Esfera unitária - Unit sphere

Algumas 1-esferas. é a norma para o espaço euclidiano discutida na primeira seção abaixo.

Em matemática , uma esfera unitária é simplesmente uma esfera de raio um em torno de um determinado centro . Mais geralmente, é o conjunto de pontos de distância 1 de um ponto central fixo, onde diferentes normas podem ser usadas como noções gerais de "distância". Uma bola unitária é o conjunto fechado de pontos de distância menor ou igual a 1 de um ponto central fixo. Normalmente o centro está na origem do espaço, então se fala em "esfera unitária" ou "esfera unitária". Casos especiais são o círculo unitário e o disco unitário .

A importância da esfera unitária é que qualquer esfera pode ser transformada em uma esfera unitária por uma combinação de translação e escala . Desta forma, as propriedades das esferas em geral podem ser reduzidas ao estudo da esfera unitária.

Esferas e bolas unitárias no espaço euclidiano

No espaço euclidiano de n dimensões, a esfera unitária ( n -1) -dimensional é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação

A bola unitária aberta n- dimensional é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a desigualdade

e a bola unitária fechada n- dimensional é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a desigualdade

Fórmulas gerais de área e volume

A equação clássica de uma esfera unitária é a do elipsóide com raio 1 e sem alterações nos eixos x -, y - ou z :

O volume da esfera unitária no espaço euclidiano n- dimensional e a área da superfície da esfera unitária aparecem em muitas fórmulas de análise importantes . O volume da bola unitária em n dimensões, que denotamos V n , pode ser expresso fazendo uso da função gama . Isto é

onde n !! é o duplo fatorial .

O hipervolume da esfera unitária ( n −1) dimensional ( ou seja , a "área" da fronteira da esfera unitária n- dimensional), que denotamos A n , pode ser expresso como

onde a última igualdade vale apenas para n > 0 . Por exemplo, é a "área" do limite da bola unitária , que simplesmente conta os dois pontos. Então é a "área" da fronteira do disco unitário, que é a circunferência do círculo unitário. é a "área" do limite da esfera unitária , que é a área da superfície da esfera unitária .

As áreas de superfície e os volumes para alguns valores de são os seguintes:

(área de superfície) (volume)
0 0 1
1 2 2
2 6.283 3.141
3 12,57 4.189
4 19,74 4,935
5 26,32 5,264
6 31,01 5,168
7 33,07 4.725
8 32,47 4.059
9 29,69 3.299
10 25,50 2.550

onde os valores decimais expandidos para n  ≥ 2 são arredondados para a precisão exibida.

Recursão

Os valores A n satisfazem a recursão:

para .

Os valores V n satisfazem a recursão:

para .

Dimensões fracionárias

As fórmulas para A n e V n podem ser calculadas para qualquer número real n  ≥ 0, e há circunstâncias nas quais é apropriado buscar a área da esfera ou o volume da bola quando n não é um número inteiro não negativo.

Isso mostra o hipervolume de uma esfera ( x –1) -dimensional ( ou seja , a "área" da superfície da esfera unitária x- dimensional) como uma função contínua de  x .
Isso mostra o volume de uma bola nas dimensões x como uma função contínua de  x .

Outros raios

A área de superfície de uma esfera ( n –1) -dimensional com raio r é A n  r n −1 e o volume de uma bola n- dimensional com raio r é V n  r n . Por exemplo, a área é A = 4 π r  2 para a superfície da bola tridimensional de raio r . O volume é V = 4 π r  3 /3 para a bola tridimensional de raio  r .

Bolas de unidade em espaços vetoriais normatizados

Mais precisamente, a bola unitária aberta em um espaço vetorial normatizado , com a norma , é

É o interior da esfera unitária fechada de ( V , || · ||):

O último é a união disjunta do primeiro e sua fronteira comum, a esfera unitária de ( V , || · ||):

A 'forma' da bola unitária depende inteiramente da norma escolhida; pode muito bem ter 'cantos' e, por exemplo, pode ser semelhante a [-1,1] n , no caso da norma máxima em R n . Obtém-se uma bola naturalmente redonda como a bola unitária pertencente à norma espacial usual de Hilbert , baseada no caso de dimensão finita na distância euclidiana ; seu limite é o que geralmente se entende por esfera unitária .

Vamos definir a norma usual para p ≥ 1 como:

Então é a norma espacial usual de Hilbert . é chamada de norma de Hamming, ou norma. A condição p ≥ 1 é necessária na definição da norma, pois a bola unitária em qualquer espaço normado deve ser convexa como consequência da desigualdade do triângulo . Vamos denotar a norma máxima ou norma de x.

Observe que para as circunferências das bolas unitárias bidimensionais (n = 2), temos:

é o valor mínimo.
é o valor máximo.

Generalizações

Espaços métricos

Todas as três definições acima podem ser generalizadas diretamente para um espaço métrico , com respeito a uma origem escolhida. No entanto, as considerações topológicas (interior, fechamento, borda) não precisam ser aplicadas da mesma maneira (por exemplo, em espaços ultramétricos , todos os três são conjuntos abertos e fechados simultaneamente), e a esfera unitária pode até estar vazia em alguns espaços métricos.

Formas quadráticas

Se V é um espaço linear com uma verdadeira forma quadrática F : V → R, então {p ∈ V  : F (p) = 1} pode ser chamado a esfera unidade ou unidade de quase-esfera de V . Por exemplo, a forma quadrática , quando definida igual a um, produz a hipérbole unitária que desempenha o papel de "círculo unitário" no plano dos números complexos divididos . Da mesma forma, a forma quadrática x 2 produz um par de retas para a esfera unitária no plano numérico dual .

Veja também

Notas e referências

links externos