Potencial vetorial - Vector potential

No cálculo vetorial , um potencial vetorial é um campo vetorial cuja ondulação é um determinado campo vetorial. Isso é análogo a um potencial escalar , que é um campo escalar cujo gradiente é um determinado campo vetorial.

Formalmente, dado um campo vetorial v , um potencial vetorial é um campo vetorial A tal que ${\ displaystyle C ^ {2}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla \ times \ mathbf {A}.}$

Consequência

Se um campo vetorial v admite um potencial vetorial A , então da igualdade

${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0}$

(a divergência da onda é zero) obtém-se

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0,}$

o que implica que v deve ser um campo vetorial solenoidal .

Teorema

Deixar

${\ displaystyle \ mathbf {v}: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$

ser um campo vetorial solenoidal que é duas vezes continuamente diferenciável . Suponha que v ( x ) diminua suficientemente rápido como || x || → ∞. Definir

${\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {x}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ frac {\ nabla _ { y} \ times \ mathbf {v} (\ mathbf {y})} {\ left \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ right \ |}} \, d ^ {3} \ mathbf {y }.}$

Então, A é um vetor potencial para v , ou seja,

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {A} = \ mathbf {v}.}$

Uma generalização desse teorema é a decomposição de Helmholtz, que afirma que qualquer campo vetorial pode ser decomposto como a soma de um campo vetorial solenoidal e um campo vetorial irrotacional .

Não singularidade

O potencial vetorial admitido por um campo solenoidal não é único. Se A é um vetor potencial para v , então também é

${\ displaystyle \ mathbf {A} + \ nabla f,}$

onde f é qualquer função escalar continuamente diferenciável. Isso decorre do fato de que a curvatura do gradiente é zero.

Essa não-singularidade leva a um certo grau de liberdade na formulação da eletrodinâmica, ou liberdade do medidor, e requer a escolha de um medidor .

Veja também

• Teorema fundamental do cálculo vetorial
• Potencial de vetor magnético
• Solenóide
• Formas diferenciais fechadas e exatas

Referências

• Fundamentals of Engineering Electromagnetics de David K. Cheng, Addison-Wesley, 1993.