Esfera unitária - Unit sphere
Em matemática , uma esfera unitária é simplesmente uma esfera de raio um em torno de um determinado centro . Mais geralmente, é o conjunto de pontos de distância 1 de um ponto central fixo, onde diferentes normas podem ser usadas como noções gerais de "distância". Uma bola unitária é o conjunto fechado de pontos de distância menor ou igual a 1 de um ponto central fixo. Normalmente o centro está na origem do espaço, então se fala em "esfera unitária" ou "esfera unitária". Casos especiais são o círculo unitário e o disco unitário .
A importância da esfera unitária é que qualquer esfera pode ser transformada em uma esfera unitária por uma combinação de translação e escala . Desta forma, as propriedades das esferas em geral podem ser reduzidas ao estudo da esfera unitária.
Esferas e bolas unitárias no espaço euclidiano
No espaço euclidiano de n dimensões, a esfera unitária ( n -1) -dimensional é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação
A bola unitária aberta n- dimensional é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a desigualdade
e a bola unitária fechada n- dimensional é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a desigualdade
Fórmulas gerais de área e volume
A equação clássica de uma esfera unitária é a do elipsóide com raio 1 e sem alterações nos eixos x -, y - ou z :
O volume da esfera unitária no espaço euclidiano n- dimensional e a área da superfície da esfera unitária aparecem em muitas fórmulas de análise importantes . O volume da bola unitária em n dimensões, que denotamos V n , pode ser expresso fazendo uso da função gama . Isto é
onde n !! é o duplo fatorial .
O hipervolume da esfera unitária ( n −1) dimensional ( ou seja , a "área" da fronteira da esfera unitária n- dimensional), que denotamos A n , pode ser expresso como
onde a última igualdade vale apenas para n > 0 . Por exemplo, é a "área" do limite da bola unitária , que simplesmente conta os dois pontos. Então é a "área" da fronteira do disco unitário, que é a circunferência do círculo unitário. é a "área" do limite da esfera unitária , que é a área da superfície da esfera unitária .
As áreas de superfície e os volumes para alguns valores de são os seguintes:
(área de superfície) | (volume) | |||
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | ||
1 | 2 | 2 | ||
2 | 6.283 | 3.141 | ||
3 | 12,57 | 4.189 | ||
4 | 19,74 | 4,935 | ||
5 | 26,32 | 5,264 | ||
6 | 31,01 | 5,168 | ||
7 | 33,07 | 4.725 | ||
8 | 32,47 | 4.059 | ||
9 | 29,69 | 3.299 | ||
10 | 25,50 | 2.550 |
onde os valores decimais expandidos para n ≥ 2 são arredondados para a precisão exibida.
Recursão
Os valores A n satisfazem a recursão:
- para .
Os valores V n satisfazem a recursão:
- para .
Dimensões fracionárias
As fórmulas para A n e V n podem ser calculadas para qualquer número real n ≥ 0, e há circunstâncias nas quais é apropriado buscar a área da esfera ou o volume da bola quando n não é um número inteiro não negativo.
Outros raios
A área de superfície de uma esfera ( n –1) -dimensional com raio r é A n r n −1 e o volume de uma bola n- dimensional com raio r é V n r n . Por exemplo, a área é A = 4 π r 2 para a superfície da bola tridimensional de raio r . O volume é V = 4 π r 3 /3 para a bola tridimensional de raio r .
Bolas de unidade em espaços vetoriais normatizados
Mais precisamente, a bola unitária aberta em um espaço vetorial normatizado , com a norma , é
É o interior da esfera unitária fechada de ( V , || · ||):
O último é a união disjunta do primeiro e sua fronteira comum, a esfera unitária de ( V , || · ||):
A 'forma' da bola unitária depende inteiramente da norma escolhida; pode muito bem ter 'cantos' e, por exemplo, pode ser semelhante a [-1,1] n , no caso da norma máxima em R n . Obtém-se uma bola naturalmente redonda como a bola unitária pertencente à norma espacial usual de Hilbert , baseada no caso de dimensão finita na distância euclidiana ; seu limite é o que geralmente se entende por esfera unitária .
Vamos definir a norma usual para p ≥ 1 como:
Então é a norma espacial usual de Hilbert . é chamada de norma de Hamming, ou norma. A condição p ≥ 1 é necessária na definição da norma, pois a bola unitária em qualquer espaço normado deve ser convexa como consequência da desigualdade do triângulo . Vamos denotar a norma máxima ou norma de x.
Observe que para as circunferências das bolas unitárias bidimensionais (n = 2), temos:
- é o valor mínimo.
- é o valor máximo.
Generalizações
Espaços métricos
Todas as três definições acima podem ser generalizadas diretamente para um espaço métrico , com respeito a uma origem escolhida. No entanto, as considerações topológicas (interior, fechamento, borda) não precisam ser aplicadas da mesma maneira (por exemplo, em espaços ultramétricos , todos os três são conjuntos abertos e fechados simultaneamente), e a esfera unitária pode até estar vazia em alguns espaços métricos.
Formas quadráticas
Se V é um espaço linear com uma verdadeira forma quadrática F : V → R, então {p ∈ V : F (p) = 1} pode ser chamado a esfera unidade ou unidade de quase-esfera de V . Por exemplo, a forma quadrática , quando definida igual a um, produz a hipérbole unitária que desempenha o papel de "círculo unitário" no plano dos números complexos divididos . Da mesma forma, a forma quadrática x 2 produz um par de retas para a esfera unitária no plano numérico dual .
Veja também
- bola
- hiperesfera
- esfera
- superelipse
- círculo unitário
- disco de unidade
- pacote de esfera unitária
- quadrado da unidade
Notas e referências
- Mahlon M. Day (1958) Normed Linear Spaces , página 24, Springer-Verlag .
- Deza, E .; Deza, M. (2006), Dicionário de Distâncias , Elsevier, ISBN 0-444-52087-2. Revisado em Newsletter of the European Mathematical Society 64 (junho de 2007) , p. 57. Este livro é organizado como uma lista de distâncias de muitos tipos, cada um com uma breve descrição.