fato de que foi usado. Na forma vetorial, essas três equações podem ser expressas em termos de um produto vetorial${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk} = \ varepsilon _ {kij}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {R}}} {\ partial t}} = \ gamma {\ vec {R}} \ times {\ vec {B}}}$

Classicamente, essa equação descreve a dinâmica de um spin em um campo magnético. Um ímã ideal consiste em uma coleção de spins idênticos que se comportam de forma independente e, portanto, a magnetização total é proporcional ao vetor de Bloch . Tudo o que resta para obter a forma final das equações ópticas de Bloch é a inclusão dos termos de relaxação fenomenológica . ${\ displaystyle {\ vec {M}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {R}}}$

Como um aparte final, a equação acima pode ser derivada considerando a evolução temporal do operador de momento angular na imagem de Heisenberg .

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d \ sigma _ {j}} {dt}} = [\ sigma _ {j}, H] = [\ sigma _ {j}, - \ mu \ sigma _ {i } B_ {i}] = - \ mu \ left (\ sigma _ {j} \ sigma _ {i} B_ {i} - \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} B_ {i} \ right) = \ mu [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] B_ {i} = 2 \ mu i \ varejpsilon _ {ijk} \ sigma _ {k} B_ {i}}$

Quando associada ao fato de que , esta equação é a mesma equação de antes. ${\ displaystyle {\ vec {R_ {i}}} = \ langle \ sigma _ {i} \ rangle}$

Validade

Os sistemas de dois estados são os sistemas quânticos não triviais mais simples que ocorrem na natureza, mas os métodos de análise mencionados acima não são válidos apenas para sistemas simples de dois estados. Qualquer sistema quântico multiestado geral pode ser tratado como um sistema de dois estados, desde que aquele observável em que esteja interessado tenha dois autovalores. Por exemplo, uma partícula de spin 1/2 pode, na realidade, ter graus de liberdade translacionais ou mesmo rotacionais adicionais, mas esses graus de liberdade são irrelevantes para a análise anterior. Matematicamente, os graus de liberdade negligenciados correspondem à degeneração dos autovalores de spin.

Outro caso em que o formalismo de dois estados efetivo é válido é quando o sistema em consideração tem dois níveis que são efetivamente desacoplados do sistema. É o caso da análise da emissão espontânea ou estimulada de luz por átomos e de qubits de carga . Nesse caso, deve-se ter em mente que as perturbações (interações com um campo externo) estão na faixa certa e não causam transições para estados diferentes daqueles de interesse.

Significância e outros exemplos

Pedagogicamente, o formalismo de dois estados está entre as técnicas matemáticas mais simples utilizadas para a análise de sistemas quânticos. Ele pode ser usado para ilustrar os fenómenos de mecânica quântica fundamental, tal como a interferência exibida pelas partículas dos estados de polarização do fotão, mas também fenómenos mais complexos, tais como neutrino oscilação ou o neutro K-mesões oscilação.

O formalismo de dois estados pode ser usado para descrever uma mistura simples de estados, o que leva a fenômenos como a estabilização de ressonância e outras simetrias relacionadas ao cruzamento de níveis . Esses fenômenos têm uma ampla variedade de aplicações na química. Fenômenos com tremendas aplicações industriais, como o maser e o laser, podem ser explicados usando o formalismo de dois estados.

O formalismo de dois estados também forma a base da computação quântica . Qubits , que são os blocos de construção de um computador quântico, nada mais são do que sistemas de dois estados. Qualquer operação computacional quântica é uma operação unitária que gira o vetor de estado na esfera de Bloch.

Leitura adicional

• Um excelente tratamento do formalismo de dois estados e sua aplicação a quase todas as aplicações mencionadas neste artigo é apresentado no terceiro volume de The Feynman Lectures on Physics .
• O seguinte conjunto de notas de aula cobre a matemática necessária e também trata alguns exemplos com alguns detalhes:
  • do curso de mecânica quântica II oferecido no MIT , http://web.mit.edu/8.05/handouts/Twostates_03.pdf
  • do mesmo curso que trata da oscilação de partículas neutras, http://web.mit.edu/8.05/handouts/nukaon_07.pdf
  • do curso de mecânica quântica I oferecido no TIFR , http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand4.pdf cobre a matemática essencial
  • http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand5.pdf  ; do mesmo curso trata de alguns sistemas físicos de dois estados e outros aspectos importantes do formalismo
  • a matemática na seção inicial é feita de maneira semelhante a estas notas http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qubit.pdf , que são do curso de Mecânica Quântica para Matemáticos oferecido na Universidade de Columbia .
  • uma versão em livro do mesmo; http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf
  • Sistemas de dois estados e as duas esferas, RJ Plymen, Il Nuovo Cimento B 13 (1973) 55-58

Veja também

• Ciclo Rabi
• Doublet
• Ressonância magnética nuclear
• Óptica quântica

Referências