Teorema Virial - Virial theorem

Em mecânica , o teorema do virial fornece uma equação geral que relaciona a média ao longo do tempo da energia cinética total de um sistema estável de partículas discretas, ligadas por forças potenciais, com a energia potencial total do sistema. Matematicamente, o teorema afirma

para a energia cinética total t de N partículas, onde F k representa a força sobre o k th partícula, que está localizado na posição r k , e sinais de menor representa o tempo médio ao longo da quantidade fechado. A palavra virial para o lado direito da equação deriva de vis , a palavra latina para "força" ou "energia", e recebeu sua definição técnica por Rudolf Clausius em 1870.

O significado do teorema do virial é que ele permite que a energia cinética total média seja calculada mesmo para sistemas muito complicados que desafiam uma solução exata, como aqueles considerados na mecânica estatística ; esta energia cinética total média está relacionada com a temperatura do sistema pelo teorema da equipartição . No entanto, o teorema do virial não depende da noção de temperatura e é válido mesmo para sistemas que não estão em equilíbrio térmico . O teorema virial foi generalizado de várias maneiras, principalmente para uma forma tensorial .

Se a força entre quaisquer duas partículas do sistema resulta de uma energia potencial V ( r ) = αr n que é proporcional a alguma potência n da distância interpartícula r , o teorema virial assume a forma simples

Assim, duas vezes a energia cinética total média t é igual a n vezes a energia potencial total média V TOT . Enquanto V ( r ) representa a energia potencial entre duas partículas, V TOT representa a energia potencial total do sistema, ou seja, a soma da energia potencial V ( r ) sobre todos os pares de partículas do sistema. Um exemplo comum de tal sistema é uma estrela mantida unida por sua própria gravidade, onde n é igual a -1.

Embora o teorema do virial dependa da média das energias cinética e potencial totais, a apresentação aqui adia a média para a última etapa.

História

Em 1870, Rudolf Clausius deu a palestra "Sobre um Teorema Mecânico Aplicável ao Calor" para a Associação de Ciências Naturais e Médicas do Baixo Reno, após um estudo de termodinâmica de 20 anos. A palestra afirmou que a média vis viva do sistema é igual ao seu virial, ou que a energia cinética média é igual a1/2a energia potencial média. O teorema do virial pode ser obtido diretamente da identidade de Lagrange aplicada na dinâmica gravitacional clássica, a forma original da qual foi incluída no "Ensaio sobre o problema dos três corpos" de Lagrange publicado em 1772. A generalização da identidade de Karl Jacobi para N  corpos e para a forma atual da identidade de Laplace se assemelha muito ao teorema clássico do virial. No entanto, as interpretações que levaram ao desenvolvimento das equações foram muito diferentes, uma vez que, na época do desenvolvimento, a dinâmica estatística ainda não havia unificado os estudos separados da termodinâmica e da dinâmica clássica. O teorema foi posteriormente utilizado, popularizado, generalizado e posteriormente desenvolvido por James Clerk Maxwell , Lord Rayleigh , Henri Poincaré , Subrahmanyan Chandrasekhar , Enrico Fermi , Paul Ledoux , Richard Bader e Eugene Parker . Fritz Zwicky foi o primeiro a usar o teorema virial para deduzir a existência de matéria invisível, que agora é chamada de matéria escura . Richard Bader mostrou que a distribuição de carga de um sistema total pode ser particionada em suas energias cinética e potencial que obedecem ao teorema do virial. Como outro exemplo de suas muitas aplicações, o teorema virial foi usado para derivar o limite de Chandrasekhar para a estabilidade de estrelas anãs brancas .

Caso Especial Ilustrativo

Considere N = 2 partículas com massa igual m , influenciadas por forças mutuamente atrativas. Suponha que as partículas estejam em pontos diametralmente opostos de uma órbita circular com raio r . As velocidades são v 1 ( t ) e v 2 ( t ) = - v 1 ( t ) , que são normais para as forças F 1 ( t ) e F 2 ( t ) = - F 1 ( t ) . As respectivas amplitudes são fixos no v e M . A energia cinética média do sistema é

Tomando como origem o centro de massa, as partículas têm as posições r 1 ( t ) e r 2 ( t ) = - r 1 ( t ) com magnitude fixa r . As forças de atracção agir em sentidos opostos como posições, de modo F 1 ( t ) r 1 ( t ) = F 2 ( t ) r 2 ( t ) = - Pe . A aplicação da fórmula de força centrípeta F = mv 2 / r resulta em:

como requerido. Nota: Se a origem for deslocada, obteremos o mesmo resultado. Isso ocorre porque o produto escalar do deslocamento com forças iguais e opostas F 1 ( t ) , F 2 ( t ) resulta no cancelamento líquido.

Declaração e derivação

Para uma coleção de N partículas pontuais, o momento escalar de inércia I sobre a origem é definido pela equação

onde m k e r k representam a massa e a posição da k ésima partícula. r k = | r k | é a magnitude do vetor de posição. O escalar G é definido pela equação

onde p k é o vetor momentum da k ésima partícula. Supondo que as massas sejam constantes, G é metade do tempo derivado desse momento de inércia

Por sua vez, a derivada de tempo de G pode ser escrita

onde m k é a massa da k ésima partícula, F k =d p k/dté a força resultante nessa partícula, e T é a energia cinética total do sistema de acordo com v k =d r k/dt velocidade de cada partícula

Conexão com a energia potencial entre as partículas

A força total F k na partícula k é a soma de todas as forças das outras partículas j no sistema

onde F jk é a força aplicada pela partícula j na partícula k . Portanto, o virial pode ser escrito

Como nenhuma partícula age sobre si mesma (ou seja, F jj = 0 para 1 ≤ jN ), dividimos a soma em termos abaixo e acima desta diagonal e os somamos em pares:

onde assumimos que a terceira lei do movimento de Newton é válida, isto é, F jk = - F kj (reação igual e oposta).

Muitas vezes acontece que as forças podem ser derivadas de uma energia potencial V jk que é uma função apenas da distância r jk entre as partículas pontuais j e k . Uma vez que a força é o gradiente negativo da energia potencial, temos neste caso

que é igual e oposto a F kj = −∇ r j V kj = −∇ r j V jk , a força aplicada pela partícula k na partícula j , como pode ser confirmado por cálculo explícito. Por isso,

Assim, temos

Caso especial de forças de lei de potência

Em um caso especial comum, a energia potencial V entre duas partículas é proporcional a uma potência n de sua distância r ij

onde o coeficiente α e o expoente n são constantes. Nesses casos, o virial é dado pela equação

onde V TOT é a energia potencial total do sistema

Assim, temos

Para sistemas gravitantes, o expoente n é igual a -1, dando a identidade de Lagrange

que foi derivado por Joseph-Louis Lagrange e estendido por Carl Jacobi .

Média de tempo

A média desta derivada ao longo do tempo, τ , é definida como

a partir da qual obtemos a equação exata

O teorema do virial afirma que se dG/dtΤ = 0 , então

Existem muitas razões pelas quais a média da derivada de tempo pode desaparecer, dG/dtΤ = 0 . Uma razão frequentemente citada se aplica a sistemas com limites estáveis, ou seja, sistemas que permanecem juntos para sempre e cujos parâmetros são finitos. Nesse caso, as velocidades e coordenadas das partículas do sistema têm limites superior e inferior de forma que G ligado , é delimitado entre dois extremos, G min e G max , e a média vai a zero no limite de tempos muito longos τ :

Mesmo que a média da derivada de G no tempo seja apenas aproximadamente zero, o teorema do virial mantém o mesmo grau de aproximação.

Para forças da lei de potência com um expoente n , a equação geral é válida:

Para atração gravitacional , n é igual a -1 e a energia cinética média é igual a metade da energia potencial negativa média

Este resultado geral é útil para sistemas gravitantes complexos, como sistemas solares ou galáxias .

Uma aplicação simples do teorema virial diz respeito a aglomerados de galáxias . Se uma região do espaço está excepcionalmente cheia de galáxias, é seguro assumir que elas estão juntas há muito tempo e o teorema do virial pode ser aplicado. As medições do efeito Doppler fornecem limites inferiores para suas velocidades relativas, e o teorema do virial fornece um limite inferior para a massa total do aglomerado, incluindo qualquer matéria escura.

Se a hipótese ergódica for válida para o sistema em consideração, a média não precisa ser feita ao longo do tempo; uma média do conjunto também pode ser obtida, com resultados equivalentes.

Na mecânica quântica

Embora originalmente derivado para a mecânica clássica, o teorema do virial também é válido para a mecânica quântica, conforme mostrado pela primeira vez por Fock usando o teorema de Ehrenfest .

Avalie o comutador do Hamiltoniano

com o operador de posição X n e o operador de momento

da partícula n ,

Somando todas as partículas, encontra-se para

o comutador equivale a

onde está a energia cinética. O lado esquerdo desta equação é apenasdQ/dt, de acordo com a equação de movimento de Heisenberg . O valor esperado dQ/dt Deste tempo a derivada desaparece em um estado estacionário, levando ao teorema virial quântico ,

A identidade de Pokhozhaev

No campo da mecânica quântica, existe outra forma de teorema virial, aplicável a soluções localizadas para a equação estacionária não linear de Schrödinger ou equação de Klein-Gordon , é a identidade de Pokhozhaev , também conhecido como teorema de Derrick .

Deixe ser contínuo e com valor real, com .

Denote . Deixar

ser uma solução para a equação

no sentido de distribuições .

Então satisfaz a relação

Na relatividade especial

Para uma única partícula na relatividade especial, não é o caso que T =1/2p · v . Em vez disso, é verdade que T = ( γ - 1) mc 2 , onde γ é o fator de Lorentz

e β =v/c. Nós temos,

A última expressão pode ser simplificada para

.

Assim, nas condições descritas nas seções anteriores (incluindo a terceira lei do movimento de Newton , F jk = - F kj , apesar da relatividade), a média de tempo para N partículas com um potencial de lei de potência é

Em particular, a razão de energia cinética para energia potencial não é mais fixa, mas necessariamente cai em um intervalo:

onde os sistemas mais relativísticos exibem as proporções maiores.

Generalizações

Lord Rayleigh publicou uma generalização do teorema virial em 1903. Henri Poincaré provou e aplicou uma forma do teorema virial em 1911 ao problema de formação do sistema solar a partir de uma nuvem proto-estelar (então conhecida como cosmogonia). Uma forma variacional do teorema virial foi desenvolvida em 1945 por Ledoux. Uma forma tensorial do teorema virial foi desenvolvida por Parker, Chandrasekhar e Fermi. A seguinte generalização do teorema do virial foi estabelecida por Pollard em 1964 para o caso da lei do inverso do quadrado:

Caso contrário, um termo de limite deve ser adicionado.

Inclusão de campos eletromagnéticos

O teorema virial pode ser estendido para incluir campos elétricos e magnéticos. O resultado é

onde I é o momento de inércia , G é a densidade de momento do campo eletromagnético , T é a energia cinética do "fluido", U é a energia "térmica" aleatória das partículas, W E e W M são os elétricos e conteúdo de energia magnética do volume considerado. Finalmente, p ik é o tensor de pressão de fluido expresso no sistema de coordenadas móvel local

e T ik é o tensor de estresse eletromagnético ,

Um plasmóide é uma configuração finita de campos magnéticos e plasma. Com o teorema do virial, é fácil ver que qualquer configuração desse tipo se expandirá se não for contida por forças externas. Em uma configuração finita sem paredes que suportam pressão ou bobinas magnéticas, a integral da superfície desaparecerá. Como todos os outros termos do lado direito são positivos, a aceleração do momento de inércia também será positiva. Também é fácil estimar o tempo de expansão τ . Se uma massa total M está confinada dentro de um raio R , então o momento de inércia é aproximadamente MR 2 , e o lado esquerdo do teorema de virial éMR 2/τ 2. Os termos do lado direito somam cerca de pR 3 , onde p é o maior entre a pressão de plasma ou a pressão magnética. Equacionando esses dois termos e resolvendo para τ , encontramos

onde c s é a velocidade da onda acústica de íons (ou a onda de Alfvén , se a pressão magnética for maior que a pressão do plasma). Assim, espera-se que o tempo de vida de um plasmóide seja da ordem do tempo de trânsito acústico (ou de Alfvén).

Sistema Relativístico Uniforme

Caso no sistema físico sejam levados em consideração o campo de pressão, os campos eletromagnético e gravitacional, bem como o campo de aceleração das partículas, o teorema do virial é escrito na forma relativística da seguinte forma:

onde o valor W kγ c T excede a energia cinética das partículas T por um fator igual ao fator de Lorentz γ c das partículas no centro do sistema. Em condições normais podemos assumir que γ c ≈ 1 , então podemos ver que no teorema virial a energia cinética está relacionada com a energia potencial e não pelo coeficiente1/2, mas sim pelo coeficiente próximo a 0,6. A diferença do caso clássico surge devido a considerar o campo de pressão e o campo de aceleração das partículas dentro do sistema, enquanto a derivada do escalar G não é igual a zero e deve ser considerada como a derivada do material .

Uma análise do teorema integral do virial generalizado permite encontrar, com base na teoria de campos, uma fórmula para a raiz quadrada da velocidade média das partículas típicas de um sistema sem utilizar a noção de temperatura:

onde é a velocidade da luz, é a constante do campo de aceleração, é a densidade de massa das partículas, é o raio da corrente.

Ao contrário do teorema virial para partículas, para o campo eletromagnético, o teorema virial é escrito da seguinte forma:

onde a energia considerada como a energia do campo cinético associada a quatro correntes , e

define a energia do campo potencial encontrada através dos componentes do tensor eletromagnético.

Em astrofísica

O teorema do virial é frequentemente aplicado em astrofísica, especialmente relacionando a energia potencial gravitacional de um sistema com sua energia cinética ou térmica . Algumas relações viriais comuns são

para uma massa M , de raio R , a velocidade v , e a temperatura T . As constantes são a constante G de Newton , a constante de Boltzmann k B e a massa do próton m p . Observe que essas relações são apenas aproximadas e, muitas vezes, os principais fatores numéricos (por exemplo3/5 ou 1/2) são totalmente negligenciados.

Galáxias e cosmologia (massa virial e raio)

Na astronomia , a massa e o tamanho de uma galáxia (ou superdensidade geral) são frequentemente definidos em termos de " massa virial " e " raio virial ", respectivamente. Como galáxias e superdensidades em fluidos contínuos podem ser altamente estendidas (até o infinito em alguns modelos, como uma esfera isotérmica ), pode ser difícil definir medidas finitas e específicas de sua massa e tamanho. O teorema virial e os conceitos relacionados fornecem um meio frequentemente conveniente de quantificar essas propriedades.

Na dinâmica da galáxia, a massa de uma galáxia é freqüentemente inferida medindo-se a velocidade de rotação de seu gás e estrelas, assumindo órbitas circulares Kepler . Usando o teorema do virial, a velocidade de dispersão σ pode ser usada de maneira semelhante. Tomando a energia cinética (por partícula) do sistema como T =1/2v 2 ~3/2σ 2 , e a energia potencial (por partícula) como U ~3/5 GM/R nós podemos escrever

Aqui está o raio no qual a dispersão da velocidade está sendo medida, e M é a massa dentro desse raio. A massa virial e o raio são geralmente definidos para o raio em que a dispersão da velocidade é máxima, ou seja,

Como várias aproximações foram feitas, além da natureza aproximada dessas definições, constantes de proporcionalidade de unidade de ordem são freqüentemente omitidas (como nas equações acima). Essas relações são, portanto, precisas apenas em um sentido de ordem de magnitude ou quando usadas de forma autoconsistente.

Uma definição alternativa de massa e raio virial é freqüentemente usada em cosmologia, onde é usada para se referir ao raio de uma esfera, centrada em uma galáxia ou em um aglomerado de galáxias , dentro do qual o equilíbrio virial se mantém. Uma vez que este raio é difícil de determinar observacionalmente, é frequentemente aproximado como o raio dentro do qual a densidade média é maior, por um fator especificado, do que a densidade crítica

onde H é o parâmetro de Hubble e G é a constante gravitacional . Uma escolha comum para o fator é 200, que corresponde aproximadamente à superdensidade típica no colapso esférico de cartola (consulte a massa do Virial ), caso em que o raio do virial é aproximado como

A massa virial é então definida em relação a este raio como

Nas estrelas

O teorema do virial é aplicável aos núcleos das estrelas, estabelecendo uma relação entre a energia potencial gravitacional e a energia cinética térmica (ou seja, temperatura). Conforme as estrelas na sequência principal convertem hidrogênio em hélio em seus núcleos, o peso molecular médio do núcleo aumenta e ele deve se contrair para manter pressão suficiente para suportar seu próprio peso. Essa contração diminui sua energia potencial e, segundo o teorema do virial, aumenta sua energia térmica. A temperatura central aumenta mesmo com a perda de energia, efetivamente um calor específico negativo . Isso continua além da sequência principal, a menos que o núcleo degenere, pois isso faz com que a pressão se torne independente da temperatura e a relação virial com n igual a -1 não mais se mantenha.

Veja também

Referências

Leitura adicional

links externos