Formulação Udwadia – Kalaba - Udwadia–Kalaba formulation

Na mecânica clássica , a formulação Udwadia – Kalaba é um método para derivar as equações de movimento de um sistema mecânico restrito . O método foi descrito pela primeira vez por Firdaus E. Udwadia e Robert E. Kalaba em 1992. A abordagem é baseada no princípio da menor restrição de Gauss . O método Udwadia-Kalaba se aplica a restrições holonômicas e não holonômicas , desde que sejam lineares em relação às acelerações. O método generaliza para restringir forças que não obedecem ao princípio de D'Alembert .

Fundo

A equação Udwadia – Kalaba foi desenvolvida em 1992 e descreve o movimento de um sistema mecânico restrito que está sujeito a restrições de igualdade.

Isso difere do formalismo de Lagrange, que usa os multiplicadores de Lagrange para descrever o movimento de sistemas mecânicos restritos e outras abordagens semelhantes, como a abordagem de Gibbs-Appell . A interpretação física da equação tem aplicações em áreas além da física teórica, como o controle de sistemas dinâmicos gerais altamente não lineares.

O problema central do movimento restrito

No estudo da dinâmica de sistemas mecânicos, a configuração de um dado sistema S é, em geral, completamente descrita por n coordenadas generalizadas de forma que sua coordenada generalizada n -vetor é dada por

{\ displaystyle \ mathbf {q}: = [q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n}] ^ {\ mathrm {T}}.}

onde T denota a transposição da matriz . Usando a dinâmica Newtoniana ou Lagrangiana , as equações irrestritas de movimento do sistema S em estudo podem ser derivadas como uma equação de matriz (ver multiplicação de matriz ):

Equações de movimento Udwadia-Kalaba ( irrestrito )

${\ displaystyle \ mathbf {M} (q, t) {\ ddot {\ mathbf {q}}} (t) = \ mathbf {Q} (q, {\ dot {q}}, t) \ ,,}$

onde os pontos representam derivadas em relação ao tempo :

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {dq_ {i}} {dt}} \,}

É assumido que as condições iniciais q (0) e são conhecidas. Chamamos o sistema de S irrestrito porque pode ser atribuído arbitrariamente. ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} (0)}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} (0)}$

O n- vetor Q denota a força generalizada total atuada no sistema por alguma influência externa; pode ser expresso como a soma de todas as forças conservativas , bem como das forças não conservativas.

O n -by- n matriz H é simétrico , e que pode ser definida positiva ou semi-definida positiva . Normalmente, assume-se que M é definido positivo; entretanto, não é incomum derivar as equações irrestritas de movimento do sistema S de tal forma que M é apenas semi-positivo definido; ou seja, a matriz de massa pode ser singular (não tem matriz inversa ). ${\ displaystyle (\ mathbf {M}> 0)}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {M} \ geq 0)}$

Restrições

Agora assumimos que o sistema irrestrito S está sujeito a um conjunto de m restrições de igualdade consistentes dadas por

{\ displaystyle \ mathbf {A} (q, {\ dot {q}}, t) {\ ddot {\ mathbf {q}}} = \ mathbf {b} (q, {\ dot {q}}, t ),}

onde A é uma matriz m -by- n conhecida de classificação r e b é um vetor m conhecido . Notamos que este conjunto de equações de restrição abrange uma variedade muito geral de restrições de igualdade holonômicas e não holonômicas . Por exemplo, restrições holonômicas da forma

{\ displaystyle \ varphi (q, t) = 0}

pode ser diferenciado duas vezes em relação ao tempo, enquanto as restrições não holonômicas da forma

{\ displaystyle \ psi (q, {\ dot {q}}, t) = 0}

pode ser diferenciado uma vez em relação ao tempo para obter a matriz A m -by- n e o vetor m b . Em suma, podem ser especificadas restrições que são

funções não lineares de deslocamento e velocidade,
explicitamente dependente do tempo, e
funcionalmente dependente.

Como consequência de sujeitar essas restrições ao sistema irrestrito S , uma força adicional é conceitualizada para surgir, a saber, a força de restrição. Portanto, o sistema restrito S _c torna-se

Equações de movimento Udwadia-Kalaba ( restrito )

${\ displaystyle \ mathbf {M} {\ ddot {\ mathbf {q}}} = \ mathbf {Q} + \ mathbf {Q} _ {c} (q, {\ dot {q}}, t),}$

onde Q _c - a força de restrição - é a força adicional necessária para satisfazer as restrições impostas. O problema central do movimento restrito é agora afirmado da seguinte forma:

dadas as equações irrestritas de movimento do sistema S ,
dado o deslocamento generalizado q ( t ) e a velocidade generalizada do sistema restrito S _c no tempo t , e ${\ displaystyle {\ dot {q}} (t)}$
dadas as restrições no formulário conforme indicado acima, ${\ displaystyle \ mathbf {A} {\ ddot {q}} = \ mathbf {b}}$

encontre as equações de movimento para o sistema restrito - a aceleração - no tempo t , que está de acordo com os princípios acordados de dinâmica analítica.

Notação

Abaixo, para definido positivo , denota o inverso de sua raiz quadrada , definida como ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} ^ {- 1/2}}$

{\ displaystyle \ mathbf {M} ^ {- 1/2} = \ mathbf {W} \ mathbf {\ Lambda} ^ {- 1/2} \ mathbf {W} ^ {T}}

,

onde é a matriz ortogonal que surge da autocomposição (cujas linhas consistem em autovetores adequadamente selecionados de ), e é a matriz diagonal cujos elementos diagonais são as raízes quadradas inversas dos autovalores correspondentes aos autovetores em . ${\ displaystyle \ mathbf {W}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Lambda} ^ {- 1/2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {W}}$

Equação de movimento

A solução para este problema central é dada pela equação Udwadia – Kalaba. Quando a matriz M é definida positiva, a equação do movimento do sistema restrito S _c , a cada instante de tempo, é

{\ displaystyle \ mathbf {M} {\ ddot {\ mathbf {q}}} = \ mathbf {Q} + \ mathbf {M} ^ {1/2} \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ right) ^ {+} (\ mathbf {b} - \ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1} \ mathbf {Q}),}

onde o símbolo '+' denota o pseudoinverso da matriz . A força de restrição é, portanto, dada explicitamente como ${\ displaystyle \ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1/2}}$

{\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {c} = \ mathbf {M} ^ {1/2} \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ right) ^ {+ } (\ mathbf {b} - \ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1} \ mathbf {Q}),}

e uma vez que a matriz M é definida positivamente, a aceleração generalizada do sistema restrito S _c é determinada explicitamente por

{\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {q}}} = \ mathbf {M} ^ {- 1} \ mathbf {Q} + \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ left (\ mathbf {A } \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ right) ^ {+} (\ mathbf {b} - \ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1} \ mathbf {Q}).}

No caso de a matriz M ser semi-positiva definida , a equação acima não pode ser usada diretamente porque M pode ser singular. Além disso, as acelerações generalizadas podem não ser únicas, a menos que a matriz ( n + m ) -by- n ${\ displaystyle (\ mathbf {M} \ geq 0)}$

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {M}}} = \ left [{\ begin {array} {c} \ mathbf {M} \\\ mathbf {A} \ end {array}} \ right]}

tem classificação completa (classificação = n ). Mas, uma vez que as acelerações observadas de sistemas mecânicos na natureza são sempre únicas, esta condição de classificação é uma condição necessária e suficiente para obter as acelerações generalizadas exclusivamente definidas do sistema restrito S _c em cada instante de tempo. Assim, quando tem classificação completa, as equações de movimento do sistema restrito S _c em cada instante de tempo são exclusivamente determinadas por (1) criar o sistema irrestrito auxiliar ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {M}}}}$

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} {\ ddot {\ mathbf {q}}}: ​​= (\ mathbf {M} + \ mathbf {A} ^ {+} \ mathbf {A} ) {\ ddot {\ mathbf {q}}} = \ mathbf {Q} + \ mathbf {A} ^ {+} \ mathbf {b}: = \ mathbf {Q} _ {\ mathbf {b}},}

e (2) aplicando a equação fundamental de movimento restrito a este sistema auxiliar não restrito de modo que as equações auxiliares restritas de movimento sejam explicitamente dadas por

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} {\ ddot {\ mathbf {q}}} = \ mathbf {Q} _ {\ mathbf {b}} + \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {1/2} (\ mathbf {A} \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {- 1/2}) ^ {+} (\ mathbf {b} - \ mathbf {A} \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {- 1} \ mathbf {Q} _ {\ mathbf {b}}).}

Além disso, quando a matriz tem posto completo, a matriz é sempre definida positiva. Isso produz, explicitamente, as acelerações generalizadas do sistema restrito S _c como ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {M}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}}}$

{\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {q}}} = \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {- 1} \ mathbf {Q} _ {\ mathbf {b}} + \ mathbf { M} _ {\ mathbf {A}} ^ {- 1/2} (\ mathbf {A} \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {- 1/2}) ^ {+} (\ mathbf {b} - \ mathbf {A} \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {- 1} \ mathbf {Q} _ {\ mathbf {b}}).}

Esta equação é válida quando a matriz M é definida positiva ou semi-definida positiva. Além disso, a força de restrição que faz com que o sistema restrito S _c - um sistema que pode ter uma matriz de massa singular M - satisfaça as restrições impostas é explicitamente dada por

{\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {c} = \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {1/2} (\ mathbf {A} \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A} } ^ {- 1/2}) ^ {+} (\ mathbf {b} - \ mathbf {A} \ mathbf {M} _ {\ mathbf {A}} ^ {- 1} \ mathbf {Q} _ { \ mathbf {b}}).}

Restrições não ideais

A qualquer momento durante o movimento, podemos considerar perturbar o sistema por um deslocamento virtual δ r consistente com as restrições do sistema. O deslocamento pode ser reversível ou irreversível. Se o deslocamento for irreversível, então realiza um trabalho virtual . Podemos escrever a obra virtual do deslocamento como

{\ displaystyle W_ {c} (t) = \ mathbf {C} ^ {\ mathrm {T}} (q, {\ dot {q}}, t) \ delta \ mathbf {r} (t)}

O vetor descreve a não idealidade da obra virtual e pode estar relacionado, por exemplo, às forças de atrito ou arrasto (tais forças dependem da velocidade). Este é um princípio de D'Alembert generalizado , onde a forma usual do princípio tem desaparecimento do trabalho virtual com . ${\ displaystyle \ mathbf {C} (q, {\ dot {q}}, t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C} (q, {\ dot {q}}, t) = 0}$

A equação Udwadia-Kalaba é modificada por um termo de restrição não ideal adicional para

{\ displaystyle \ mathbf {M} {\ ddot {\ mathbf {q}}} = \ mathbf {Q} + \ mathbf {M} ^ {1/2} \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ right) ^ {+} (\ mathbf {b} - \ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1} \ mathbf {Q}) + \ mathbf {M} ^ { 1/2} \ left [\ mathbf {I} - \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ right) ^ {+} \ mathbf {A} \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ right] \ mathbf {M} ^ {- 1/2} \ mathbf {C}}

Exemplos

Problema de Kepler inverso

O método pode resolver o problema de Kepler inverso de determinar a lei de força que corresponde às órbitas que são seções cônicas . Consideramos que não há forças externas (nem mesmo a gravidade) e, em vez disso, restringimos o movimento da partícula para seguir as órbitas da forma

{\ displaystyle r = \ varepsilon x + \ ell}

onde , é a excentricidade, e é o reto semi-latus. Diferenciar duas vezes em relação ao tempo e reorganizar ligeiramente cria uma restrição ${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ textstyle \ ell}$

{\ displaystyle (xr \ varepsilon) {\ ddot {x}} + y {\ ddot {y}} = - {\ frac {(x {\ dot {y}} - y {\ dot {x}}) ^ {2}} {r ^ {2}}}}

Presumimos que o corpo tem uma massa simples e constante. Também assumimos que o momento angular sobre o foco é conservado como

{\ displaystyle m (x {\ dot {y}} - y {\ dot {x}}) = L}

com derivada do tempo

{\ displaystyle x {\ ddot {y}} - y {\ ddot {x}} = 0}

Podemos combinar essas duas restrições na equação da matriz

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} xr \ varepsilon & y \\ y & -x \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ ddot {x}} \\ {\ ddot {y}} \ end {pmatrix }} = {\ begin {pmatrix} - {\ frac {L ^ {2}} {m ^ {2} r ^ {2}}} \\ 0 \ end {pmatrix}}}

A matriz de restrição tem o inverso

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} xr \ varepsilon & y \\ y & -x \ end {pmatrix}} ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ ell r}} {\ begin {pmatrix} x & y \ \ y & - (xr \ varepsilon) \ end {pmatrix}}}

A força de restrição é, portanto, a esperada lei do inverso do quadrado central

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {c} = m \ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {b} = {\ frac {m} {\ ell r}} {\ begin {pmatrix} x & y \ \ y & - (xr \ varepsilon) \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} - {\ frac {L ^ {2}} {m ^ {2} r ^ {2}}} \\ 0 \ end { pmatriz}} = - {\ frac {L ^ {2}} {m \ ell r ^ {2}}} {\ begin {pmatriz} \ cos \ theta \\\ sin \ theta \ end {pmatriz}}}

Plano inclinado com fricção

Considere um pequeno bloco de massa constante em um plano inclinado em um ângulo acima da horizontal. A restrição de que o bloco se encontra no plano pode ser escrita como ${\ displaystyle \ alpha}$

{\ displaystyle y = x \ tan \ alpha}

Depois de tomar duas derivadas de tempo, podemos colocar isso em uma forma de equação de matriz de restrição padrão

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} - \ tan \ alpha & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ ddot {x}} \\ {\ ddot {y}} \ end {pmatrix}} = 0}

A matriz de restrição tem pseudoinverso

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} - \ tan \ alpha & 1 \ end {pmatrix}} ^ {+} = \ cos ^ {2} \ alpha {\ begin {pmatrix} - \ tan \ alpha \\ 1 \ end {pmatrix}}}

Permitimos que haja um atrito deslizante entre o bloco e o plano inclinado. Parametrizamos esta força por um coeficiente de atrito padrão multiplicado pela força normal

{\ displaystyle \ mathbf {C} = - \ mu mg \ cos \ alpha \ operatorname {sgn} {\ dot {y}} {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha \\\ sin \ alpha \ end {pmatrix} }}

Enquanto a força da gravidade é reversível, a força de atrito não é. Por conseguinte, o trabalho virtual associado com um deslocamento virtual irá depender C . Podemos resumir as três forças (externa, restrição ideal e restrição não ideal) da seguinte forma:

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ text {ext}} = \ mathbf {Q} = -mg {\ begin {pmatriz} 0 \\ y \ end {pmatriz}}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {c, i} = - \ mathbf {A} ^ {+} \ mathbf {A} \ mathbf {Q} = mg \ cos ^ {2} \ alpha {\ begin {pmatrix } - \ tan \ alpha \\ 1 \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatrix} - \ tan \ alpha & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 \\ y \ end {pmatrix}} = mg {\ begin {pmatriz} - \ sin \ alpha \ cos \ alpha \\\ cos ^ {2} \ alpha \ end {pmatriz}}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {c, ni} = (\ mathbf {I} - \ mathbf {A} ^ {+} \ mathbf {A}) \ mathbf {C} = - \ mu mg \ cos \ alpha \ operatorname {sgn} {\ dot {y}} \ left [{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} - \ cos ^ {2} \ alpha {\ begin {pmatrix} - \ tan \ alpha \\ 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} - \ tan \ alpha & 1 \ end {pmatrix}} \ right] = - \ mu mg \ cos \ alpha \ operatorname {sgn} {\ dot { y}} {\ begin {pmatrix} \ cos ^ {2} \ alpha \\\ sin \ alpha \ cos \ alpha \ end {pmatrix}}}

Combinando o acima, descobrimos que as equações de movimento são

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ ddot {x}} \\ {\ ddot {y}} \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {m}} \ left (\ mathbf {F} _ {\ text {ext}} + \ mathbf {F} _ {c, i} + \ mathbf {F} _ {c, ni} \ right) = - g \ left (\ sin \ alpha + \ mu \ cos \ alpha \ operatorname {sgn} {\ dot {y}} \ right) {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha \\\ sin \ alpha \ end {pmatrix}}}

É como uma aceleração constante para baixo devido à gravidade com uma ligeira modificação. Se o bloco está se movendo para cima no plano inclinado, o atrito aumenta a aceleração para baixo. Se o bloco está se movendo para baixo no plano inclinado, o atrito reduz a aceleração para baixo.

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