Incorrelação (teoria da probabilidade) - Uncorrelatedness (probability theory)

Em teoria da probabilidade e estatísticas , dois valores reais variáveis aleatórias , , , estão a ser dito não correlacionadas se a sua covariância , é zero. Se duas variáveis ​​não estiverem correlacionadas, não haverá relação linear entre elas. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ operatorname {cov} [X, Y] = \ operatorname {E} [XY] - \ operatorname {E} [X] \ operatorname {E} [Y]}$

Variáveis ​​aleatórias não correlacionadas têm um coeficiente de correlação de Pearson de zero, exceto no caso trivial quando qualquer uma das variáveis ​​tem variância zero (é uma constante). Neste caso, a correlação é indefinida.

Em geral, uncorrelatedness não é o mesmo que ortogonalidade , excepto no caso especial em que, pelo menos, uma das duas variáveis aleatórias tem um valor esperado de 0. Neste caso, a covariância é a expectativa do produto, e e não estão correlacionados se e somente se . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [XY] = 0}$

Se e forem independentes , com segundos momentos finitos , então eles não estão correlacionados. No entanto, nem todas as variáveis ​​não correlacionadas são independentes. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Definição

Definição para duas variáveis ​​aleatórias reais

Duas variáveis ​​aleatórias são chamadas de não correlacionadas se sua covariância for zero. Formalmente: ${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle \ operatorname {Cov} [X, Y] = \ operatorname {E} [(X- \ operatorname {E} [X]) (Y- \ operatorname {E} [Y])]}$

Definição para duas variáveis ​​aleatórias complexas

Duas variáveis ​​aleatórias complexas são chamadas de não correlacionadas se sua covariância e sua pseudo-covariância for zero, ou seja, ${\ displaystyle Z, W}$${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {ZW} = \ operatorname {E} [(Z- \ operatorname {E} [Z]) {\ overline {(W- \ operatorname {E} [W])}}] }$${\ displaystyle \ operatorname {J} _ {ZW} = \ operatorname {E} [(Z- \ operatorname {E} [Z]) (W- \ operatorname {E} [W])]}$

${\ displaystyle Z, W {\ text {não correlacionado}} \ quad \ iff \ quad \ operatorname {E} [Z {\ overline {W}}] = \ operatorname {E} [Z] \ cdot \ operatorname {E} [{\ overline {W}}] {\ text {e}} \ operatorname {E} [ZW] = \ operatorname {E} [Z] \ cdot \ operatorname {E} [W]}$

Definição para mais de duas variáveis ​​aleatórias

Um conjunto de duas ou mais variáveis ​​aleatórias é chamado de não correlacionado se cada par delas não estiver correlacionado. Isso é equivalente ao requisito de que os elementos não diagonais da matriz de autocovariância do vetor aleatório sejam todos zero. A matriz de autocovariância é definida como: ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) ^ {\ mathrm {T}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}} = \ operatorname {cov} [\ mathbf {X}, \ mathbf {X}] = \ operatorname {E} [(\ mathbf {X} - \ operatorname {E} [\ mathbf {X}]) (\ mathbf {X} - \ operatorname {E} [\ mathbf {X}]) ^ {\ rm {T}}] = \ operatorname { E} [\ mathbf {X} \ mathbf {X} ^ {T}] - \ operatorname {E} [\ mathbf {X}] \ operatorname {E} [\ mathbf {X}] ^ {T}}$

Exemplos de dependência sem correlação

Exemplo 1

• Let Ser uma variável aleatória que assume o valor 0 com probabilidade 1/2 e assume o valor 1 com probabilidade 1/2. ${\ displaystyle X}$
• Let Ser uma variável aleatória, independente de , que assume o valor -1 com probabilidade 1/2, e assume o valor 1 com probabilidade 1/2. ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$
• Let Ser uma variável aleatória construída como . ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U = XY}$

A alegação é que e têm covariância zero (e, portanto, não são correlacionados), mas não são independentes. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

Prova:

Levando em consideração que

${\ displaystyle \ operatorname {E} [U] = \ operatorname {E} [XY] = \ operatorname {E} [X] \ operatorname {E} [Y] = \ operatorname {E} [X] \ cdot 0 = 0,}$

onde a segunda igualdade é válida porque e são independentes, obtém-se ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {cov} [U, X] & = \ operatorname {E} [(U- \ operatorname {E} [U]) (X- \ operatorname {E} [X] )] = \ operatorname {E} [U (X - {\ tfrac {1} {2}})] \\ & = \ operatorname {E} [X ^ {2} Y - {\ tfrac {1} {2 }} XY] = \ operatorname {E} [(X ^ {2} - {\ tfrac {1} {2}} X) Y] = \ operatorname {E} [(X ^ {2} - {\ tfrac { 1} {2}} X)] \ operatorname {E} [Y] = 0 \ fim {alinhado}}}$

Portanto, e não estão correlacionados. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

Independência do e meio que para todos e , . Isso não é verdade, em particular, para e . ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ Pr (U = a \ mid X = b) = \ Pr (U = a)}$${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle b = 0}$

• ${\ displaystyle \ Pr (U = 1 \ mid X = 0) = \ Pr (XY = 1 \ mid X = 0) = 0}$
• ${\ displaystyle \ Pr (U = 1) = \ Pr (XY = 1) = 1/4}$

Assim , e não são independentes. ${\ displaystyle \ Pr (U = 1 \ mid X = 0) \ neq \ Pr (U = 1)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

QED

Exemplo 2

Se é uma variável aleatória contínua uniformemente distribuída em e , então e não estão correlacionados, embora determine e um valor particular de possa ser produzido por apenas um ou dois valores de  : ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle [-1,1]}$${\ displaystyle Y = X ^ {2}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f_ {X} (t) = {1 \ over 2} I _ {[- 1,1]}; f_ {Y} (t) = {1 \ over {2 {\ sqrt {t}}}} I _ {] 0,1]}}$

por outro lado, é 0 no triângulo definido por, embora não seja nulo neste domínio. Portanto, e as variáveis ​​não são independentes. ${\ displaystyle f_ {X, Y}}$${\ displaystyle 0 <X <Y <1}$${\ displaystyle f_ {X} \ times f_ {Y}}$${\ displaystyle f_ {X, Y} (X, Y) \ neq f_ {X} (X) \ vezes f_ {Y} (Y)}$

${\ displaystyle E [X] = {{1-1} \ over 2} = 0; E [Y] = {{1 ^ {3} - (- 1) ^ {3}} \ over {3 \ times 2 }} = {1 \ sobre 3}}$

${\ displaystyle Cov [X, Y] = E \ left [(XE [X]) (YE [Y]) \ right] = E \ left [X ^ {3} - {X \ over 3} \ right] = {{1 ^ {4} - (- 1) ^ {4}} \ over {4 \ times 2}} = 0}$

Portanto, as variáveis ​​não estão correlacionadas.

Quando não correlacionado implica independência

Existem casos em que a falta de correlação implica independência. Um desses casos é aquele em que ambas as variáveis ​​aleatórias têm dois valores (portanto, cada uma pode ser transformada linearmente para ter uma distribuição de Bernoulli ). Além disso, duas variáveis ​​aleatórias normalmente distribuídas em conjunto são independentes se não estiverem correlacionadas, embora isso não seja válido para variáveis ​​cujas distribuições marginais são normais e não correlacionadas, mas cuja distribuição conjunta não é normal conjunta (ver Normalmente distribuída e não correlacionada não implica independente ).

Generalizações

Vetores aleatórios não correlacionados

Dois vetores aleatórios e são chamados de não correlacionados se ${\ displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, \ ldots, X_ {m}) ^ {T}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y} = (Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}) ^ {T}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [\ mathbf {X} \ mathbf {Y} ^ {T}] = \ operatorname {E} [\ mathbf {X}] \ operatorname {E} [\ mathbf {Y}] ^ {T}}$ .

Eles não estão correlacionados se e somente se sua matriz de covariância cruzada for zero. ${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}}}$

Dois vectores aleatórios complexos e são chamados não correlacionado se a sua matriz de covariância cruzada e sua matriz de pseudo-cross-covariância é zero, ou seja, se ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {W}}$

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = \ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = 0}$

Onde

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = \ operatorname {E} [(\ mathbf {Z} - \ operatorname {E} [\ mathbf {Z}]) {( \ mathbf {W} - \ operatorname {E} [\ mathbf {W}])} ^ {\ mathrm {H}}]}$

e

${\ displaystyle \ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = \ operatorname {E} [(\ mathbf {Z} - \ operatorname {E} [\ mathbf {Z}]) {( \ mathbf {W} - \ operatorname {E} [\ mathbf {W}])} ^ {\ mathrm {T}}]}$ .

Processos estocásticos não correlacionados

Dois processos estocásticos e são chamados uncorrelated se o seu cross-covariância é zero para todos os momentos. Formalmente: ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$${\ displaystyle \ left \ {Y_ {t} \ right \}}$${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = \ operatorname {E} \ left [\ left (X (t_ {1} ) - \ mu _ {X} (t_ {1}) \ direita) \ esquerda (Y (t_ {2}) - \ mu _ {Y} (t_ {2}) \ direita) \ direita]}$

${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}, \ left \ {Y_ {t} \ right \} {\ text {não correlacionado}} \ quad \ iff \ quad \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = 0 \ quad \ forall t_ {1}, t_ {2}.}$

Veja também

• Correlação e dependência
• Distribuição binomial: Covariância entre dois binômios
• Elemento de volume não correlacionado

Referências

Leitura adicional

• Probability for Statisticians , Galen R. Shorack, Springer (c2000) ISBN   0-387-98953-6