Ponto de fuga - Vanishing point

Um ponto de fuga pode ser visto no final desta ferrovia.

Um ponto de fuga é um ponto no plano da imagem de um desenho em perspectiva onde as projeções de perspectiva bidimensional (ou desenhos) de linhas mutuamente paralelas no espaço tridimensional parecem convergir. Quando o conjunto de linhas paralelas é perpendicular a um plano de imagem , a construção é conhecida como perspectiva de um ponto, e seu ponto de fuga corresponde ao óculo , ou "ponto de olho", a partir do qual a imagem deve ser vista para a geometria de perspectiva correta. Os desenhos lineares tradicionais usam objetos com um a três conjuntos de paralelos, definindo de um a três pontos de fuga.

Notação vetorial

Uma construção 2D de visualização em perspectiva, mostrando a formação de um ponto de fuga

O ponto de fuga também pode ser referido como o "ponto de direção", já que as linhas com o mesmo vetor direcional, digamos D , terão o mesmo ponto de fuga. Matematicamente, seja q ≡ ( x , y , f ) um ponto situado no plano da imagem, onde f é a distância focal (da câmera associada à imagem), e seja v q ≡ ( x/h, y/h, f/h) seja o vetor unitário associado a q , onde h = x 2 + y 2 + f 2 . Se considerarmos uma linha reta no espaço S com o vetor unitário n s ≡ ( n x , n y , n z ) e seu ponto de fuga v s , o vetor unitário associado com v s é igual an s , assumindo que ambos apontam para o plano da imagem.

Quando o plano da imagem é paralelo a dois eixos de coordenadas mundiais, as linhas paralelas ao eixo que é cortado por este plano da imagem terão imagens que se encontram em um único ponto de fuga. As linhas paralelas aos outros dois eixos não formarão pontos de fuga, pois são paralelas ao plano da imagem. Esta é a perspectiva de um ponto. Da mesma forma, quando o plano da imagem cruza dois eixos de coordenadas mundiais, as linhas paralelas a esses planos se encontram e formam dois pontos de fuga no plano da imagem. Isso é chamado de perspectiva de dois pontos. Na perspectiva de três pontos, o plano da imagem cruza os eixos x , y e z e, portanto, as linhas paralelas a esses eixos se cruzam, resultando em três pontos de fuga diferentes.

Teorema

O teorema do ponto de fuga é o principal teorema da ciência da perspectiva. Ele diz que a imagem em um plano de imagem π de uma linha L no espaço, não paralela à imagem, é determinada por sua interseção com π e seu ponto de fuga. Alguns autores usaram a frase "a imagem de uma linha inclui seu ponto de fuga". Guidobaldo del Monte deu várias verificações, e Humphry Ditton chamou o resultado de "principal e grande proposição". Brook Taylor escreveu o primeiro livro em inglês sobre perspectiva em 1714, que introduziu o termo "ponto de fuga" e foi o primeiro a explicar completamente a geometria da perspectiva multiponto, e o historiador Kirsti Andersen compilou essas observações. Ela regista, em termos de geometria projectiva , o ponto de fuga é a imagem do ponto no infinito relacionado com L , como a linha de mira a partir de ó através do ponto de fuga é paralelo ao G .

Linha de fuga

Assim como um ponto de fuga se origina em uma linha, uma linha de fuga se origina em um plano α que não é paralelo à imagem π . Dado o ponto de visão O , e β o plano paralelo a α e situado em O , então a linha de fuga de α é βπ . Por exemplo, quando α é o plano do solo e β é o plano do horizonte, então a linha de fuga de α é a linha do horizonte βπ . Anderson observa, "Apenas uma linha de desaparecimento particular ocorre, muitas vezes referida como o" horizonte ".

Simplificando, a linha de fuga de algum plano, digamos α , é obtida pela interseção do plano da imagem com outro plano, digamos β , paralelo ao plano de interesse ( α ), passando pelo centro da câmera. Para diferentes conjuntos de linhas paralelas a este plano α , seus respectivos pontos de fuga estarão nesta linha de fuga. A linha do horizonte é uma linha teórica que representa o nível dos olhos do observador. Se o objeto estiver abaixo da linha do horizonte, suas linhas de fuga se inclinarão até a linha do horizonte. Se o objeto estiver acima, eles se inclinam para baixo. Todas as linhas de desaparecimento terminam na linha do horizonte.

Propriedades dos pontos de fuga

1. As projeções de dois conjuntos de linhas paralelas situadas em algum plano π A parecem convergir, ou seja, o ponto de fuga associado a esse par, em uma linha do horizonte, ou linha de fuga H formada pela intersecção do plano da imagem com o plano paralelo a π A e passando pelo orifício. Prova: considere o plano de base π , como y = c que é, por uma questão de simplicidade, ortogonal ao plano da imagem. Além disso, considere uma linha L que está no plano π , que é definido pela equação ax + bz = d . Usando projeções de orifícios de perspectiva, um ponto em L projetado no plano da imagem terá coordenadas definidas como,

x ′ = f ·x/z= f ·d - bz/az
y ′ = f ·y/z= f ·c/z

Esta é a representação paramétrica da imagem L ′ da linha L com z como parâmetro. Quando z → −∞ ele para no ponto ( x ′ , y ′ ) = (-fb/uma, 0) no eixo x ′ do plano da imagem. Este é o ponto de fuga correspondente a todas as linhas paralelas com inclinação -b/umano plano π . Todos os pontos de fuga associados a diferentes linhas com diferentes inclinações pertencentes ao plano π estarão no eixo x ′ , que neste caso é a linha do horizonte.

2. Sejam A , B e C três linhas retas mutuamente ortogonais no espaço ev A ≡ ( x A , y A , f ) , v B ≡ ( x B , y B , f ) , v C ≡ ( x C , y C , f ) são os três pontos de fuga correspondentes, respectivamente. Se conhecermos as coordenadas de um desses pontos, digamos v A , e a direção de uma linha reta no plano da imagem, que passa por um segundo ponto, digamos v B , podemos calcular as coordenadas de v B e v C

3. Sejam A , B e C três linhas retas mutuamente ortogonais no espaço ev A ≡ ( x A , y A , f ) , v B ≡ ( x B , y B , f ) , v C ≡ ( x C , y C , f ) são os três pontos de fuga correspondentes, respectivamente. O ortocentro do triângulo com vértices nos três pontos de fuga é a intersecção do eixo óptico e o plano da imagem.

Perspectiva curvilínea e reversa

Uma perspectiva curvilínea é um desenho com 4 ou 5 pontos de fuga. Na perspectiva de 5 pontos, os pontos de fuga são mapeados em um círculo com 4 pontos de fuga nos títulos cardeais N, W, S, E e um na origem do círculo.

Uma perspectiva reversa é um desenho com pontos de fuga colocados fora da pintura com a ilusão de que estão "na frente" da pintura.

Detecção de pontos de fuga

Vários métodos de detecção do ponto de fuga usam os segmentos de linha detectados nas imagens. Outras técnicas envolvem considerar os gradientes de intensidade dos pixels da imagem diretamente.

Há um número significativamente grande de pontos de fuga presentes em uma imagem. Portanto, o objetivo é detectar os pontos de fuga que correspondem às direções principais de uma cena. Geralmente, isso é feito em duas etapas. A primeira etapa, chamada de etapa de acumulação, como o nome sugere, agrupa os segmentos de linha com a suposição de que um agrupamento compartilhará um ponto de fuga comum. A próxima etapa encontra os principais clusters presentes na cena e, portanto, é chamada de etapa de busca.

Na etapa de acumulação , a imagem é mapeada em um espaço limitado denominado espaço de acumulador. O espaço do acumulador é dividido em unidades chamadas células. Barnard presumiu que esse espaço fosse uma esfera gaussiana centrada no centro óptico da câmera como um espaço acumulador. Um segmento de linha na imagem corresponde a um grande círculo nesta esfera, e o ponto de fuga na imagem é mapeado para um ponto. A esfera gaussiana possui células acumuladoras que aumentam quando um grande círculo passa por elas, ou seja, na imagem um segmento de linha cruza o ponto de fuga. Várias modificações foram feitas desde então, mas uma das técnicas mais eficientes foi usar a Transformada de Hough , mapeando os parâmetros do segmento de linha para o espaço limitado. As transformações de Hough em cascata foram aplicadas para vários pontos de fuga.

O processo de mapeamento da imagem para os espaços delimitados causa a perda das distâncias reais entre os pontos e segmentos de linha.

Na etapa de pesquisa , é encontrada a célula acumuladora com o número máximo de segmentos de linha que passam por ela. Isso é seguido pela remoção desses segmentos de linha e a etapa de pesquisa é repetida até que essa contagem caia abaixo de um certo limite. À medida que mais poder de computação está disponível, pontos correspondentes a duas ou três direções ortogonais mutuamente podem ser encontrados.

Aplicações de pontos de fuga

Uso de relações cruzadas em geometria projetiva para medir dimensões do mundo real de recursos representados em uma projeção em perspectiva . A, B, C, D e V são pontos na imagem, sua separação dada em pixels; A ', B', C 'e D' estão no mundo real, sua separação em metros.
  • Em (1), a largura da rua lateral, W é calculada a partir das larguras conhecidas das lojas adjacentes.
  • Em (2), a largura de apenas uma loja é necessária porque um ponto de fuga , V é visível.
  1. Calibração da câmera: Os pontos de fuga de uma imagem contêm informações importantes para a calibração da câmera. Várias técnicas de calibração foram introduzidas usando as propriedades de pontos de fuga para encontrar parâmetros de calibração intrínsecos e extrínsecos.
  2. Reconstrução 3D : um ambiente feito pelo homem tem duas características principais - várias linhas na cena são paralelas e várias arestas presentes são ortogonais. Pontos de fuga auxiliam na compreensão do meio ambiente. Usando conjuntos de linhas paralelas no plano, a orientação do plano pode ser calculada usando pontos de fuga. Torre e Coelho realizaram uma extensa investigação no uso de pontos de fuga para implementar um sistema completo. Partindo do pressuposto de que o ambiente consiste em objetos com apenas lados paralelos ou perpendiculares, também chamados de Lego-land, eles recuperaram a geometria 3D da cena usando pontos de fuga construídos em uma única imagem da cena. Idéias semelhantes também são usadas no campo da robótica, principalmente em navegação e veículos autônomos, e em áreas relacionadas à detecção de objetos .

Veja também

Referências

links externos