Mínimo-variância estimador - Minimum-variance unbiased estimator
Em estatísticas um estimador de mínimos-variância imparcial (MVUE) ou uniformemente mínima-variância estimador (UMVUE) é um estimador que tem variação menor do que qualquer outro estimador imparcial para todos os valores possíveis do parâmetro.
Para problemas de estatísticas práticos, é importante para determinar o MVUE se existir, uma vez que procedimentos menos-que-ideal seria naturalmente ser evitado, outras coisas sendo iguais. Isto levou a um desenvolvimento substancial da teoria estatística relacionada com o problema de estimação ideal.
Ao combinar a restrição de enviesamento com a métrica de conveniência menos variação conduz a bons resultados em mais práticos configurações de tomada MVUE um ponto de partida natural para uma ampla gama de análises-uma especificação alvo podem produzir melhores resultados para um determinado problema; Assim, MVUE nem sempre é o melhor ponto de parada.
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Definição
Considere estimativa de base em dados iid de algum membro de uma família de densidades , onde é o espaço de parâmetros. Um estimador de é UMVUE se ,
para qualquer outro estimador
Se um imparcial estimador de existir, então pode-se provar que não é um MVUE essencialmente único. Usando o teorema de Rao-Blackwell também se pode provar que a determinação da MVUE é simplesmente uma questão de encontrar uma completa suficiente estatística para a família e condicionamento qualquer estimador imparcial sobre ele.
Além disso, pelo teorema Lehmann-Scheffé , um estimador que é uma função de uma estatística completo, suficiente é o estimador UMVUE.
Coloque formalmente, suponha que é imparcial para , e que é uma estatística suficiente completa para a família de densidades. Então
é o MVUE para
Um Bayesiana analógico é um estimador de Bayes , particularmente com erro médio quadrático mínimo (MMSE).
selecção estimador
Um estimador eficiente não precisa existir, mas se isso acontecer e se é imparcial, é o MVUE. Uma vez que o erro quadrático médio (MSE) de um estimador δ é
o MVUE minimiza MSE entre avaliadores imparciais . Em alguns casos tendenciosa estimadores têm menor MSE porque eles têm uma variação menor do que qualquer estimador; ver viés estimador .
Exemplo
Considere os dados para ser uma única observação a partir de uma distribuição absolutamente contínua em com a densidade
e queremos encontrar o estimador UMVU de
Em primeiro lugar, reconhecer que a densidade pode ser escrita como
Que é uma família exponencial com estatística suficiente . Na verdade este é um ranking família exponencial integral, e, portanto, está completo o suficiente. Veja família exponencial para uma derivação que mostra
Assim sendo,
Aqui usamos Lehmann-Scheffé teorema para obter o MVUE
Claramente é imparcial e está completo suficiente, portanto, o estimador UMVU é
Este exemplo ilustra que uma função imparcial da estatística suficiente completa será UMVU, como teorema Lehmann-Scheffé estados.
outros exemplos
- Para uma distribuição normal com média desconhecida e variância, a média da amostra e (imparcial) variância da amostra são os MVUEs para a média da população e variância da população.
- No entanto, o desvio padrão da amostra não é imparcial para o desvio padrão da população - ver estimativa imparcial do desvio padrão .
- Além disso, para outras distribuições a média da amostra e a variância da amostra não são em MVUEs gerais - para uma distribuição uniforme com limites superiores e inferiores desconhecidos, a meio da gama , é a MVUE para a média da população.
- Se k exemplares são escolhidos (sem substituição) a partir de uma distribuição uniforme discreta sobre o conjunto {1, 2, ..., N } com desconhecido limite superior N , o MVUE para N está
- onde m é o máximo da amostra . Este é um dimensionado e deslocado (modo imparcial) transformar o máximo de amostra, o que é uma estatística suficiente e completa. Veja problema tanque alemão para mais detalhes.
Veja também
análogos Bayesian
Referências
- Keener, Robert W. (2006). Teoria Estatística: Notas para um curso em Estatística teóricos . Springer. pp. 47-48, 57-58.
- Voinov VG ,, Nikulin MS (1993). Estimadores imparciais e suas aplicações, Vol.1: caso univariada . Kluwer Academic Publishers. pp. 521P.