Fórmulas de Vieta - Vieta's formulas

Em matemática , as fórmulas de Vieta são fórmulas que relacionam os coeficientes de um polinômio a somas e produtos de suas raízes . Nomeado após François Viète (mais comumente referido pela forma latinizada de seu nome, "Franciscus Vieta"), as fórmulas são usadas especificamente na álgebra .

Fórmulas básicas

Qualquer polinômio geral de grau n

${\ displaystyle P (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$

(com os coeficientes sendo números reais ou complexos e a _n ≠ 0 ) é conhecido pelo teorema fundamental da álgebra como tendo n (não necessariamente distintas) raízes complexas r ₁ , r ₂ , ..., r _n . As fórmulas de Vieta relacionam os coeficientes do polinômio a somas assinadas dos produtos das raízes r ₁ , r ₂ , ..., r _{n da} seguinte forma:

${\ displaystyle {\ begin {cases} r_ {1} + r_ {2} + \ dots + r_ {n-1} + r_ {n} = - {\ dfrac {a_ {n-1}} {a_ {n }}} \\ (r_ {1} r_ {2} + r_ {1} r_ {3} + \ cdots + r_ {1} r_ {n}) + (r_ {2} r_ {3} + r_ {2 } r_ {4} + \ cdots + r_ {2} r_ {n}) + \ cdots + r_ {n-1} r_ {n} = {\ dfrac {a_ {n-2}} {a_ {n}} } \\ {} \ quad \ vdots \\ r_ {1} r_ {2} \ dots r_ {n} = (- 1) ^ {n} {\ dfrac {a_ {0}} {a_ {n}}} . \ end {casos}}}$

As fórmulas de Vieta podem ser escritas de maneira equivalente como

${\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq n} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {k} r_ {i_ { j}} \ direita) = (- 1) ^ {k} {\ frac {a_ {nk}} {a_ {n}}},}$

para k = 1, 2, ..., n (os índices i _k são classificados em ordem crescente para garantir que cada produto de k raízes seja usado exatamente uma vez).

Os lados esquerdos das fórmulas de Vieta são os polinômios simétricos elementares das raízes.

Generalização para anéis

As fórmulas de Vieta são freqüentemente usadas com polinômios com coeficientes em qualquer domínio R integral . Então, os quocientes pertencem ao anel das frações de R (e possivelmente estão no próprio R se for invertível em R ) e as raízes são tomadas em uma extensão algébrica fechada . Normalmente, R é o anel dos inteiros , o campo das frações é o campo dos números racionais e o campo algebricamente fechado é o campo dos números complexos . ${\ displaystyle a_ {i} / a_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle r_ {i}}$

As fórmulas de Vieta são úteis porque fornecem relações entre as raízes sem ter que computá-las.

Para polinômios sobre um anel comutativo que não é um domínio integral, as fórmulas de Vieta só são válidas quando é um divisor diferente de zero e fatores como . Por exemplo, no anel do módulo de inteiros 8, o polinômio tem quatro raízes: 1, 3, 5 e 7. As fórmulas de Vieta não são verdadeiras se, digamos, e , porque . No entanto, faz fator como e como , e as fórmulas de Vieta são válidas se definirmos e ou e . ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle a_ {n} (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) \ dots (x-r_ {n})}$${\ displaystyle P (x) = x ^ {2} -1}$${\ displaystyle r_ {1} = 1}$${\ displaystyle r_ {2} = 3}$${\ displaystyle P (x) \ neq (x-1) (x-3)}$${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle (x-1) (x-7)}$${\ displaystyle (x-3) (x-5)}$${\ displaystyle r_ {1} = 1}$${\ displaystyle r_ {2} = 7}$${\ displaystyle r_ {1} = 3}$${\ displaystyle r_ {2} = 5}$

Exemplo

Fórmulas de Vieta aplicadas a polinômios quadráticos e cúbicos:

As raízes do polinômio quadrático satisfazem ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$ ${\ displaystyle P (x) = ax ^ {2} + bx + c}$

${\ displaystyle r_ {1} + r_ {2} = - {\ frac {b} {a}}, \ quad r_ {1} r_ {2} = {\ frac {c} {a}}.}$

A primeira dessas equações pode ser usada para encontrar o mínimo (ou máximo) de P ; ver equação quadrática § fórmulas de Vieta .

As raízes do polinômio cúbico satisfazem ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, r_ {3}}$ ${\ displaystyle P (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}$

${\ displaystyle r_ {1} + r_ {2} + r_ {3} = - {\ frac {b} {a}}, \ quad r_ {1} r_ {2} + r_ {1} r_ {3} + r_ {2} r_ {3} = {\ frac {c} {a}}, \ quad r_ {1} r_ {2} r_ {3} = - {\ frac {d} {a}}.}$

Prova

As fórmulas de Vieta podem ser comprovadas ampliando a igualdade

${\ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} = a_ {n} (x-r_ { 1}) (x-r_ {2}) \ cdots (x-r_ {n})}$

(o que é verdade, pois são todas as raízes deste polinômio), multiplicando os fatores do lado direito e identificando os coeficientes de cada potência de${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, \ dots, r_ {n}}$${\ displaystyle x.}$

Formalmente, se um expande os termos são precisamente onde é 0 ou 1, de acordo com se está incluído no produto ou não, ek é o número de que foram excluídos, então o número total de fatores no produto é n (contando com multiplicidade k ) - como existem n escolhas binárias (incluem ou x ), existem termos - geometricamente, estes podem ser entendidos como os vértices de um hipercubo. O agrupamento desses termos por grau produz os polinômios simétricos elementares em - para x ^k , todos os produtos k- dobrados distintos de${\ displaystyle (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) \ cdots (x-r_ {n}),}$${\ displaystyle (-1) ^ {nk} r_ {1} ^ {b_ {1}} \ cdots r_ {n} ^ {b_ {n}} x ^ {k},}$${\ displaystyle b_ {i}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle x ^ {k}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle 2 ^ {n}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle r_ {i}.}$

Como exemplo, considere o quadrático . Comparando poderes idênticos de , encontramos , e , com os quais podemos, por exemplo, identificar e , que são a fórmula de Vieta para . ${\ displaystyle f (x) = a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0} = a_ {2} (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) = a_ {2} (x ^ {2} -x (r_ {1} + r_ {2}) + r_ {1} r_ {2})}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a_ {2} = a_ {2}}$${\ displaystyle a_ {1} = - a_ {2} (r_ {1} + r_ {2})}$${\ displaystyle a_ {0} = a_ {2} (r_ {1} r_ {2})}$${\ displaystyle r_ {1} + r_ {2} = - a_ {1} / a_ {2}}$${\ displaystyle r_ {1} r_ {2} = a_ {0} / a_ {2}}$${\ displaystyle n = 2}$

História

Conforme refletido no nome, as fórmulas foram descobertas pelo matemático francês do século 16, François Viète , para o caso de raízes positivas.

Na opinião do matemático britânico do século XVIII Charles Hutton , citado por Funkhouser, o princípio geral (não apenas para raízes reais positivas) foi compreendido pela primeira vez pelo matemático francês do século XVII Albert Girard :

... [Girard foi] a primeira pessoa a compreender a doutrina geral da formação dos coeficientes dos poderes a partir da soma das raízes e seus produtos. Ele foi o primeiro a descobrir as regras para somar os poderes das raízes de qualquer equação.

Veja também

• Identidades de Newton
• Polinômio simétrico elementar
• Polinômio simétrico
• Conteúdo (álgebra)
• Propriedades das raízes polinomiais
• Teorema de Gauss-Lucas
• Teorema da raiz racional

Referências

• "Teorema de Viète" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Funkhouser, H. Gray (1930), "Um breve relato da história das funções simétricas das raízes das equações", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 37 (7): 357-365, doi : 10.2307 / 2299273 , JSTOR  2299273
• Vinberg, EB (2003), Um curso de álgebra , American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 0-8218-3413-4

• Djukić, Dušan; et al. (2006), The IMO compendium: uma coleção de problemas sugeridos para as Olimpíadas Internacionais de Matemática, 1959–2004 , Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6