União (teoria dos conjuntos) - Union (set theory)

Na teoria dos conjuntos , a união (denotada por ∪) de uma coleção de conjuntos é o conjunto de todos os elementos da coleção. É uma das operações fundamentais por meio da qual os conjuntos podem ser combinados e relacionados entre si. UMA união nula refere-se a uma união deconjuntoszero ()${\displaystyle 0}$e é, por definição, igual aoconjunto vazio.

Para obter uma explicação dos símbolos usados ​​neste artigo, consulte a tabela de símbolos matemáticos .

União de dois conjuntos

A união dos dois conjuntos A e B é o conjunto de elementos que se encontram em Um , em B , ou em ambos A e B . Em símbolos,

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ or }}x\in B\}}$.

Por exemplo, se A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 2, 4, 6, 7} então A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Um exemplo mais elaborado (envolvendo dois conjuntos infinitos) é:

A = { x é um número inteiro par maior que 1}

B = { x é um número inteiro ímpar maior que 1}

${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}}$

Como outro exemplo, o número 9 não está contido na união do conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} e o conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, 10 , ...}, porque 9 não é primo nem par.

Os conjuntos não podem ter elementos duplicados, então a união dos conjuntos {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é {1, 2, 3, 4}. Múltiplas ocorrências de elementos idênticos não afetam a cardinalidade de um conjunto ou seu conteúdo.

Propriedades algébricas

A união binária é uma operação associativa ; ou seja, para quaisquer conjuntos A , B e C ,

${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$

Assim, os parênteses pode ser omitida sem ambiguidade: qualquer um dos acima pode ser escrita como uma ∪ B ∪ C . Além disso, a união é comutativa , portanto os conjuntos podem ser escritos em qualquer ordem. O conjunto vazio é um elemento de identidade para a operação de união. Ou seja, A ∪ ∅ = A , para qualquer conjunto A. Além disso, a operação de união é idempotent: A ∪ A = A . Todas essas propriedades decorrem de fatos análogos sobre disjunção lógica .

A intersecção distribui a união

${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

e o sindicato distribui no cruzamento

${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}$

O conjunto de potências de um conjunto U , junto com as operações dadas por união, interseção e complementação , é uma álgebra booleana . Nesta álgebra booleana, a união pode ser expressa em termos de interseção e complementação pela fórmula

${\displaystyle A\cup B=\left(A^{\text{c}}\cap B^{\text{c}}\right)^{\text{c}},}$

onde o sobrescrito denota o complemento no conjunto universal U . ${\displaystyle {}^{\text{c}}}$

Uniões finitas

Pode-se fazer a união de vários conjuntos simultaneamente. Por exemplo, a união de três conjuntos A , B e C contém todos os elementos de A , todos os elementos de B e todos os elementos de C e nada mais. Deste modo, x é um elemento de um ∪ B ∪ C , se e somente se X é pelo menos um de A , B , e C .

Uma união finita é a união de um número finito de conjuntos; a frase não implica que o conjunto de união seja um conjunto finito .

Uniões arbitrárias

A noção mais geral é a união de uma coleção arbitrária de conjuntos, às vezes chamada de união infinitária . Se H é um grupo ou classe cujos elementos são conjuntos, então x é um elemento de união de H , se e apenas se existe , pelo menos, um elemento de uma das M de tal modo que X é um elemento de um . Em símbolos:

${\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

Essa ideia inclui as seções anteriores - por exemplo, A ∪ B ∪ C é a união da coleção { A , B , C }. Além disso, se M é a coleção vazia, então a união de M é o conjunto vazio.

Notações

A notação para o conceito geral pode variar consideravelmente. Para uma união finita de conjuntos, geralmente escreve-se ou . Vários notações comuns para uniões arbitrárias incluem , e . A última dessas notações refere-se à união da coleção , onde I é um conjunto de índices e é um conjunto para cada . No caso em que o conjunto de índices I é o conjunto dos números naturais , usa-se a notação , que é análoga à das somas infinitas em série. ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}}$${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}$${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$${\displaystyle \bigcup \mathbf {M} }$${\displaystyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

Quando o símbolo "∪" é colocado antes de outros símbolos (em vez de entre eles), geralmente é representado como um tamanho maior.

Codificação de notação

Em Unicode, a união é representada pelo caractere U + 222A ∪ UNION . No TeX , é renderizado a partir de \ cup. ${\displaystyle \cup }$

Veja também

• Álgebra de Conjuntos
• Alternação (teoria da linguagem formal) , a união de conjuntos de cordas
• Axioma de união
• União desarticulada
• Intersecção (teoria dos conjuntos)
• Operação binária iterada
• Lista de identidades e relações definidas
• Teoria dos conjuntos ingênua
• Diferença simétrica

Notas

links externos

• "Union of sets" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• União infinita e interseção nas leis de ProvenMath De Morgan formalmente comprovadas a partir dos axiomas da teoria dos conjuntos.