Teste uniformemente mais poderoso - Uniformly most powerful test

Em testes de hipóteses , uma uniformemente mais potente ( UMP ) de teste é um teste de hipótese que tem a maior potência ${\ displaystyle 1- \ beta}$ entre todos os ensaios possíveis de um dado tamanho α . Por exemplo, de acordo com o lema de Neyman-Pearson , o teste da razão de verossimilhança é UMP para testar hipóteses simples (pontuais).

Contexto

Vamos denotar um vetor aleatório (correspondente às medidas), obtido de uma família parametrizada de funções de densidade de probabilidade ou funções de massa de probabilidade , que depende do parâmetro determinístico desconhecido . O espaço de parâmetros é dividido em dois conjuntos separados e . Vamos denotar a hipótese que , e vamos denotar a hipótese que . O teste binário de hipóteses é executado usando uma função de teste . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f _ {\ theta} (x)}$${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta}$${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle \ Theta _ {0}}$${\ displaystyle \ Theta _ {1}}$${\ displaystyle H_ {0}}$${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta _ {0}}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta _ {1}}$${\ displaystyle \ varphi (x)}$

${\ displaystyle \ varphi (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} \ theta \ in \ Theta _ {1} \\ 0 & {\ text {if}} \ theta \ in \ Theta _ {0} \ end {casos}}}$

o que significa que está em vigor se a medição e que está em vigor se a medição . Observe que é uma cobertura desconexa do espaço de medição. ${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle X \ in \ Theta _ {1}}$${\ displaystyle H_ {0}}$${\ displaystyle X \ in \ Theta _ {0}}$${\ displaystyle \ Theta _ {0} \ cup \ Theta _ {1}}$

Definição formal

Uma função de teste é UMP de tamanho se para qualquer outra função de teste satisfatória ${\ displaystyle \ varphi (x)}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ varphi '(x)}$

${\ displaystyle \ sup _ {\ theta \ in \ Theta _ {0}} \; \ operatorname {E} _ {\ theta} \ varphi '(X) = \ alpha' \ leq \ alpha = \ sup _ {\ theta \ in \ Theta _ {0}} \; \ operatorname {E} _ {\ theta} \ varphi (X) \,}$

temos

${\ displaystyle \ forall \ theta \ in \ Theta _ {1}, \ quad \ operatorname {E} _ {\ theta} \ varphi '(X) = 1- \ beta' (\ theta) \ leq 1- \ beta (\ theta) = \ operatorname {E} _ {\ theta} \ varphi (X).}$

Teorema de Karlin-Rubin

O teorema de Karlin-Rubin pode ser considerado uma extensão do lema de Neyman-Pearson para hipóteses compostas. Considere uma medição escalar com uma função de densidade de probabilidade parametrizada por um parâmetro escalar θ e defina a razão de verossimilhança . Se for monótono e não decrescente, em , para qualquer par (o que significa que quanto maior , mais provável é), então o teste de limite: ${\ displaystyle l (x) = f _ {\ theta _ {1}} (x) / f _ {\ theta _ {0}} (x)}$${\ displaystyle l (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ theta _ {1} \ geq \ theta _ {0}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle H_ {1}}$

${\ displaystyle \ varphi (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x> x_ {0} \\ 0 & {\ text {if}} x <x_ {0} \ end {cases} }}$

onde é escolhido tal que ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ operatorname {E} _ {\ theta _ {0}} \ varphi (X) = \ alpha}$

é o teste UMP de tamanho α para testar ${\ displaystyle H_ {0}: \ theta \ leq \ theta _ {0} {\ text {vs.}} H_ {1}: \ theta> \ theta _ {0}.}$

Observe que exatamente o mesmo teste também é UMP para teste ${\ displaystyle H_ {0}: \ theta = \ theta _ {0} {\ text {vs.}} H_ {1}: \ theta> \ theta _ {0}.}$

Caso importante: família exponencial

Embora o teorema de Karlin-Rubin possa parecer fraco por causa de sua restrição a parâmetro escalar e medição escalar, verifica-se que existe uma série de problemas para os quais o teorema é válido. Em particular, a família exponencial unidimensional de funções de densidade de probabilidade ou funções de massa de probabilidade com

${\ displaystyle f _ {\ theta} (x) = g (\ theta) h (x) \ exp (\ eta (\ theta) T (x))}$

tem uma razão de verossimilhança não decrescente monótona na estatística suficiente , desde que não diminua. ${\ displaystyle T (x)}$${\ displaystyle \ eta (\ theta)}$

Exemplo

Deixe denotar iid vetores aleatórios dimensionais normalmente distribuídos com média e matriz de covariância . Então temos ${\ displaystyle X = (X_ {0}, \ ldots, X_ {M-1})}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ theta m}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f _ {\ theta} (X) = {} & (2 \ pi) ^ {- MN / 2} | R | ^ {- M / 2} \ exp \ left \ {- {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} (X_ {n} - \ theta m) ^ {T} R ^ {- 1} (X_ {n} - \ theta m) \ right \} \\ [4pt] = {} & (2 \ pi) ^ {- MN / 2} | R | ^ {- M / 2} \ exp \ left \ {- {\ frac { 1} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} \ esquerda (\ theta ^ {2} m ^ {T} R ^ {- 1} m \ direita) \ direita \} \\ [4pt] & \ exp \ left \ {- {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} X_ {n} ^ {T} R ^ {- 1} X_ {n} \ direita \} \ exp \ esquerda \ {\ theta m ^ {T} R ^ {- 1} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} X_ {n} \ direita \} \ fim {alinhado}}}$

que está exatamente na forma da família exponencial mostrada na seção anterior, com a estatística suficiente sendo

${\ displaystyle T (X) = m ^ {T} R ^ {- 1} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} X_ {n}.}$

Assim, concluímos que o teste

${\ displaystyle \ varphi (T) = {\ begin {cases} 1 & T> t_ {0} \\ 0 & T <t_ {0} \ end {cases}} \ qquad \ operatorname {E} _ {\ theta _ {0} } \ varphi (T) = \ alpha}$

é o teste UMP de tamanho para teste vs. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle H_ {0}: \ theta \ leqslant \ theta _ {0}}$${\ displaystyle H_ {1}: \ theta> \ theta _ {0}}$

Discussão posterior

Finalmente, notamos que, em geral, os testes UMP não existem para parâmetros vetoriais ou para testes bilaterais (um teste em que uma hipótese está em ambos os lados da alternativa). A razão é que, nessas situações, o teste mais poderoso de um determinado tamanho para um valor possível do parâmetro (por exemplo, para onde ) é diferente do teste mais poderoso do mesmo tamanho para um valor diferente do parâmetro (por exemplo, para onde ) Como resultado, nenhum teste é uniformemente mais poderoso nessas situações. ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$${\ displaystyle \ theta _ {1}> \ theta _ {0}}$${\ displaystyle \ theta _ {2}}$${\ displaystyle \ theta _ {2} <\ theta _ {0}}$

Referências

Leitura adicional

• Ferguson, TS (1967). "Seção 5.2: Testes uniformemente mais poderosos ". Estatística Matemática: Uma abordagem teórica da decisão . Nova York: Academic Press.
• Humor, AM; Graybill, FA; Boes, DC (1974). "Seção IX.3.2: Testes uniformemente mais poderosos ". Introdução à teoria da estatística (3ª ed.). Nova York: McGraw-Hill.
• LL Scharf, Statistical Signal Processing , Addison-Wesley, 1991, seção 4.7.