Quantificação de singularidade - Uniqueness quantification
Em matemática e lógica , o termo "singularidade" refere-se à propriedade de ser o único objeto que satisfaz uma determinada condição. Esse tipo de quantificação é conhecido como quantificação de unicidade ou quantificação existencial única e geralmente é denotado com os símbolos " ∃ !" ou "∃ = 1 ". Por exemplo, a declaração formal
pode ser lido como "há exatamente um número natural tal que ".
Provando singularidade
A técnica mais comum para provar a existência única de um determinado objeto é primeiro provar a existência da entidade com a condição desejada e, em seguida, provar que quaisquer duas dessas entidades (digamos, e ) devem ser iguais entre si (ou seja ) .
Por exemplo, para mostrar que a equação tem exatamente uma solução, deve-se primeiro estabelecer que existe pelo menos uma solução, a saber, 3; a prova desta parte é simplesmente a verificação de que a equação abaixo se sustenta:
Para estabelecer a unicidade da solução, deve-se então assumir que há duas soluções, a saber e , satisfatória . Isso é,
Por transitividade da igualdade,
Subtrair 2 de ambos os lados produz
que completa a prova de que 3 é a solução única de .
Em geral, tanto a existência (existe pelo menos um objeto) quanto a unicidade (existe no máximo um objeto) devem ser provadas, a fim de concluir que existe exatamente um objeto que satisfaça a referida condição.
Uma maneira alternativa de provar a unicidade é provar que existe um objeto que satisfaz a condição e, em seguida, provar que todo objeto que satisfaz a condição deve ser igual a .
Redução à quantificação existencial e universal ordinária
A quantificação da singularidade pode ser expressa em termos dos quantificadores existenciais e universais da lógica dos predicados , definindo a fórmula para significar
que é logicamente equivalente a
Uma definição equivalente que separa as noções de existência e singularidade em duas cláusulas, em detrimento da brevidade, é
Outra definição equivalente, que tem a vantagem da brevidade, é
Generalizações
A quantificação de exclusividade pode ser generalizada em quantificação de contagem (ou quantificação numérica). Isso inclui a quantificação da forma "exatamente k objetos existem tais que ...", bem como "infinitamente muitos objetos existem tais que ..." e "apenas finitamente muitos objetos existem tais que ...". A primeira dessas formas pode ser expressa usando quantificadores comuns, mas as duas últimas não podem ser expressas na lógica de primeira ordem comum .
A singularidade depende de uma noção de igualdade . Afrouxar isso para alguma relação de equivalência mais grosseira produz a quantificação da unicidade até essa equivalência (sob esta estrutura, a unicidade regular é "unicidade até a igualdade"). Por exemplo, muitos conceitos na teoria das categorias são definidos para serem únicos até o isomorfismo .
O ponto de exclamação ( ) também pode ser usado como um símbolo de quantificação separado, portanto , onde . Por exemplo, pode ser usado com segurança no axioma de substituição , em vez de .
Veja também
Referências
- ^ a b "O glossário definitivo do jargão matemático superior - singularidade" . Math Vault . 01/08/2019 . Página visitada em 15/12/2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Teorema da Unicidade" . mathworld.wolfram.com . Página visitada em 15/12/2019 .
- ^ "2.5 Argumentos de exclusividade" . www.whitman.edu . Página visitada em 15/12/2019 .
- ^ Helman, Glen (1º de agosto de 2013). "Quantificação numérica" (PDF) . persweb.wabash.edu . Página visitada em 2014-12-14 .
- ^ Esta é uma consequência do teorema da compactação .
Bibliografia
- Kleene, Stephen (1952). Introdução à Metamatemática . Ishi Press International. p. 199
- Andrews, Peter B. (2002). Uma introdução à lógica matemática e à teoria dos tipos para a verdade através da prova (2. ed.). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. p. 233. ISBN 1-4020-0763-9.