Desigualdade de rastreamento - Trace inequality

Em matemática , existem muitos tipos de desigualdades envolvendo matrizes e operadores lineares em espaços de Hilbert . Este artigo cobre algumas desigualdades de operador importantes relacionadas com traços de matrizes.

Definições básicas

Deixe H n representar o espaço das Hermitiana n × n matrizes, H n + denotar o conjunto constituído por semi-definida positiva n × n matrizes hermitianas e H n ++ denotar o conjunto de positivas definidas matrizes hermitianas. Para operadores em um espaço de Hilbert de dimensão infinita, exigimos que eles sejam classe de rastreamento e auto-adjuntos , caso em que definições semelhantes se aplicam, mas discutimos apenas matrizes, para simplificar.

Para qualquer função de valor real f em um intervalo I ⊂ ℝ, pode-se definir uma função de matriz f (A) para qualquer operador AH n com autovalores λ em I definindo-o nos autovalores e projetores P correspondentes como

dada a decomposição espectral

Operador monótono

Uma função f : I → ℝ definida em um intervalo I ⊂ ℝ é considerada um operador monótono se ∀ n , e todo A, BH n com autovalores em I , o seguinte é válido,

onde a desigualdade A ≥ B significa que o operador A - B ≥ 0 é semi-definido positivo. Pode-se verificar que f (A) = A 2 não é, de fato, um operador monótono!

Operador convexo

Uma função é considerada como operador convexa se para todo e qualquer A, BH n com autovalores em I , e , o seguinte é válido

Note-se que o operador tem valores próprios em , uma vez e tem valores próprios em I .

Uma função é um operador côncavo se for um operador convexo, ou seja, a desigualdade acima para é invertida.

Convexidade da articulação

Uma função , definida em intervalos, é considerada conjuntamente convexa se para todos e todos com autovalores em e todos com autovalores em , e qualquer um dos seguintes é válido

Uma função g é conjuntamente côncava se - g for conjuntamente convexa, ou seja, a desigualdade acima para g é invertida.

Função de rastreamento

Dada uma função f : ℝ → ℝ, a função traço associada em H n é dada por

onde A tem autovalores λ e Tr representa um traço do operador.

Convexidade e monotonicidade da função de rastreamento

Seja f : ℝ → ℝ contínuo e seja n qualquer inteiro. Então, se o monótono está aumentando, o mesmo ocorre com H n .

Da mesma forma, se for convexo , o mesmo ocorrerá com H n , e será estritamente convexo se f for estritamente convexo.

Veja a prova e discussão em, por exemplo.

Teorema de Löwner-Heinz

Pois , a função é operador monótono e operador côncavo.

Pois , a função é operador monótono e operador côncavo.

Pois , a função é convexa do operador. Além disso,

é operador côncavo e operador monótono, enquanto
é o operador convexo.

A prova original deste teorema é devida a K. Löwner que deu uma condição necessária e suficiente para f ser um operador monótono. Uma prova elementar do teorema é discutida em e uma versão mais geral dele em.

A desigualdade de Klein

Para todos Hermitiana n × n matrizes A e B e todos os diferenciáveis funções convexas f : ℝ → ℝ com derivado f ' , ou para todos Hermitiana definida positiva n × n matrizes A e B , e todas as funções convexas diferenciáveis f : (0, ∞) → ℝ, a seguinte desigualdade é válida,

Em ambos os casos, se f é estritamente convexa, igualdade se e somente se A = B . Uma escolha popular em aplicações é f ( t ) = t log t , veja abaixo.

Prova

Deixe assim, para ,

,

varia de a .

Definir

.

Por convexidade e monotonicidade de funções de traço, é convexo, e assim para todos ,

,

qual é,

,

e, de fato, o lado direito é monótono diminuindo em .

Pegando o limite de rendimentos,

,

que com rearranjo e substituição é a desigualdade de Klein:

Observe que se é estritamente convexo e , então, estritamente convexo. A afirmação final decorre disso e do fato de que é monótona diminuindo em .

Desigualdade de Golden – Thompson

Em 1965, S. Golden e CJ Thompson descobriram independentemente que

Para quaisquer matrizes ,

Essa desigualdade pode ser generalizada para três operadores: para operadores não negativos ,

Desigualdade Peierls-Bogoliubov

Seja tal que Tr e R = 1. Definindo g = Tr Fe R , temos

A prova dessa desigualdade segue do exposto, combinado com a desigualdade de Klein . Tome f ( x ) = exp ( x ), A = R + F e B = R + gI .

Princípio variacional de Gibbs

Let Ser um operador auto-adjunto, que é uma classe de rastreamento . Então, para qualquer um com

com igualdade se e somente se

Teorema da concavidade de Lieb

O seguinte teorema foi provado por EH Lieb in. Ele prova e generaliza uma conjectura de EP Wigner, MM Yanase e FJ Dyson. Seis anos depois, outras provas foram fornecidas por T. Ando e B. Simon, e várias outras foram fornecidas desde então.

Para todas as matrizes , e todos e tal que e , com o mapa de valor real dado por

  • é côncavo em conjunto
  • é convexo em .

Aqui representa o operador adjunto de

Teorema de Lieb

Para uma matriz hermitiana fixa , a função

é côncavo .

O teorema e a prova são devidos a EH Lieb, Thm 6, onde ele obtém este teorema como um corolário do Teorema da concavidade de Lieb. A prova mais direta é devida a H. Epstein; veja os artigos de MB Ruskai, para uma revisão desse argumento.

Teorema da convexidade de Ando

A prova de T. Ando do teorema da concavidade de Lieb levou ao seguinte complemento significativo a ele:

Para todas as matrizes , e todos e com , o mapa de valor real dado por

é convexo.

Convexidade da junta de entropia relativa

Para dois operadores, defina o seguinte mapa

Para matrizes de densidade e , o mapa é a entropia relativa quântica de Umegaki .

Observe que a não negatividade de decorre da desigualdade de Klein com .

Demonstração

O mapa é convexo em conjunto.

Prova

Para todos , é conjuntamente côncavo, pelo teorema da concavidade de Lieb , e assim

é convexo. Mas

e a convexidade é preservada no limite.

A prova deve-se a G. Lindblad.

Operador de Jensen e desigualdades de rastreamento

A versão do operador da desigualdade de Jensen é devida a C. Davis.

Uma função real contínua em um intervalo satisfaz a Desigualdade do Operador de Jensen se o seguinte for válido

para os operadores com e para operadores auto-adjuntos com espectro em .

Veja, para a prova dos dois teoremas a seguir.

O traço de desigualdade de Jensen

Seja f uma função contínua definida em um intervalo I e sejam m e n números naturais. Se f for convexo, então temos a desigualdade

para todos ( X 1 , ..., X n ) autoadjunto m × m matrizes com espectros contido em I e todos ( A 1 , ..., A n ) de m x m matrizes com

Por outro lado, se a desigualdade acima for satisfeita para algum n e m , onde n > 1, então f é convexo.

Desigualdade do operador de Jensen

Para uma função contínua definida em um intervalo, as seguintes condições são equivalentes:

  • é o operador convexo.
  • Para cada número natural , temos a desigualdade

para todos delimitada, operadores auto-adjuntos em um arbitrário espaço de Hilbert com espectros contidos em e todos em com

  • para cada isometria em um espaço de Hilbert de dimensão infinita e

cada operador auto-adjunto com espectro em .

  • para cada projeção em um espaço de Hilbert de dimensão infinita , cada operador auto-adjunto com espectro em e em cada pol .

Desigualdade de Araki – Lieb – Thirring

EH Lieb e WE Thirring provaram a seguinte desigualdade em 1976: Para qualquer , e

Em 1990, H. Araki generalizou a desigualdade acima para a seguinte: Para qualquer , e

para

e

para

Existem várias outras desigualdades perto da desigualdade Lieb-Thirring, como o seguinte: para qualquer , e

e ainda mais geralmente: para qualquer , , e ,

A desigualdade acima generaliza a anterior, como pode ser visto através da troca por e por com e usando a ciclicidade do traço, levando a

Teorema de Effros e sua extensão

E. Effros provou o seguinte teorema.

Se é uma função convexa operador, e e é de comutação delimitada linear operadores, ou seja, o comutador , a perspectiva

é convexa em conjunto, ou seja, se e com (i = 1,2), ,

Ebadian et al. posteriormente estendeu a desigualdade para o caso de e não comutar.

Desigualdade de rastreamento de Von Neumann e resultados relacionados

A desigualdade de traço de Von Neumann, nomeada em homenagem a seu originador John von Neumann , afirma que para qualquer n  ×  n matrizes complexas AB com valores singulares e , respectivamente,

Um corolário simples para isso é o seguinte resultado: Para matrizes complexas semidefinidas positivas A , B de hermitian n  ×  n ,  onde agora os valores próprios são classificados de forma decrescente ( e , respectivamente),

Veja também

Referências