Conjunto incontável - Uncountable set
Em matemática , um conjunto incontável (ou conjunto infinito incontável ) é um conjunto infinito que contém muitos elementos para serem contados . A incontabilidade de um conjunto está intimamente relacionada ao seu número cardinal : um conjunto é incontável se seu número cardinal for maior do que o conjunto de todos os números naturais .
Caracterizações
Existem muitas caracterizações equivalentes de incontável. Um conjunto X é incontável se e somente se qualquer uma das seguintes condições se mantiver:
- Não há função injetiva (portanto, nenhuma bijeção ) de X para o conjunto de números naturais.
- X não é vazio e para cada sequência ω- de elementos de X , existe pelo menos um elemento de X não incluído nela. Isto é, X é não vazio e não há nenhuma função surjective a partir dos números naturais para X .
- A cardinalidade de X não é finita nem igual a ( aleph-null , a cardinalidade dos números naturais ).
- O conjunto X tem cardinalidade estritamente maior que .
As três primeiras dessas caracterizações podem ser comprovadas como equivalentes na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel sem o axioma da escolha , mas a equivalência da terceira e da quarta não pode ser provada sem princípios de escolha adicionais.
Propriedades
- Se um conjunto incontável X é um subconjunto do conjunto Y , então Y é incontável.
Exemplos
O exemplo mais conhecido de um conjunto incontável é o conjunto R de todos os números reais ; O argumento diagonal de Cantor mostra que esse conjunto é incontável. A técnica da prova de diagonalização também pode ser usada para mostrar que vários outros conjuntos são incontáveis, como o conjunto de todas as sequências infinitas de números naturais e o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto de números naturais. A cardinalidade de R é freqüentemente chamada de cardinalidade do continuum e denotada por , ou , ou ( beth-um ).
O conjunto de Cantor é um subconjunto incontável de R . O conjunto Cantor é um fractal e tem dimensão de Hausdorff maior que zero, mas menor que um ( R tem dimensão um). Este é um exemplo do seguinte fato: qualquer subconjunto de R de dimensão de Hausdorff estritamente maior que zero deve ser incontável.
Outro exemplo de um conjunto incontável é o conjunto de todas as funções de R a R . Esse conjunto é ainda "mais incontável" do que R no sentido de que a cardinalidade desse conjunto é ( beth-dois ), que é maior do que .
Um exemplo mais abstrato de um conjunto incontável é o conjunto de todos os números ordinais contáveis , denotados por Ω ou ω 1 . A cardinalidade de Ω é denotada ( aleph-um ). Pode-se mostrar, usando o axioma de escolha , que é o menor número cardinal incontável. Assim , ou a cardinalidade dos reais é igual ou estritamente maior. Georg Cantor foi o primeiro a propor a questão de saber se é igual a . Em 1900, David Hilbert colocou essa questão como o primeiro de seus 23 problemas . A afirmação que agora é chamada de hipótese do contínuo , e é conhecida por ser independente dos axiomas de Zermelo-Fraenkel para a teoria dos conjuntos (incluindo o axioma da escolha ).
Sem o axioma da escolha
Sem o axioma da escolha , pode haver cardinalidades incomparáveis com (a saber, as cardinalidades dos conjuntos infinitos finitos de Dedekind ). Os conjuntos dessas cardinalidades satisfazem as três primeiras caracterizações acima, mas não a quarta caracterização. Como esses conjuntos não são maiores do que os números naturais no sentido de cardinalidade, alguns podem não querer chamá-los de incontáveis.
Se o axioma de escolha for válido, as seguintes condições em um cardeal são equivalentes:
- e
- , onde e é o menor ordinal inicial maior que
No entanto, todos eles podem ser diferentes se o axioma da escolha falhar. Portanto, não é óbvio qual é a generalização apropriada de "incontável" quando o axioma falha. Pode ser melhor evitar o uso da palavra neste caso e especificar qual delas significa.
Veja também
Referências
Bibliografia
- Halmos, Paul , Teoria Ingênua dos Conjuntos . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpresso por Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edição Springer-Verlag). Reimpresso por Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (edição em brochura).
- Jech, Thomas (2002), Set Theory , Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2