Unidade (física) - Unitarity (physics)

Na física quântica , a unidade é a condição para que a evolução temporal de um estado quântico de acordo com a equação de Schrödinger seja matematicamente representada por um operador unitário . Isso é normalmente considerado um axioma ou postulado básico da mecânica quântica, enquanto generalizações ou desvios da unitariedade são parte de especulações sobre teorias que podem ir além da mecânica quântica. Um limite de unidade é qualquer desigualdade que segue da unidade do operador de evolução , ou seja, da afirmação de que a evolução do tempo preserva produtos internos no espaço de Hilbert .

Evolução hamiltoniana

A evolução no tempo descrita por um independente do tempo Hamiltoniano é representado por uma família a um parâmetro de operadores unitários , para o qual o hamiltoniano é um gerador de: . Na imagem de Schrödinger , os operadores unitários são levados a agir sobre o estado quântico do sistema, enquanto na imagem de Heisenberg , a dependência do tempo é incorporada aos observáveis . ${\ displaystyle U (t) = e ^ {- i {\ hat {H}} t / \ hbar}}$

Implicações da unidade nos resultados de medição

Na mecânica quântica, cada estado é descrito como um vetor no espaço de Hilbert . Quando uma medição é realizada, é conveniente descrever este espaço usando uma base vetorial em que cada vetor de base tem um resultado definido da medição - por exemplo, uma base vetorial de momento definido no caso de o momento ser medido. O operador de medição é diagonal nesta base.

A probabilidade de obter um determinado resultado medido depende da amplitude da probabilidade, que é dada pelo produto interno do estado físico com os vetores de base que diagonalizam o operador de medição. Para um estado físico que é medido após ter evoluído no tempo, a amplitude de probabilidade pode ser descrita pelo produto interno do estado físico após a evolução do tempo com os vetores de base relevantes , ou equivalentemente pelo produto interno do estado físico com o vetores básicos que evoluíram para trás no tempo. Usando o operador de evolução de tempo , temos: ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle \ {| \ phi _ {i} \ rangle \}}$ ${\ displaystyle e ^ {- i {\ hat {H}} t / \ hbar}}$

{\ displaystyle \ left \ langle \ phi _ {i} \ left | e ^ {- i {\ hat {H}} t / \ hbar} \ psi \ right. \ right \ rangle = \ left \ langle \ left. e ^ {- i {\ hat {H}} (- t) / \ hbar} \ phi _ {i} \ right | \ psi \ right \ rangle}

Mas, por definição de conjugação hermitiana , isso também é:

{\ displaystyle \ left \ langle \ phi _ {i} \ left | e ^ {- i {\ hat {H}} t / \ hbar} \ psi \ right. \ right \ rangle = \ left \ langle \ left. \ phi _ {i} \ left (e ^ {- i {\ hat {H}} t / \ hbar} \ right) ^ {\ dagger} \ right | \ psi \ right \ rangle = \ left \ langle \ left . \ phi _ {i} e ^ {- i {\ hat {H}} ^ {\ dagger} (- t) / \ hbar} \ right | \ psi \ right \ rangle}

Uma vez que essas igualdades são verdadeiras para cada dois vetores, obtemos

{\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {\ dagger} = {\ hat {H}}}

Isso significa que o hamiltoniano é hermitiano e o operador de evolução no tempo é unitário . ${\ displaystyle e ^ {- i {\ hat {H}} t / \ hbar}}$

Visto que pela regra de Born a norma determina a probabilidade de se obter um determinado resultado em uma medição, a unitariedade junto com a regra de Born garante que a soma das probabilidades seja sempre um. Além disso, a unitariedade junto com a regra de Born implica que os operadores de medição na imagem de Heisenberg realmente descrevem como os resultados da medição devem evoluir no tempo. Este ponto é ainda mais enfatizado por um contra-exemplo hipotético: Considere um caso de não unitariedade, quando se obtém uma probabilidade diferente ao medir algum operador (na imagem de Heisenberg) no tempo t ₁ , em comparação com fazer a mesma medição, levando em consideração considere a evolução do tempo, no tempo t ₂ , para que neste momento seja medida. Através de múltiplas dessas medições, pode-se então construir um experimento onde a probabilidade de um resultado R ₁ seria arbitrariamente perto de 100% se tomada no tempo t ₁ , mas a probabilidade de um resultado diferente R ₂ seria arbitrariamente perto de 100% se tirada no tempo t ₂ . Isso leva à inconsistência, pelo menos em algumas interpretações da mecânica quântica. ${\ displaystyle {\ cal {{O} (t_ {1})}}}$ ${\ displaystyle {\ cal {{O} (t_ {2})}}}$

Por exemplo, digamos que Alice e Bob estejam realizando medições no mesmo sistema em momentos diferentes. Alice está medindo no tempo t ₁ e Bob no tempo t ₂ . de acordo com a interpretação de muitos mundos , Bob quase certamente se encontrará em um mundo onde o resultado foi R ₂ . Mas então, quando Bob conhece Alice, Alice também deve ter medido R ₂ . Assim, Alice diria a Bob que havia medido um resultado muito irreal, com probabilidade arbitrariamente próxima de 0%. Assim, em tal cenário, os físicos relatam que tiveram resultados muito irrealistas, e a noção de probabilidade se desfaz.

Implicações na forma do hamiltoniano

O fato de o operador de evolução no tempo ser unitário equivale ao Hamiltoniano de ser Hermitiano . Equivalentemente, isso significa que as energias medidas possíveis, que são os autovalores do hamiltoniano, são sempre números reais.

Amplitude de espalhamento e o teorema óptico

A matriz S é usada para descrever como o sistema físico muda em um processo de espalhamento. Na verdade, é igual ao operador de evolução no tempo por um tempo muito longo (se aproximando do infinito) agindo nos estados de momento das partículas (ou complexo ligado de partículas) no infinito. Portanto, ele também deve ser um operador unitário; um cálculo que produz uma matriz S não unitária freqüentemente implica que um estado ligado foi esquecido.

Teorema óptico

A unidade da matriz S implica, entre outras coisas, o teorema óptico . Poderá ser visto da seguinte forma:

A matriz S pode ser escrita como:

{\ displaystyle S = 1 + iT}

onde está a parte da matriz S que é devida às interações; por exemplo, apenas implica que a matriz S é 1, nenhuma interação ocorre e todos os estados permanecem inalterados. ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T = 0}$

Unidade da matriz S:

{\ displaystyle S ^ {\ dagger} S = 1}

é então equivalente a:

{\ displaystyle -i \ left (TT ^ {\ dagger} \ right) = T ^ {\ dagger} T}

O lado esquerdo é o dobro da parte imaginária da matriz S. Para ver o que é o lado direito, vejamos qualquer elemento específico desta matriz, por exemplo, entre algum estado inicial e estado final , cada um dos quais pode incluir muitas partículas. O elemento da matriz é então: ${\ displaystyle | I \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle F |}$

{\ displaystyle \ left \ langle F \ left | T ^ {\ dagger} T \ right | I \ right \ rangle = \ sum _ {i} \ left \ langle F | T ^ {\ dagger} | A_ {i} \ right \ rangle \ left \ langle A_ {i} | T | I \ right \ rangle}

onde {A _i } é o conjunto de possíveis estados na camada - isto é, estados de momento das partículas (ou complexo ligado de partículas) no infinito.

Assim, duas vezes a parte imaginária da matriz S, é igual a uma soma que representa os produtos das contribuições de todos os espalhamento do estado inicial da matriz S para outro estado físico no infinito, com os espalhamento deste último para o final estado da matriz S. Uma vez que a parte imaginária da matriz S pode ser calculada por partículas virtuais que aparecem em estados intermediários dos diagramas de Feynman , segue-se que essas partículas virtuais devem consistir apenas em partículas reais que também podem aparecer como estados finais. O maquinário matemático usado para garantir isso inclui simetria de calibre e, às vezes, também fantasmas de Faddeev-Popov .

Limites unitários

De acordo com o teorema óptico, a amplitude de probabilidade M para qualquer processo de espalhamento deve obedecer

{\ displaystyle | M | ^ {2} = 2 \ operatorname {Im} (M)}

Limites de unidade semelhantes implicam que as amplitudes e a seção transversal não podem aumentar muito com a energia ou devem diminuir tão rapidamente quanto determina uma determinada fórmula.

Veja também

Referências

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