Vetor unitário - Unit vector

Em matemática , um vetor unitário em um espaço vetorial normado é um vetor (geralmente um vetor espacial ) de comprimento 1. Um vetor unitário é frequentemente denotado por uma letra minúscula com um circunflexo , ou " chapéu ", como em (pronunciado "v- chapéu").

O termo vetor de direção é usado para descrever um vetor de unidade sendo usado para representar a direção espacial , e tais quantidades são comumente denotadas como d . As direções espaciais 2D são numericamente equivalentes a pontos no círculo unitário e as direções espaciais em 3D são equivalentes a um ponto na esfera unitária .

Exemplos de dois vetores de direção 2D
Exemplos de dois vetores de direção 3D

O vetor normalizado û de um vetor diferente de zero u é o vetor unitário na direção de u , ou seja,

onde | u | é a norma (ou comprimento) de u . O termo vetor normalizado às vezes é usado como sinônimo de vetor unitário .

Vetores unitários são freqüentemente escolhidos para formar a base de um espaço vetorial, e cada vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear de vetores unitários.

Coordenadas ortogonais

Coordenadas cartesianas

Os vetores unitários podem ser usados ​​para representar os eixos de um sistema de coordenadas cartesiano . Por exemplo, os vetores unitários padrão na direção dos eixos x , y e z de um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional são

Eles formam um conjunto de vetores unitários ortogonais mutuamente , normalmente referidos como uma base padrão na álgebra linear .

Eles são freqüentemente denotados usando notação vetorial comum (por exemplo, i ou ) em vez de notação vetorial de unidade padrão (por exemplo, ). Na maioria dos contextos, pode-se supor que i , j e k , (ou e ) são versores de um sistema de coordenadas cartesianas 3-D. As notações , , , ou , com ou sem chapéu , também são utilizadas, particularmente nos contextos em que i , j , k pode conduzir a confusão com outra quantidade (por exemplo, com índices de símbolos tais como i , j , k , que são usados para identificar um elemento de um conjunto ou matriz ou sequência de variáveis).

Quando um vetor unitário no espaço é expresso em notação cartesiana como uma combinação linear de i , j , k , seus três componentes escalares podem ser referidos como cossenos de direção . O valor de cada componente é igual ao cosseno do ângulo formado pelo vetor unitário com o respectivo vetor base. Este é um dos métodos usados ​​para descrever a orientação (posição angular) de uma linha reta, segmento de linha reta, eixo orientado ou segmento de eixo orientado ( vetor ).

Coordenadas cilíndricas

Os três vetores unitários ortogonais apropriados para a simetria cilíndrica são:

  • (também designado ou ), representando a direção ao longo da qual a distância do ponto do eixo de simetria é medida;
  • , representando a direção do movimento que seria observado se o ponto estivesse girando no sentido anti-horário em torno do eixo de simetria ;
  • , representando a direção do eixo de simetria;

Eles estão relacionados com a base cartesiana , , por:

Os vetores e são funções de direção e não são constantes. Ao diferenciar ou integrar em coordenadas cilíndricas, esses próprios vetores de unidade também devem ser operados. Os derivados em relação a são:

Coordenadas esféricas

Os vetores unitários apropriados para a simetria esférica são:, a direção na qual a distância radial da origem aumenta; , a direção na qual o ângulo no plano x - y no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo está aumentando; e , a direção na qual o ângulo do eixo z positivo está aumentando. Para minimizar a redundância de representações, o ângulo polar é geralmente considerado entre zero e 180 graus. É especialmente importante observar o contexto de qualquer trinca ordenada escrita em coordenadas esféricas , já que as funções de e são frequentemente invertidas. Aqui, a convenção de "física" americana é usada. Isso deixa o ângulo azimutal definido da mesma forma que nas coordenadas cilíndricas. As relações cartesianas são:

Os vetores unitários esféricos dependem de ambos e , portanto, existem 5 derivadas diferentes de zero possíveis. Para uma descrição mais completa, consulte Matriz Jacobiana e determinante . As derivadas diferentes de zero são:

Vetores unitários gerais

Temas comuns de vetores unitários ocorrem em toda a física e geometria :

Vetor unitário Nomenclatura Diagrama
Vetor tangente a uma curva / linha de fluxo "200px" "200px"

Um vetor normal para o plano contendo e definido pelo vetor de posição radial e direção tangencial angular de rotação é necessário para que as equações vetoriais de movimento angular sejam mantidas.

Normal a um plano / plano tangente de superfície contendo componente de posição radial e componente tangencial angular

Em termos de coordenadas polares ;

Vetor binormal para tangente e normal
Paralelo a algum eixo / linha "200px"

Um vetor unitário alinhado paralelamente a uma direção principal (linha vermelha) e um vetor unitário perpendicular está em qualquer direção radial em relação à linha principal.

Perpendicular a algum eixo / linha em alguma direção radial
Possível desvio angular em relação a algum eixo / linha "200px"

Vetor unitário no ângulo de desvio agudo φ (incluindo 0 ou π / 2 rad) em relação a uma direção principal.

Coordenadas curvilíneas

Em geral, um sistema de coordenadas pode ser especificado exclusivamente usando um número de vetores de unidade linearmente independentes (o número real sendo igual aos graus de liberdade do espaço). Para o espaço 3 comum, esses vetores podem ser denotados . Quase sempre é conveniente definir o sistema como ortonormal e destro :

onde é o delta de Kronecker (que é 1 para i = j , e 0 caso contrário) e é o símbolo de Levi-Civita (que é 1 para permutações ordenadas como ijk e −1 para permutações ordenadas como kji ).

Versor certo

Um vetor unitário em foi chamado de versor direito por WR Hamilton , quando ele desenvolveu seus quatérnios . Na verdade, ele foi o criador do termo vector , como cada quaternion tem um escalar parte s e um vector parte v . Se v é um vetor unitário em , então o quadrado de v em quatérnions é -1. Assim, pela fórmula de Euler , é um versor na 3-esfera . Quando θ é um ângulo reto , o versor é um versor direito: sua parte escalar é zero e sua parte do vetor v é um vetor unitário em .

Veja também

Notas

Referências