Mínimo-variância estimador - Minimum-variance unbiased estimator

Em estatísticas um estimador de mínimos-variância imparcial (MVUE) ou uniformemente mínima-variância estimador (UMVUE) é um estimador que tem variação menor do que qualquer outro estimador imparcial para todos os valores possíveis do parâmetro.

Para problemas de estatísticas práticos, é importante para determinar o MVUE se existir, uma vez que procedimentos menos-que-ideal seria naturalmente ser evitado, outras coisas sendo iguais. Isto levou a um desenvolvimento substancial da teoria estatística relacionada com o problema de estimação ideal.

Ao combinar a restrição de enviesamento com a métrica de conveniência menos variação conduz a bons resultados em mais práticos configurações de tomada MVUE um ponto de partida natural para uma ampla gama de análises-uma especificação alvo podem produzir melhores resultados para um determinado problema; Assim, MVUE nem sempre é o melhor ponto de parada.

Definição

Considere estimativa de base em dados iid de algum membro de uma família de densidades , onde é o espaço de parâmetros. Um estimador de é UMVUE se ,

para qualquer outro estimador

Se um imparcial estimador de existir, então pode-se provar que não é um MVUE essencialmente único. Usando o teorema de Rao-Blackwell também se pode provar que a determinação da MVUE é simplesmente uma questão de encontrar uma completa suficiente estatística para a família e condicionamento qualquer estimador imparcial sobre ele.

Além disso, pelo teorema Lehmann-Scheffé , um estimador que é uma função de uma estatística completo, suficiente é o estimador UMVUE.

Coloque formalmente, suponha que é imparcial para , e que é uma estatística suficiente completa para a família de densidades. Então

é o MVUE para

Um Bayesiana analógico é um estimador de Bayes , particularmente com erro médio quadrático mínimo (MMSE).

selecção estimador

Um estimador eficiente não precisa existir, mas se isso acontecer e se é imparcial, é o MVUE. Uma vez que o erro quadrático médio (MSE) de um estimador δ é

o MVUE minimiza MSE entre avaliadores imparciais . Em alguns casos tendenciosa estimadores têm menor MSE porque eles têm uma variação menor do que qualquer estimador; ver viés estimador .

Exemplo

Considere os dados para ser uma única observação a partir de uma distribuição absolutamente contínua em com a densidade

e queremos encontrar o estimador UMVU de

Em primeiro lugar, reconhecer que a densidade pode ser escrita como

Que é uma família exponencial com estatística suficiente . Na verdade este é um ranking família exponencial integral, e, portanto, está completo o suficiente. Veja família exponencial para uma derivação que mostra

Assim sendo,

Aqui usamos Lehmann-Scheffé teorema para obter o MVUE

Claramente é imparcial e está completo suficiente, portanto, o estimador UMVU é

Este exemplo ilustra que uma função imparcial da estatística suficiente completa será UMVU, como teorema Lehmann-Scheffé estados.

outros exemplos

onde m é o máximo da amostra . Este é um dimensionado e deslocado (modo imparcial) transformar o máximo de amostra, o que é uma estatística suficiente e completa. Veja problema tanque alemão para mais detalhes.

Veja também

análogos Bayesian

Referências

  • Keener, Robert W. (2006). Teoria Estatística: Notas para um curso em Estatística teóricos . Springer. pp. 47-48, 57-58.
  • Voinov VG ,, Nikulin MS (1993). Estimadores imparciais e suas aplicações, Vol.1: caso univariada . Kluwer Academic Publishers. pp. 521P.