Ultrafiltro - Ultrafilter

A rede powerset do conjunto {1,2,3,4}, com o conjunto superior ↑ {1,4} colorido em verde escuro. É um filtro principal , mas não um ultrafiltro , pois pode ser estendido ao filtro não trivial maior ↑ {1}, incluindo também os elementos verdes claros. Como ↑ {1} não pode ser estendido mais, é um ultrafiltro.

No matemático campo da teoria fim , um ultrafiltro sobre um dado conjunto parcialmente ordenada (ou "CPO") é de um certo subconjunto de , ou seja, um mimo de filtro sobre , isto é, um filtro apropriado em que não pode ser alargada a um filtro adequado maior em .

Se for um conjunto arbitrário, seu conjunto de potência ordenado por inclusão de conjunto é sempre uma álgebra booleana e, portanto, um poset, e os ultrafiltros são geralmente chamados de ultrafiltros no conjunto . Um ultrafiltro em um conjunto pode ser considerado uma medida finitamente aditiva em . Nesta visão, cada subconjunto de é considerado " quase tudo " (tem medida 1) ou "quase nada" (tem medida 0), dependendo se pertence ao ultrafiltro fornecido ou não.

Os ultrafiltros têm muitas aplicações na teoria dos conjuntos, teoria dos modelos e topologia .

Ultrafiltros em pedidos parciais

Na teoria da ordem , um ultrafiltro é um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado que é máximo entre todos os filtros apropriados . Isso implica que qualquer filtro que contenha adequadamente um ultrafiltro deve ser igual a todo o poset.

Formalmente, se for um conjunto, parcialmente ordenado até então

  • um subconjunto é chamado um filtro no caso
    • não é vazio,
    • para cada existe algum elemento tal que e e
    • para todos e implica que está dentro também;
  • um subconjunto próprio de é chamado de um ultrafiltro sobre se
    • é um filtro ativado e
    • não há nenhum filtro adequado no que se prolonga apropriadamente (isto é, de tal modo que é um subconjunto apropriado de ).

Tipos e existência de ultrafiltros

Cada ultrafiltro se enquadra exatamente em uma de duas categorias: principal e gratuito. Um ultrafiltro principal (ou fixo ou trivial ) é um filtro que contém um elemento mínimo . Consequentemente, os ultrafiltros principais têm a forma de alguns (mas não todos) elementos do poset fornecido. Neste caso, é denominado o elemento principal do ultrafiltro. Qualquer ultrafiltro que não seja principal é chamado de ultrafiltro gratuito (ou não principal ).

Para ultrafiltros em um conjunto de potência, um ultrafiltro principal consiste em todos os subconjuntos que contêm um determinado elemento. Cada ultrafiltro que também é um filtro principal tem essa forma. Portanto, um ultrafiltro ligado é principal se, e somente se, contiver um conjunto finito. Se é infinito, um ultrafiltro no é, por conseguinte, não principal, se e apenas se contiver o filtro Fréchet de subconjuntos cofinite de Se é finito, cada ultrafiltro é o principal.

Cada filtro em uma álgebra booleana (ou mais geralmente, qualquer subconjunto com a propriedade de interseção finita ) está contido em um ultrafiltro (ver lema do ultrafiltro ) e que ultrafiltros livres existem, mas as provas envolvem o axioma de escolha ( AC ) na forma do lema de Zorn . Por outro lado, a afirmação de que todo filtro está contido em um ultrafiltro não implica AC . Na verdade, é equivalente ao teorema ideal primo booleano ( BPIT ), um ponto intermediário bem conhecido entre os axiomas da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel ( ZF ) e a teoria de ZF aumentada pelo axioma de escolha ( ZFC ). Em geral, as provas envolvendo o axioma da escolha não produzem exemplos explícitos de ultrafiltros livres, embora seja possível encontrar exemplos explícitos em alguns modelos de ZFC ; por exemplo, Gödel mostrou que isso pode ser feito no universo construtível, onde se pode escrever uma função de escolha global explícita. Em ZF, sem o axioma de escolha, é possível que todo ultrafiltro seja o principal.

Ultrafiltro em uma álgebra booleana

Um caso especial importante do conceito ocorre se o poset considerado é uma álgebra booleana . Neste caso, os ultrafiltros são caracterizados por conter, para cada elemento da álgebra booleana, exatamente um dos elementos e ¬ (sendo este último o complemento booleano de ):

Se for uma álgebra booleana e for um filtro adequado , as seguintes declarações são equivalentes:

  1. é um ultrafiltro ligado
  2. é um filtro principal em
  3. para cada um ou (¬ )

Uma prova de 1. ⇔ 2. também é fornecida em (Burris, Sankappanavar, 2012, Corolário 3.13, p.133).

Além disso, os ultrafiltros em uma álgebra booleana podem ser relacionados a ideais máximos e homomorfismos à álgebra booleana de 2 elementos {verdadeiro, falso} (também conhecido como morfismos de 2 valores ) como segue:

  • Dado um homomorfismo de uma álgebra booleana para {verdadeiro, falso}, a imagem inversa de "verdadeiro" é um ultrafiltro e a imagem inversa de "falso" é um ideal máximo.
  • Dado um ideal máximo de uma álgebra booleana, seu complemento é um ultrafiltro, e há um homomorfismo único para {verdadeiro, falso} levando o ideal máximo para "falso".
  • Dado um ultrafiltro em uma álgebra booleana, seu complemento é um ideal máximo, e há um homomorfismo único em {verdadeiro, falso} levando o ultrafiltro a "verdadeiro".

Ultrafiltro no conjunto de potência de um conjunto

Dado um conjunto arbitrário, seu conjunto de potência ordenado por inclusão de conjunto , é sempre uma álgebra booleana; daí os resultados da seção acima Caso especial: aplica-se a álgebra booleana . Um (ultra) filtro ativado é geralmente chamado de "(ultra) filtro ativado ". As definições formais acima podem ser particularizadas para o caso do conjunto de poderes da seguinte forma:

Dado um conjunto arbitrário, um ultrafiltro é um conjunto que consiste em subconjuntos de tais que:

  1. O conjunto vazio não é um elemento de
  2. Se e são subconjuntos do conjunto é um subconjunto de e é um elemento de, então também é um elemento de
  3. Se e são elementos de então, então é a interseção de e
  4. Se for um subconjunto de então, ou seu complemento relativo é um elemento de

Outra maneira de encarar ultrafiltros sobre um conjunto de alimentação é como se segue: para um dado ultrafiltro definir uma função em por definição , se é um elemento de e de outra forma. Essa função é chamada de morfismo de 2 valores . Então é finitamente aditivo e, portanto, um conteúdo sobre e todas as propriedades dos elementos de é verdadeiro em quase todos os lugares ou falso em quase todos os lugares. No entanto, geralmente não é contável aditivo e, portanto, não define uma medida no sentido usual.

Para um filtro que não é um ultrafiltro, diríamos se e se deixando indefinido em outro lugar.

Formulários

Ultrafiltros em conjuntos de potência são úteis em topologia , especialmente em relação a espaços compactos de Hausdorff , e na teoria de modelos na construção de ultraprodutos e ultrapoderes . Cada ultrafiltro em um espaço compacto de Hausdorff converge para exatamente um ponto. Da mesma forma, ultrafiltros em álgebras booleanas desempenham um papel central no teorema da representação de Stone .

O conjunto de todos os ultrafiltros de um poset pode ser topologizado de forma natural, o que de fato está intimamente relacionado ao teorema da representação acima mencionado. Para qualquer elemento de , deixe Isto é mais útil quando é novamente uma álgebra booleana, uma vez que nesta situação o conjunto de todos é uma base para uma topologia compacta de Hausdorff em . Especialmente, ao considerar os ultrafiltros em um conjunto de energia, o espaço topológico resultante é a compactação Stone-Čech de um espaço discreto de cardinalidade

A construção de ultraprodutos na teoria do modelo usa ultrafiltros para produzir extensões elementares de estruturas. Por exemplo, ao construir números hiperreais como um ultraproduto dos números reais , o domínio do discurso é estendido dos números reais às sequências de números reais. Este espaço de sequência é considerado um superconjunto dos reais, identificando cada real com a sequência constante correspondente. Para estender as funções e relações familiares (por exemplo, + e <) dos reais aos hiperreais, a ideia natural é defini-los pontualmente. Mas isso perderia propriedades lógicas importantes dos reais; por exemplo, pointwise <não é uma ordenação total. Portanto, em vez disso, as funções e relações são definidas " módulo pontual " , onde é um ultrafiltro no conjunto de índice das sequências; pelo teorema de Łoś ' , isso preserva todas as propriedades dos reais que podem ser declaradas na lógica de primeira ordem . Se não for principal, a extensão assim obtida não será trivial.

Na teoria geométrica do grupo , os ultrafiltros não principais são usados ​​para definir o cone assintótico de um grupo. Essa construção produz uma maneira rigorosa de considerar olhar o grupo do infinito , que é a geometria em grande escala do grupo. Os cones assintóticos são exemplos particulares de ultralimites de espaços métricos .

A prova ontológica de Gödel da existência de Deus usa como axioma que o conjunto de todas as "propriedades positivas" é um ultrafiltro.

Na teoria da escolha social , ultrafiltros não principais são usados ​​para definir uma regra (chamada de função de bem-estar social ) para agregar as preferências de um número infinito de indivíduos. Ao contrário do teorema da impossibilidade de Arrow para um número finito de indivíduos, tal regra satisfaz as condições (propriedades) que Arrow propõe (por exemplo, Kirman e Sondermann, 1972). Mihara (1997, 1999) mostra, entretanto, que tais regras são de interesse praticamente limitado para cientistas sociais, uma vez que não são algorítmicas ou não computáveis.

Veja também

Notas

Referências

Bibliografia

Leitura adicional