Equação de Vlasov - Vlasov equation

A equação de Vlasov é uma equação diferencial que descreve a evolução no tempo da função de distribuição do plasma que consiste em partículas carregadas com interação de longo alcance, por exemplo, Coulomb . A equação foi sugerida pela primeira vez para a descrição do plasma por Anatoly Vlasov em 1938 e posteriormente discutida por ele em detalhes em uma monografia.

Dificuldades da abordagem cinética padrão

Em primeiro lugar, Vlasov argumenta que a abordagem cinética padrão baseada na equação de Boltzmann tem dificuldades quando aplicada a uma descrição do plasma com interação de Coulomb de longo alcance . Ele menciona os seguintes problemas que surgem ao aplicar a teoria cinética baseada em colisões de pares para dinâmica de plasma:

1. A teoria das colisões de pares discorda da descoberta de Rayleigh , Irving Langmuir e Lewi Tonks de vibrações naturais no plasma de elétrons.
2. A teoria das colisões de pares não é formalmente aplicável à interação de Coulomb devido à divergência dos termos cinéticos.
3. A teoria das colisões de pares não pode explicar os experimentos de Harrison Merrill e Harold Webb sobre espalhamento anômalo de elétrons em plasma gasoso.

Vlasov sugere que essas dificuldades se originam do caráter de longo alcance da interação de Coulomb. Ele começa com a equação de Boltzmann sem colisão (às vezes chamada de equação de Vlasov, anacronicamente neste contexto), em coordenadas generalizadas :

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} f (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)} {\ operatorname {d} t}} = 0,}$

explicitamente um PDE :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {r}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot {\ frac {\ parcial f} {\ partial \ mathbf {r}}} + {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {p}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {p}}} = 0,}$

e adaptado ao caso de um plasma, levando aos sistemas de equações mostrados abaixo. Aqui f é uma função de distribuição geral de partículas com momento p nas coordenadas re dado tempo t . Observe que o termo é a força F agindo sobre a partícula. ${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {p}} {\ operatorname {d} t}}}$

O sistema de equações de Vlasov-Maxwell (unidades gaussianas)

Em vez da descrição cinética baseada em colisão para a interação de partículas carregadas no plasma, Vlasov utiliza um campo coletivo autoconsistente criado pelas partículas de plasma carregadas. Tal descrição usa funções de distribuição e de electrões e de plasma (positivos) iões . A função de distribuição para a espécie α descreve o número de partículas da espécie α tendo aproximadamente o momento próximo à posição no tempo t . Em vez da equação de Boltzmann, o seguinte sistema de equações foi proposto para a descrição dos componentes carregados do plasma (elétrons e íons positivos): ${\ displaystyle f_ {e} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$${\ displaystyle f_ {i} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$${\ displaystyle f _ {\ alpha} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {\ partial f_ {e}} {\ partial t}} + \ mathbf {v} _ {e} \ cdot \ nabla f_ {e} & - e \ left ( \ mathbf {E} + {\ frac {\ mathbf {v_ {e}}} {c}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ cdot {\ frac {\ partial f_ {e}} {\ partial \ mathbf {p}}} = 0 \\ {\ frac {\ parcial f_ {i}} {\ parcial t}} + \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ nabla f_ {i} & + Z_ {i } e \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {\ mathbf {v_ {i}}} {c}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ cdot {\ frac {\ partial f_ {i} } {\ partial \ mathbf {p}}} = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf {B} & = {\ frac {4 \ pi \ mathbf {j}} {c}} + {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \\\ nabla \ times \ mathbf {E} & = - {\ frac {1} {c}} {\ frac { \ parcial \ mathbf {B}} {\ parcial t}} \\\ nabla \ cdot \ mathbf {E} & = 4 \ pi \ rho \\\ nabla \ cdot \ mathbf {B} & = 0 \\\ fim {alinhado}}}$

${\ displaystyle \ rho = e \ int (Z_ {i} f_ {i} -f_ {e}) d ^ {3} p, \ quad \ mathbf {j} = e \ int (Z_ {i} f_ {i } \ mathbf {v} _ {i} -f_ {e} \ mathbf {v} _ {e}) d ^ {3} p, \ quad \ mathbf {v} _ {\ alpha} = {\ frac {\ frac {\ mathbf {p}} {m _ {\ alpha}}} {\ left (1 + {\ frac {p ^ {2}} {(m _ {\ alpha} c) ^ {2}}} \ right) ^ {1/2}}}}$

Aqui e é a carga elementar ( ), c é a velocidade da luz , m _i é a massa do íon e representam o campo eletromagnético autoconsistente coletivo criado no ponto no momento t por todas as partículas de plasma. A diferença essencial desse sistema de equações das equações para partículas em um campo eletromagnético externo é que o campo eletromagnético autoconsistente depende de uma forma complexa das funções de distribuição de elétrons e íons e . ${\ displaystyle e> 0}$${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle f_ {e} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$${\ displaystyle f_ {i} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$

A equação de Vlasov-Poisson

As equações de Vlasov-Poisson são uma aproximação das equações de Vlasov-Maxwell no limite do campo magnético zero não relativístico:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f _ {\ alpha}} {\ partial t}} + \ mathbf {v} _ {\ alpha} \ cdot {\ frac {\ partial f _ {\ alpha}} {\ partial \ mathbf {x}}} + {\ frac {q _ {\ alpha} \ mathbf {E}} {m _ {\ alpha}}} \ cdot {\ frac {\ partial f _ {\ alpha}} {\ partial \ mathbf { v}}} = 0,}$

e a equação de Poisson para campo elétrico autoconsistente:

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi + \ rho = 0.}$

Aqui q _α é a carga elétrica da partícula, m _α é a massa da partícula, é o campo elétrico autoconsistente , o potencial elétrico autoconsistente e ρ é a densidade da carga elétrica . ${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t)}$${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, t)}$

As equações de Vlasov-Poisson são usadas para descrever vários fenômenos no plasma, em particular o amortecimento de Landau e as distribuições em um plasma de camada dupla , onde são necessariamente fortemente não Maxwellianas e, portanto, inacessíveis a modelos de fluidos.

Equações de momento

Nas descrições de fluidos de plasmas (ver modelagem de plasma e magnetohidrodinâmica (MHD)) não se considera a distribuição de velocidade. Isso é obtido substituindo-se por momentos de plasma, como densidade numérica n , velocidade de fluxo u e pressão p . Eles são chamados de momentos de plasma porque o n- ésimo momento de pode ser encontrado integrando -se à velocidade. Essas variáveis ​​são apenas funções de posição e tempo, o que significa que algumas informações são perdidas. Na teoria dos multifluidos, as diferentes espécies de partículas são tratadas como diferentes fluidos com diferentes pressões, densidades e velocidades de fluxo. As equações que governam os momentos do plasma são chamadas de equações do momento ou do fluido. ${\ displaystyle f (\ mathbf {r}, \ mathbf {v}, t)}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle v ^ {n} f}$

Abaixo, são apresentadas as duas equações de momento mais usadas (em unidades do SI ). Derivar as equações de momento da equação de Vlasov não requer suposições sobre a função de distribuição.

Equação de continuidade

A equação de continuidade descreve como a densidade muda com o tempo. Ele pode ser encontrado pela integração da equação de Vlasov em todo o espaço de velocidade.

${\ displaystyle \ int {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} fd ^ {3} v = \ int \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} f + (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla _ {r}) f + (\ mathbf {a} \ cdot \ nabla _ {v}) f \ right) d ^ {3} v = 0}$

Depois de alguns cálculos, termina-se com

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} n + \ nabla \ cdot (n \ mathbf {u}) = 0.}$

A densidade de número n , e a densidade de momento n u , são pontos zero e momentos de primeira ordem:

${\ displaystyle n = \ int fd ^ {3} v}$

${\ displaystyle n \ mathbf {u} = \ int \ mathbf {v} fd ^ {3} v}$

Equação de momentum

A taxa de variação do momento de uma partícula é dada pela equação de Lorentz:

${\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) }$

Usando esta equação e a Equação de Vlasov, a equação de momento para cada fluido torna-se

${\ displaystyle mn {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ mathbf {u} = - \ nabla \ cdot {\ mathcal {P}} + qn \ mathbf {E} + qn \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}}$,

onde está o tensor de pressão. O derivado do material é ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla.}$

O tensor de pressão é definido como a massa da partícula vezes a matriz de covariância da velocidade:

${\ displaystyle p_ {ij} = m \ int (v_ {i} -u_ {i}) (v_ {j} -u_ {j}) fd ^ {3} v.}$

A aproximação congelada

Quanto ao MHD ideal , o plasma pode ser considerado como vinculado às linhas do campo magnético quando certas condições são satisfeitas. Costuma-se dizer que as linhas do campo magnético estão congeladas no plasma. As condições congeladas podem ser derivadas da equação de Vlasov.

Apresentamos as escalas T, L e V para tempo, distância e velocidade, respectivamente. Eles representam as magnitudes dos diferentes parâmetros que dão grandes mudanças em . Em geral, queremos dizer que ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} T \ sim f \ quad \ left | {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {r}}} \ right | L \ sim f \ quad \ left | {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v}}} \ right | V \ sim f.}$

Nós então escrevemos

${\ displaystyle t ^ {\ prime} = {\ frac {t} {T}} \ quad \ mathbf {r} ^ {\ prime} = {\ frac {\ mathbf {r}} {L}} \ quad \ mathbf {v} ^ {\ prime} = {\ frac {\ mathbf {v}} {V}}.}$

A equação de Vlasov agora pode ser escrita

${\ displaystyle {\ frac {1} {T}} {\ frac {\ partial f} {\ partial t ^ {\ prime}}} + {\ frac {V} {L}} \ mathbf {v} ^ { \ prime} \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {r} ^ {\ prime}}} + {\ frac {q} {mV}} (\ mathbf {E} + V \ mathbf { v} ^ {\ prime} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v} ^ {\ prime}}} = 0.}$

Até agora, nenhuma aproximação foi feita. Para poder prosseguir, definimos , onde é a frequência do giroscópio e R é o giro - rádio . Ao dividir por ω _g , obtemos ${\ displaystyle V = R \ omega _ {g}}$${\ displaystyle \ omega _ {g} = qB / m}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {g} T}} {\ frac {\ partial f} {\ partial t ^ {\ prime}}} + {\ frac {R} {L}} \ mathbf {v} ^ {\ prime} \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {r} ^ {\ prime}}} + \ left ({\ frac {\ mathbf {E}} {VB }} + \ mathbf {v} ^ {\ prime} \ times {\ frac {\ mathbf {B}} {B}} \ right) \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v} ^ {\ prime}}} = 0}$

Se e , os dois primeiros termos serão muito menores do que desde e devido às definições de T, L e V acima. Como o último termo é da ordem de , podemos negligenciar os dois primeiros termos e escrever ${\ displaystyle 1 / \ omega _ {g} \ ll T}$${\ displaystyle R \ ll L}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ partial f / \ partial t ^ {\ prime} \ sim f, v ^ {\ prime} \ lesssim 1}$${\ displaystyle \ partial f / \ partial \ mathbf {r} ^ {\ prime} \ sim f}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ mathbf {E}} {VB}} + \ mathbf {v} ^ {\ prime} \ times {\ frac {\ mathbf {B}} {B}} \ right) \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v} ^ {\ prime}}} \ approx 0 \ Rightarrow (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v}}} \ approx 0}$

Esta equação pode ser decomposta em um campo alinhado e uma parte perpendicular:

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ |} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v} _ {\ |}}} + (\ mathbf {E} _ {\ perp} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v} _ {\ perp}}} \ approx 0}$

A próxima etapa é escrever , onde ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {0} + \ Delta \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} \ times \ mathbf {B} = - \ mathbf {E} _ {\ perp}}$

Logo ficará claro por que isso é feito. Com esta substituição, obtemos

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ |} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v} _ {\ |}}} + (\ Delta \ mathbf {v} _ {\ perp} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v} _ {\ perp}}} \ approx 0}$

Se o campo elétrico paralelo for pequeno,

${\ displaystyle (\ Delta \ mathbf {v} _ {\ perp} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v} _ {\ perp}}} \ aproximadamente 0}$

Esta equação significa que a distribuição é girotrópica. A velocidade média de uma distribuição girotrópica é zero. Portanto, é idêntico à velocidade média, u , e temos ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0}}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} + \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B} \ approx 0}$

Para resumir, o período e o raio do giroscópio devem ser muito menores do que os tempos e comprimentos típicos que dão grandes mudanças na função de distribuição. O raio do giroscópio é frequentemente estimado substituindo V pela velocidade térmica ou a velocidade de Alfvén . No último caso, R é freqüentemente chamado de comprimento inercial. As condições de congelamento devem ser avaliadas para cada espécie de partícula separadamente. Como os elétrons têm período e raio do giroscópio muito menores do que os íons, as condições de congelamento serão mais frequentemente satisfeitas.

Veja também

• Lista de artigos de física de plasma
• Equação de Fokker-Planck

Referências

Leitura adicional

• Vlasov, AA (1961). "Teoria de muitas partículas e sua aplicação ao plasma". New York . Bibcode : 1961temc.book ..... V .