Raiz unitária - Unit root

Em teoria de probabilidade e estatística , uma raiz unitária é uma característica de alguns processos estocásticos (como passeios aleatórios ) que podem causar problemas em inferência estatística envolvendo modelos de séries temporais . Um processo estocástico linear possui uma raiz unitária se 1 for a raiz da equação característica do processo . Esse processo não é estacionário, mas nem sempre tem uma tendência.

Se as outras raízes da equação característica estão dentro do círculo unitário - isto é, têm um módulo ( valor absoluto ) menor que um - então a primeira diferença do processo será estacionária; caso contrário, o processo precisará ser diferenciado várias vezes para se tornar estacionário. Se houver d raízes unitárias, o processo terá que ser diferenciado d vezes para torná-lo estacionário. Devido a essa característica, os processos de raiz unitária também são chamados de estacionários de diferença.

Processos raiz unitários podem às vezes ser confundidos com processos estacionários de tendência ; embora compartilhem muitas propriedades, são diferentes em muitos aspectos. É possível que uma série temporal seja não estacionária, mas não tenha raiz unitária e seja tendencialmente estacionária. Tanto em processos de raiz unitária quanto em processos estacionários de tendência, a média pode estar crescendo ou diminuindo ao longo do tempo; no entanto, na presença de um choque, os processos estacionários de tendência revertem à média (ou seja, transitórios, a série temporal convergirá novamente para a média crescente, que não foi afetada pelo choque), enquanto os processos de raiz unitária têm um impacto permanente sobre a média (ou seja, sem convergência ao longo do tempo).

Se a raiz da equação característica do processo for maior do que 1, então é chamado de processo explosivo , embora tais processos sejam às vezes chamados de processos de raízes unitárias de maneira imprecisa.

A presença de uma raiz unitária pode ser testada usando um teste de raiz unitária .

Definição

Considere um processo estocástico de tempo discreto e suponha que ele pode ser escrito como um processo autorregressivo de ordem  p : ${\ displaystyle (y_ {t}, t = 1,2,3, \ ldots)}$

${\ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + a_ {2} y_ {t-2} + \ cdots + a_ {p} y_ {tp} + \ varepsilon _ {t}.}$

Aqui, está um processo estocástico de média zero, serialmente não correlacionado com variância constante . Por conveniência, assuma . Se é uma raiz da equação característica , de multiplicidade 1: ${\ displaystyle (\ varepsilon _ {t}, t = 0,1,2, \ ldots,)}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$${\ displaystyle y_ {0} = 0}$${\ displaystyle m = 1}$

${\ displaystyle m ^ {p} -m ^ {p-1} a_ {1} -m ^ {p-2} a_ {2} - \ cdots -a_ {p} = 0}$

então o processo estocástico tem uma raiz unitária ou, alternativamente, é integrado de ordem um, denotado . Se m = 1 é uma raiz da multiplicidade r , então o processo estocástico é integrado de ordem r , denotado I ( r ). ${\ displaystyle I (1)}$

Exemplo

O modelo autoregressivo de primeira ordem,, tem uma raiz unitária quando . Neste exemplo, a equação característica é . A raiz da equação é . ${\ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + \ varepsilon _ {t}}$${\ displaystyle a_ {1} = 1}$${\ displaystyle m-a_ {1} = 0}$${\ displaystyle m = 1}$

Se o processo tiver uma raiz unitária, será uma série temporal não estacionária. Ou seja, os momentos do processo estocástico dependem . Para ilustrar o efeito de uma raiz unitária, podemos considerar o caso de primeira ordem, começando de y ₀  = 0: ${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle y_ {t} = y_ {t-1} + \ varepsilon _ {t}.}$

Por substituição repetida, podemos escrever . Então, a variância de é dada por: ${\ displaystyle y_ {t} = y_ {0} + \ sum _ {j = 1} ^ {t} \ varepsilon _ {j}}$${\ displaystyle y_ {t}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (y_ {t}) = \ sum _ {j = 1} ^ {t} \ sigma ^ {2} = t \ sigma ^ {2}.}$

A variância depende de t desde , enquanto . Observe que a variância da série está divergindo ao infinito com  t . ${\ displaystyle \ operatorname {Var} (y_ {1}) = \ sigma ^ {2}}$${\ displaystyle \ operatorname {Var} (y_ {2}) = 2 \ sigma ^ {2}}$

Existem vários testes para verificar a existência de uma raiz unitária, alguns deles são dados por:

1. O teste Dickey-Fuller (DF) ou testes aumentados Dickey-Fuller (ADF)
2. Testando a significância de mais de um coeficiente (teste f)
3. O teste Phillips-Perron (PP)
4. Teste Dickey Pantula

Modelos relacionados

Além dos modelos autorregressivos (AR) e autorregressivos de média móvel (ARMA), outros modelos importantes surgem na análise de regressão onde os erros do modelo podem ter uma estrutura de série temporal e, portanto, podem precisar ser modelados por um processo AR ou ARMA que pode ter uma raiz unitária, conforme discutido acima. As propriedades da amostra finita de modelos de regressão com erros ARMA de primeira ordem, incluindo raízes unitárias, foram analisadas.

Estimativa de quando uma raiz unitária pode estar presente

Freqüentemente, os mínimos quadrados ordinários (OLS) são usados ​​para estimar os coeficientes de inclinação do modelo autorregressivo . O uso de OLS depende do processo estocástico ser estacionário. Quando o processo estocástico não é estacionário, o uso de OLS pode produzir estimativas inválidas. Granger e Newbold chamaram tais estimativas de resultados de 'regressão espúria': altos valores de R ² e altas razões t produzindo resultados sem significado econômico.

Para estimar os coeficientes de inclinação, deve-se primeiro realizar um teste de raiz unitária , cuja hipótese nula é que uma raiz unitária está presente. Se essa hipótese for rejeitada, pode-se usar OLS. No entanto, se a presença de uma raiz unitária não for rejeitada, deve-se aplicar o operador de diferença à série. Se outro teste de raiz unitária mostrar que a série temporal diferenciada é estacionária, OLS pode então ser aplicado a essa série para estimar os coeficientes de inclinação.

Por exemplo, no caso AR (1), é estacionário. ${\ displaystyle \ Delta y_ {t} = y_ {t} -y_ {t-1} = \ varepsilon _ {t}}$

No caso AR (2), pode ser escrita como onde L é um operador de desfasamento que diminui o índice de tempo de uma variável por um período: . Se , o modelo tem uma raiz unitária e podemos definir ; então ${\ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + a_ {2} y_ {t-2} + \ varepsilon _ {t}}$${\ displaystyle (1- \ lambda _ {1} L) (1- \ lambda _ {2} L) y_ {t} = \ varepsilon _ {t}}$${\ displaystyle Ly_ {t} = y_ {t-1}}$${\ displaystyle \ lambda _ {2} = 1}$${\ displaystyle z_ {t} = \ Delta y_ {t}}$

${\ displaystyle z_ {t} = \ lambda _ {1} z_ {t-1} + \ varepsilon _ {t}}$

é estacionário se . OLS pode ser usado para estimar o coeficiente de inclinação ,. ${\ displaystyle | \ lambda _ {1} | <1}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$

Se o processo tiver várias raízes de unidade, o operador de diferença pode ser aplicado várias vezes.

Propriedades e características dos processos de raiz unitária

• Os choques em um processo de raiz unitária têm efeitos permanentes que não decaem como aconteceriam se o processo fosse estacionário
• Como observado acima, um processo de raiz unitária tem uma variância que depende de t, e diverge até o infinito
• Se for sabido que uma série tem uma raiz unitária, a série pode ser diferenciada para torná-la estacionária. Por exemplo, se uma série é I (1), a série é I (0) (estacionária). É, portanto, chamada de série estacionária de diferença .${\ displaystyle Y_ {t}}$${\ displaystyle \ Delta Y_ {t} = Y_ {t} -Y_ {t-1}}$

Hipótese de raiz unitária

O diagrama acima mostra um exemplo de raiz unitária potencial. A linha vermelha representa uma queda observada na produção. Verde mostra o caminho de recuperação se a série tiver uma raiz unitária. O azul mostra a recuperação se não houver raiz unitária e a série for estacionária de tendência. A linha azul retorna para encontrar e seguir a linha de tendência tracejada, enquanto a linha verde permanece permanentemente abaixo da tendência. A hipótese da raiz unitária também sustenta que um pico no produto levará a níveis de produto mais elevados do que a tendência anterior.

Os economistas debatem se várias estatísticas econômicas, especialmente a produção , têm uma raiz unitária ou são tendências estacionárias . Um processo de raiz unitária com deriva é dado no caso de primeira ordem por

${\ displaystyle y_ {t} = y_ {t-1} + c + e_ {t}}$

onde c é um termo constante referido como o termo "deriva" e é ruído branco. Qualquer valor diferente de zero do termo de ruído, ocorrendo por apenas um período, afetará permanentemente o valor de conforme mostrado no gráfico, portanto, os desvios da linha são não estacionários; não há reversão para nenhuma linha de tendência. Em contraste, um processo estacionário de tendência é dado por ${\ displaystyle e_ {t}}$${\ displaystyle y_ {t}}$${\ displaystyle y_ {t} = a + ct}$

${\ displaystyle y_ {t} = k \ cdot t + u_ {t}}$

onde k é a inclinação da tendência e é ruído (ruído branco no caso mais simples; mais geralmente, ruído seguindo seu próprio processo autorregressivo estacionário). Aqui, qualquer ruído transiente não alterará a tendência de longo prazo de estar na linha de tendência, como também mostrado no gráfico. Esse processo é considerado uma tendência estacionária porque os desvios da linha de tendência são estacionários. ${\ displaystyle u_ {t}}$${\ displaystyle y_ {t}}$

O assunto é particularmente popular na literatura sobre ciclos de negócios. A pesquisa sobre o assunto começou com Nelson e Plosser, cujo artigo sobre o PIB e outros agregados de produto não conseguiu rejeitar a hipótese da raiz unitária para essas séries. Desde então, um debate - entrelaçado com disputas técnicas sobre métodos estatísticos - se seguiu. Alguns economistas argumentam que o PIB tem uma raiz unitária ou quebra estrutural , o que implica que as desacelerações econômicas resultam em níveis de PIB permanentemente mais baixos no longo prazo. Outros economistas argumentam que o PIB é estacionário em relação à tendência: isto é, quando o PIB cai abaixo da tendência durante uma desaceleração, ele mais tarde retorna ao nível implícito pela tendência, de modo que não há queda permanente na produção. Embora a literatura sobre a hipótese da raiz unitária possa consistir em um debate misterioso sobre métodos estatísticos, a hipótese traz implicações práticas significativas para previsões e políticas econômicas.

Veja também

• Teste Dickey-Fuller
• Teste de Dickey-Fuller aumentado
• Teste ADF-GLS
• Teste de raiz unitária
• Teste Phillips-Perron
• Cointegração , determinando a relação entre duas variáveis ​​com raízes unitárias
• Teste de raiz unitária simétrica ponderada (WS)
• Teste de Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin, conhecido como testes KPSS

Notas