Álgebra de Von Neumann - Von Neumann algebra

Em matemática , uma álgebra de von Neumann ou W * -álgebra é uma * -álgebra de operadores limitados em um espaço de Hilbert que é fechado na topologia do operador fraco e contém o operador de identidade . É um tipo especial de álgebra C * .

As álgebras de Von Neumann foram originalmente introduzidas por John von Neumann , motivado por seu estudo de operadores únicos , representações de grupo , teoria ergódica e mecânica quântica . Seu teorema comutante duplo mostra que a definição analítica é equivalente a uma definição puramente algébrica como uma álgebra de simetrias.

Dois exemplos básicos de álgebras de von Neumann são os seguintes:

As álgebras de Von Neumann foram estudadas pela primeira vez por von Neumann (1930) em 1929; ele e Francis Murray desenvolveram a teoria básica, sob o nome original de anéis de operadores , em uma série de artigos escritos nas décadas de 1930 e 1940 (FJ Murray & J. von Neumann  1936 , 1937 , 1943 ; J. von Neumann  1938 , 1940 , 1943 , 1949 ), reimpresso nas obras coletadas de von Neumann (1961) .

Relatos introdutórios das álgebras de von Neumann são fornecidos nas notas online de Jones (2003) e Wassermann (1991) e nos livros de Dixmier (1981) , Schwartz (1967) , Blackadar (2005) e Sakai (1971) . A obra em três volumes de Takesaki (1979) oferece uma descrição enciclopédica da teoria. O livro de Connes (1994) discute tópicos mais avançados.

Definições

Existem três maneiras comuns de definir álgebras de von Neumann.

A primeira e mais comum maneira é defini-los como * -álgebras fracamente fechadas de operadores limitados (em um espaço de Hilbert) contendo a identidade. Nesta definição, a topologia fraca (operador) pode ser substituída por muitas outras topologias comuns, incluindo as topologias de operador forte , ultra forte ou ultrafaca . As * -álgebras de operadores limitados que são fechados na topologia de norma são C * -álgebras , portanto, em particular, qualquer álgebra de von Neumann é uma C * -álgebra.

A segunda definição é que uma álgebra de von Neumann é uma subálgebra dos operadores limitados fechados sob involução (a operação *) e igual a seu comutante duplo , ou equivalentemente o comutante de alguma subálgebra fechada sob *. O teorema do comutante duplo de von Neumann ( von Neumann 1930 ) diz que as duas primeiras definições são equivalentes.

As duas primeiras definições descrevem uma álgebra de von Neumann concretamente como um conjunto de operadores agindo em algum espaço de Hilbert dado. Sakai (1971) mostrou que as álgebras de von Neumann também podem ser definidas abstratamente como C * -álgebras que têm um pré - dual ; em outras palavras, a álgebra de von Neumann, considerada como um espaço de Banach, é o dual de algum outro espaço de Banach chamado de pré-dual. O predual de uma álgebra de von Neumann é de fato exclusivo até o isomorfismo. Alguns autores usam "álgebra de von Neumann" para as álgebras junto com uma ação espacial de Hilbert e "W * -álgebra" para o conceito abstrato, então uma álgebra de von Neumann é uma álgebra de W * juntamente com um espaço de Hilbert e um fiel adequado ação unital no espaço de Hilbert. As definições concretas e abstratas de uma álgebra de von Neumann são semelhantes às definições concretas e abstratas de uma C * -álgebra, que pode ser definida como norm-closed * -algebras de operadores em um espaço de Hilbert ou como Banach * -algebras tal que || aa * || = || a || || a * ||.

Terminologia

Parte da terminologia da teoria da álgebra de von Neumann pode ser confusa e os termos geralmente têm significados diferentes fora do assunto.

  • Um fator é uma álgebra de von Neumann com centro trivial, ou seja, um centro que consiste apenas em operadores escalares.
  • Uma álgebra de von Neumann finita é aquela que é a integral direta de fatores finitos (o que significa que a álgebra de von Neumann tem um estado tracial normal fiel τ: M → ℂ, veja http://perso.ens-lyon.fr/gaboriau/evenements/ IHP-trimester / IHP-CIRM / Notes = Cyril = finite-vonNeumann.pdf ). Similarmente, álgebras de von Neumann apropriadamente infinitas são a integral direta de fatores apropriadamente infinitos.
  • Uma álgebra de von Neumann que atua em um espaço de Hilbert separável é chamada de separável . Observe que tais álgebras raramente são separáveis na topologia normal.
  • A álgebra de von Neumann gerada por um conjunto de operadores limitados em um espaço de Hilbert é a menor álgebra de von Neumann que contém todos esses operadores.
  • O produto tensorial de duas álgebras de von Neumann atuando em dois espaços de Hilbert é definido como a álgebra de von Neumann gerada por seu produto tensorial algébrico, considerados como operadores no produto tensorial do espaço de Hilbert dos espaços de Hilbert.

Por esquecendo sobre a topologia em um álgebra von Neumann, podemos considerá-lo um (unital) * -álgebra , ou apenas um anel. As álgebras de Von Neumann são semi - hereditárias : todo submódulo finitamente gerado de um módulo projetivo é ele mesmo projetivo. Houve várias tentativas de axiomatizar os anéis subjacentes das álgebras de von Neumann, incluindo os anéis de Baer * e as álgebras de AW * . A álgebra * de operadores afiliados de uma álgebra de von Neumann finita é um anel regular de von Neumann . (A própria álgebra de von Neumann em geral não é regular de von Neumann.)

Álgebras de von Neumann comutativas

A relação entre conmutativos álgebra de Von Neumann e espaços de medida é análoga à que existe entre conmutativos C * -álgebras e localmente compactos espaços Hausdorff . Cada álgebra de von Neumann comutativa é isomórfica a L ( X ) para algum espaço de medida ( X , μ) e, inversamente, para cada espaço de medida σ-finito X , a * -álgebra L ( X ) é uma álgebra de von Neumann.

Devido a essa analogia, a teoria das álgebras de von Neumann foi chamada de teoria da medida não comutativa, enquanto a teoria das C * -álgebras às vezes é chamada de topologia não comutativa ( Connes 1994 ).

Projeções

Os operadores E em uma álgebra de von Neumann para os quais E = EE = E * são chamados de projeções ; eles são exatamente os operadores que fornecem uma projeção ortogonal de H em algum subespaço fechado. Um subespaço do espaço de Hilbert H é dito que pertencem a von Neumann álgebra M se que é a imagem de uma projecção em H . Isto estabelece um 1: 1 a correspondência entre as projecções de H e subespaços que pertencem a M . Informalmente, esses são os subespaços fechados que podem ser descritos usando elementos de M , ou que M "conhece".

Pode ser mostrado que o fecho da imagem de qualquer operador no H e o núcleo de qualquer operador no H pertence M . Além disso, o fecho da imagem sob um operador de H de qualquer subespaço pertencente a H também pertence a M . (Esses resultados são uma consequência da decomposição polar ).

Teoria de comparação de projeções

A teoria básica das projeções foi elaborada por Murray & von Neumann (1936) . Dois subespaços pertencentes a M são chamados de ( Murray – von Neumann ) equivalentes se houver uma isometria parcial mapeando o primeiro isomorficamente sobre o outro que é um elemento da álgebra de von Neumann (informalmente, se M "sabe" que os subespaços são isomórficos) . Isso induz uma relação de equivalência natural nas projeções, definindo E como equivalente a F se os subespaços correspondentes forem equivalentes, ou em outras palavras, se houver uma isometria parcial de H que mapeia a imagem de E isometricamente à imagem de F e é um elemento da álgebra de von Neumann. Outra forma de dizer isto é que E é equivalente a F , se E = uu * e F = u * u para alguns isometría parcial u em H .

A relação de equivalência ~ assim definida é aditiva no seguinte sentido: Suponha E 1 ~ F 1 e E 2 ~ F 2 . Se E 1E 2 e F 1F 2 , então E 1 + E 2 ~ F 1 + F 2 . A aditividade geralmente não se manteria se alguém exigisse equivalência unitária na definição de ~, isto é, se dissermos que E é equivalente a F se u * Eu = F para algum u unitário .

Os subespaços pertencentes a M são parcialmente ordenados por inclusão, e isso induz uma ordem parcial ≤ de projeções. Existe também uma ordem parcial natural no conjunto das classes de equivalência das projeções, induzida pela ordem parcial ≤ das projeções. Se M é um fator, ≤ é uma ordem total nas classes de equivalência de projeções, descritas na seção sobre traços abaixo.

Uma projecção (ou subespaço pertencente a H ) E é dito ser uma projecção finito se não houver nenhuma projecção F < E (ou seja, FE e FE ) que é equivalente a E . Por exemplo, todas as projeções de dimensão finita (ou subespaços) são finitas (uma vez que as isometrias entre os espaços de Hilbert deixam a dimensão fixa), mas o operador de identidade em um espaço de Hilbert de dimensão infinita não é finito na álgebra de von Neumann de todos os operadores limitados em , uma vez que é isomórfico a um subconjunto próprio de si mesmo. No entanto, é possível que subespaços dimensionais infinitos sejam finitos.

As projeções ortogonais são análogos não comutativos das funções indicadoras em L ( R ). L ( R ) é o || · || -clusão do subespaço gerado pelas funções do indicador. Da mesma forma, uma álgebra de von Neumann é gerada por suas projeções; isso é uma consequência do teorema espectral para operadores auto-adjuntos .

As projeções de um fator finito formam uma geometria contínua .

Fatores

Uma álgebra de von Neumann N cujo centro consiste apenas em múltiplos do operador de identidade é chamada de fator . Von Neumann (1949) mostrou que toda álgebra de Von Neumann em um espaço de Hilbert separável é isomórfica a uma integral direta de fatores. Essa decomposição é essencialmente única. Assim, o problema de classificar classes de isomorfismo de álgebras de von Neumann em espaços de Hilbert separáveis ​​pode ser reduzido ao de classificar classes de fatores de isomorfismo.

Murray & von Neumann (1936) mostraram que cada fator tem um dos 3 tipos descritos a seguir. A classificação de tipo pode ser estendida a álgebras de von Neumann que não são fatores, e uma álgebra de von Neumann é do tipo X se puder ser decomposta como uma integral direta dos fatores do tipo X; por exemplo, toda álgebra de von Neumann comutativa tem tipo I 1 . Cada álgebra de von Neumann pode ser escrita exclusivamente como uma soma das álgebras de von Neumann dos tipos I, II e III.

Existem várias outras maneiras de dividir os fatores em classes que às vezes são usadas:

  • Um fator é denominado discreto (ou ocasionalmente domesticado ) se tiver o tipo I, e contínuo (ou ocasionalmente selvagem ) se tiver o tipo II ou III.
  • Um fator é denominado semifinito se tiver tipo I ou II, e puramente infinito se tiver tipo III.
  • Um fator é denominado finito se a projeção 1 for finita e apropriadamente infinita caso contrário. Os fatores dos tipos I e II podem ser finitos ou propriamente infinitos, mas os fatores do tipo III são sempre propriamente infinitos.

Fatores tipo I

Diz-se que um fator é do tipo I se houver uma projeção mínima E ≠ 0 , ou seja, uma projeção E tal que não haja outra projeção F com 0 < F < E . Qualquer fator do tipo I é isomórfico à álgebra de von Neumann de todos os operadores limitados em algum espaço de Hilbert; uma vez que existe um espaço de Hilbert para cada número cardinal , as classes de isomorfismo de fatores do tipo I correspondem exatamente aos números cardinais. Uma vez que muitos autores consideram as álgebras de von Neumann apenas em espaços de Hilbert separáveis, é comum chamar os operadores limitados em um espaço de Hilbert de dimensão finita n um fator do tipo I n , e os operadores limitados em um espaço de Hilbert infinito-dimensional separável, um fator do tipo I .

Fatores tipo II

Diz-se que um fator é do tipo II se não houver projeções mínimas, mas houver projeções finitas diferentes de zero . Isto implica que cada projecção E pode ser “metade” no sentido de que existem duas projecções F e G que são Murray-von Neumann equivalente e satisfazer E = F + G . Se o operador de identidade em um fator do tipo II for finito, o fator é dito ser do tipo II 1 ; caso contrário, diz-se que é do tipo II . Os factores mais bem compreendidos de tipo II são o tipo II hyperfinite um fator e o tipo II hyperfinite fator , encontrado por Murray & von Neumann (1936) . Esses são os fatores hiperfinitos únicos dos tipos II 1 e II ; há um número incontável de outros fatores desses tipos que são objeto de estudo intensivo. Murray & von Neumann (1937) provaram o resultado fundamental de que um fator do tipo II 1 possui um estado tracial finito único, e o conjunto de traços de projeções é [0,1].

Um fator do tipo II possui um traço semifinito, único até o reescalonamento, e o conjunto de traços das projeções é [0, ∞]. O conjunto de números reais λ tal que há um automorfismo redimensionando o traço por um fator de λ é chamado de grupo fundamental do fator tipo II .

O produto tensorial de um fator do tipo II 1 e de um fator infinito do tipo I tem o tipo II e, inversamente, qualquer fator do tipo II pode ser construído dessa forma. O grupo fundamental de um fator do tipo II 1 é definido como o grupo fundamental de seu produto tensorial com o fator infinito (separável) do tipo I. Por muitos anos foi um problema em aberto encontrar um fator do tipo II cujo grupo fundamental não era o grupo de reais positivos , mas Connes então mostrou que a álgebra de grupo de von Neumann de um grupo discreto contável com propriedade de Kazhdan (T) (a representação trivial é isolada no espaço dual), como SL (3, Z ), tem um grupo fundamental contável. Posteriormente, Sorin Popa mostrou que o grupo fundamental pode ser trivial para certos grupos, incluindo o produto semidireto de Z 2 por SL (2, Z ).

Um exemplo de um fator do tipo II 1 é a álgebra de grupo de von Neumann de um grupo discreto infinito contável de modo que toda classe de conjugação não trivial é infinita. McDuff (1969) encontrou uma família incontável de tais grupos com álgebras de grupo de von Neumann não isomórficas, mostrando assim a existência de muitos fatores diferentes separáveis ​​do tipo II 1 .

Fatores do tipo III

Por último, os fatores do tipo III são fatores que não contêm nenhuma projeção finita diferente de zero. Em seu primeiro artigo, Murray e von Neumann (1936) foram incapazes de decidir se eles existiam ou não; os primeiros exemplos foram encontrados mais tarde por von Neumann (1940) . Como o operador de identidade é sempre infinito nesses fatores, eles às vezes eram chamados de tipo III no passado, mas recentemente essa notação foi substituída pela notação III λ , onde λ é um número real no intervalo [0,1]. Mais precisamente, se o espectro de Connes (de seu grupo modular) é 1, então o fator é do tipo III 0 , se o espectro de Connes é todo potências integrais de λ para 0 <λ <1, então o tipo é III λ , e se o espectro de Connes é todo positivo em reais, então o tipo é III 1 . (O espectro de Connes é um subgrupo fechado dos reais positivos, então essas são as únicas possibilidades.) O único traço nos fatores do tipo III assume o valor ∞ em todos os elementos positivos diferentes de zero, e quaisquer duas projeções diferentes de zero são equivalentes. Ao mesmo tempo, os fatores do tipo III eram considerados objetos intratáveis, mas a teoria de Tomita-Takesaki levou a uma boa teoria da estrutura. Em particular, qualquer fator do tipo III pode ser escrito de forma canônica como o produto cruzado de um fator do tipo II e os números reais.

O pré-dual

Qualquer von Neumann álgebra M tem um predual M * , que é o espaço de Banach de todos os funcionais lineares ultraweakly contínuas em M . Como o nome sugere, M é (como um espaço de Banach) o dual de seu pré-dual. O predual é único no sentido de que qualquer outro espaço de Banach cujo dual seja M é canonicamente isomorfo a M . Sakai (1971) mostrou que a existência de um predual caracteriza as álgebras de von Neumann entre as álgebras C *.

A definição do predual dada acima parece depender da escolha do espaço de Hilbert no qual M atua, pois este determina a topologia ultrafaca. No entanto, o predual também pode ser definida sem utilizar o espaço de Hilbert que M actua sobre, definindo-o de ser o espaço gerado por todas positivas normais funcionais lineares em M . (Aqui, "normal" significa que ele preserva a suprema quando aplicado a redes crescentes de operadores auto-adjuntos; ou, de forma equivalente, a sequências crescentes de projeções.)

O pré-dual M é um subespaço fechado do dual M * (que consiste em todos os funcionais lineares normais contínuos em M ), mas geralmente é menor. A prova de que M (geralmente) não é o mesmo que M * não é construtiva e usa o axioma da escolha de uma maneira essencial; é muito difícil exibir elementos explícitos de M * que não estão em M . Por exemplo, formas lineares positivas exóticas na álgebra de von Neumann l ( Z ) são fornecidas por ultrafiltros livres ; que correspondem aos * -homomorphisms exóticos em C e descrever o compactificaç~ao pedra-Cech de Z .

Exemplos:

  1. O predual da álgebra de von Neumann L ( R ) de funções essencialmente limitadas em R é o espaço de Banach L 1 ( R ) de funções integráveis. O dual de L ( R ) é estritamente maior do que L 1 ( R ) Por exemplo, um funcional em L ( R ) que estende a medida de Dirac δ 0 no subespaço fechado de funções contínuas limitadas C 0 b ( R ) não pode ser representado como uma função em L 1 ( R ).
  2. O predual da álgebra de von Neumann B ( H ) de operadores limitados em um espaço de Hilbert H é o espaço de Banach de todos os operadores de classe de rastreamento com a norma de rastreamento || A || = Tr (| A |). O espaço de Banach dos operadores da classe de rastreamento é, ele mesmo, o dual da álgebra C * dos operadores compactos (que não é uma álgebra de von Neumann).

Pesos, estados e traços

Pesos e seus estados e traços de casos especiais são discutidos em detalhes em ( Takesaki 1979 ).

  • Um peso ω em uma álgebra de von Neumann é um mapa linear do conjunto de elementos positivos (aqueles da forma a * a ) até [0, ∞].
  • Um funcional linear positivo é um peso com ω (1) finito (ou melhor, a extensão de ω para toda a álgebra por linearidade).
  • Um estado é um peso com ω (1) = 1.
  • Um traço é um peso com ω ( aa * ) = ω ( a * a ) para todo a .
  • Um estado tracial é um traço com ω (1) = 1.

Qualquer fator tem um traço tal que o traço de uma projeção diferente de zero é diferente de zero e o traço de uma projeção é infinito se e somente se a projeção for infinita. Esse rastreamento é exclusivo até o reescalonamento. Para fatores separáveis ​​ou finitos, duas projeções são equivalentes se e somente se tiverem o mesmo traço. O tipo de um fator pode ser lido a partir dos valores possíveis deste traço sobre as projeções do fator, como segue:

  • Digite I n : 0, x , 2 x , ...., nx para algum x positivo (geralmente normalizado para ser 1 / n ou 1).
  • Digite I : 0, x , 2 x , ...., ∞ para algum x positivo (geralmente normalizado para ser 1).
  • Tipo II 1 : [0, x ] para algum x positivo (geralmente normalizado para ser 1).
  • Tipo II : [0, ∞].
  • Tipo III: {0, ∞}.

Se uma álgebra de von Neumann atua em um espaço de Hilbert contendo um vetor norma 1 v , então o funcional a → ( av , v ) é um estado normal. Esta construção pode ser revertida para dar uma ação em um espaço de Hilbert de um estado normal: esta é a construção GNS para estados normais.

Módulos sobre um fator

Dado um fator separável abstrato, pode-se pedir uma classificação de seus módulos, ou seja, os espaços de Hilbert separáveis ​​sobre os quais atua. A resposta é dada da seguinte forma: cada módulo H pode receber uma dimensão M de dimensão M ( H ) (não sua dimensão como um espaço vetorial complexo) de forma que os módulos sejam isomórficos se e somente se eles tiverem a mesma dimensão M. A dimensão M é aditiva, e um módulo é isomórfico a um subespaço de outro módulo se e somente se ele tiver dimensão M menor ou igual .

Um módulo é denominado padrão se tiver um vetor de separação cíclico. Cada fator tem uma representação padrão, que é única até o isomorfismo. A representação padrão tem uma involução antilinear J tal que JMJ = M ′ . Para fatores finitos, o módulo padrão é dado pela construção GNS aplicada ao estado tracial normal único e a dimensão M é normalizada de modo que o módulo padrão tenha dimensão M 1, enquanto para fatores infinitos o módulo padrão é o módulo com M - dimensão igual a ∞.

As possíveis dimensões M dos módulos são fornecidas da seguinte forma:

  • Tipo I n ( n finito): A dimensão M pode ser qualquer de 0 / n , 1 / n , 2 / n , 3 / n , ..., ∞. O módulo padrão tem dimensão M 1 (e dimensão complexa n 2 ).
  • Tipo I A dimensão M pode ser qualquer um de 0, 1, 2, 3, ..., ∞. A representação padrão de B ( H ) é HH ; sua dimensão M é ∞.
  • Tipo II 1 : A dimensão M pode ser qualquer coisa em [0, ∞]. Ele é normalizada de modo a que o módulo padrão tem H -Dimension 1. O H -Dimension também é chamada de constante de acoplamento do módulo H .
  • Tipo II : A dimensão M pode ser qualquer coisa em [0, ∞]. Em geral, não existe uma maneira canônica de normalizá-lo; o fator pode ter automorfismos externos multiplicando a dimensão M por constantes. A representação padrão é aquela com dimensão M ∞.
  • Tipo III: A dimensão M pode ser 0 ou ∞. Quaisquer dois módulos diferentes de zero são isomórficos e todos os módulos diferentes de zero são padrão.

Álgebras de von Neumann amenizáveis

Connes (1976) e outros provaram que as seguintes condições em uma álgebra de von Neumann M em um espaço de Hilbert separável H são todas equivalentes :

  • M é hiperfinito ou AFD ou dimensão aproximadamente finita ou aproximadamente finita : isso significa que a álgebra contém uma sequência ascendente de subálgebras de dimensão finita com união densa. (Aviso: alguns autores usam "hiperfinito" para significar "AFD e finito".)
  • M é receptivo : isso significa que as derivações de M com valores em um bimódulo de Banach dual normal são todas internas.
  • M tem de Schwartz propriedade P : para qualquer operador delimitada T em H o operador fraco fechado casco convexo dos elementos Utu * contém um elemento pendulares com M .
  • M é semidiscreto : isso significa que o mapa de identidade de M a M é um limite ponto-a-ponto fraco de mapas completamente positivos de classificação finita.
  • M tem a propriedade E ou a propriedade de extensão Hakeda – Tomiyama : isso significa que há uma projeção da norma 1 de operadores limitados em H para M '.
  • M é injetivo : qualquer mapa linear completamente positivo a partir de qualquer subespaço fechado auto adjunta contendo 1 de qualquer unital C * -álgebra Um a M pode ser estendida a um mapa completamente positivo de um a M .

Não há um termo geralmente aceito para a classe de álgebras acima; Connes sugeriu que amenizável deve ser o termo padrão.

Os fatores amenizáveis ​​foram classificados: há um único de cada um dos tipos I n , I , II 1 , II , III λ , para 0 <λ ≤ 1, e os do tipo III 0 correspondem a certos ergódicos fluxos. (Para o tipo III 0 chamar isso de classificação é um pouco enganoso, pois sabe-se que não há uma maneira fácil de classificar os fluxos ergódicos correspondentes.) Os do tipo I e II 1 foram classificados por Murray & von Neumann (1943) , e os demais foram classificados por Connes (1976) , exceto o caso tipo III 1 que foi concluído por Haagerup.

Todos os fatores receptivos podem ser construídos usando a construção de espaço de medida de grupo de Murray e von Neumann para uma única transformação ergódica . Na verdade, eles são precisamente os fatores que surgem como produtos cruzados por ações ergódicas livres de Z ou Z / nZ nas álgebras abelianas de von Neumann L ( X ). Os fatores do tipo I ocorrem quando o espaço de medida X é atômico e a ação transitiva. Quando X é difuso ou não atômico , é equivalente a [0,1] como um espaço de medida . Tipo II factores ocorrer quando X admite um equivalente finito (II 1 ) ou infinito (II ) medida, invariante por uma acção de Z . Os fatores do tipo III ocorrem nos casos restantes onde não há medida invariante, mas apenas uma classe de medida invariável : esses fatores são chamados de fatores de Krieger .

Produtos tensores de álgebras de von Neumann

O produto tensorial espacial de Hilbert de dois espaços de Hilbert é a conclusão de seu produto tensorial algébrico. Pode-se definir um produto tensorial das álgebras de von Neumann (uma conclusão do produto tensorial algébrico das álgebras consideradas como anéis), que é novamente uma álgebra de von Neumann, e agir sobre o produto tensorial dos espaços de Hilbert correspondentes. O produto tensorial de duas álgebras finitas é finito, e o produto tensorial de uma álgebra infinita e uma álgebra diferente de zero é infinito. O tipo do produto tensorial de duas álgebras de von Neumann (I, II ou III) é o máximo de seus tipos. O teorema da comutação para produtos tensores afirma que

onde M 'indica o commutant de M .

O produto tensorial de um número infinito de álgebras de von Neumann, se feito ingenuamente, é geralmente uma álgebra inseparável ridiculamente grande. Em vez disso, von Neumann (1938) mostrou que se deve escolher um estado em cada uma das álgebras de von Neumann, usar isso para definir um estado no produto tensorial algébrico, que pode ser usado para produzir um espaço de Hilbert e um (razoavelmente pequeno) von Neumann álgebra. Araki & Woods (1968) estudaram o caso em que todos os fatores são álgebras de matriz finita; esses fatores são chamados de fatores de Araki-Woods ou fatores ITPFI (ITPFI significa "produto tensorial infinito de fatores finitos do tipo I"). O tipo do produto tensor infinito pode variar dramaticamente conforme os estados são alterados; por exemplo, o produto tensorial infinito de um número infinito de fatores do tipo I 2 pode ter qualquer tipo, dependendo da escolha dos estados. Em particular, Powers (1967) encontrou uma família incontável de fatores λ hiperfinitos não isomórficos do tipo III para 0 <λ <1, chamados de fatores de Potências , tomando um produto tensorial infinito de fatores do tipo I 2 , cada um com o estado dado por:

Todas as álgebras de von Neumann hiperfinidas não do tipo III 0 são isomórficas aos fatores de Araki-Woods, mas há incontáveis ​​muitas do tipo III 0 que não são.

Bimódulos e subfatores

Um bimódulo (ou correspondência) é um espaço H de Hilbert com ações modulares de duas álgebras de von Neumann comutantes. Os bimódulos têm uma estrutura muito mais rica do que a dos módulos. Qualquer bimódulo sobre dois fatores sempre dá um subfator, pois um dos fatores está sempre contido no comutante do outro. Há também uma operação sutil do produto tensor relativo devido a Connes nos bimódulos. A teoria dos subfatores, iniciada por Vaughan Jones , reconcilia esses dois pontos de vista aparentemente diferentes.

Os bimódulos também são importantes para a álgebra de grupo de von Neumann M de um grupo discreto Γ. Com efeito, se V é qualquer representação unitária de Γ, em seguida, sobre Γ como o subgrupo diagonal de Γ × Γ, a correspondente representação induzida em l 2 (Γ, V ) é naturalmente uma bimodule por duas cópias de comutação M . Importantes propriedades teóricas de representação de Γ podem ser formuladas inteiramente em termos de bimódulos e, portanto, fazem sentido para a própria álgebra de von Neumann. Por exemplo, Connes e Jones deram uma definição de um análogo da propriedade de Kazhdan (T) para álgebras de von Neumann desta forma.

Fatores não amenizáveis

As álgebras de Von Neumann do tipo I são sempre receptivas, mas para os outros tipos há um número incontável de diferentes fatores não receptivos, que parecem muito difíceis de classificar, ou mesmo distinguir uns dos outros. No entanto, Voiculescu mostrou que a classe de fatores não amáveis ​​provenientes da construção do espaço de medida de grupo é disjunta da classe proveniente das álgebras de grupos de von Neumann de grupos livres. Mais tarde, Narutaka Ozawa provou que as álgebras de grupo de von Neumann de grupos hiperbólicos produzem fatores primos do tipo II 1 , ou seja, aqueles que não podem ser fatorados como produtos tensores de fatores do tipo II 1 , um resultado primeiro provado por Leeming Ge para fatores de grupo livre usando a entropia livre de Voiculescu . O trabalho de Popa sobre grupos fundamentais de fatores não receptivos representa outro avanço significativo. A teoria dos fatores "além do hiperfinito" está se expandindo rapidamente no momento, com muitos resultados novos e surpreendentes; tem ligações estreitas com fenômenos de rigidez na teoria geométrica dos grupos e na teoria ergódica .

Exemplos

  • As funções essencialmente limitadas em um espaço de medida σ-finito formam uma álgebra de von Neumann comutativa (tipo I 1 ) agindo nas funções L 2 . Para certos espaços de medida não σ-finitos, geralmente considerados patológicos , L ( X ) não é uma álgebra de von Neumann; por exemplo, a σ-álgebra de conjuntos mensuráveis ​​pode ser a álgebra contável-co-contável em um conjunto incontável. Um teorema de aproximação fundamental pode ser representado pelo teorema da densidade de Kaplansky .
  • Os operadores limitados em qualquer espaço de Hilbert formam uma álgebra de von Neumann, na verdade um fator, do tipo I.
  • Se tivermos qualquer representação unitária de um grupo L de um espaço de Hilbert H , em seguida, os operadores limitados pendulares com L formar uma álgebra de Von Neumann L ', cujas projecções correspondem exactamente às subespaços fechados de H invariante sob G . Sub-representações equivalentes correspondem a projeções equivalentes em G ′. O duplo comutante G ′ ′ de G também é uma álgebra de von Neumann.
  • A álgebra de grupo de von Neumann de um grupo discreto G é a álgebra de todos os operadores limitados em H = l 2 ( G ) comutando com a ação de G em H através da multiplicação à direita. Pode-se mostrar que esta é a álgebra de Von Neumann gerado pelos operadores correspondentes a multiplicação, pela esquerda, um elemento gL . É um fator (do tipo II 1 ) se cada classe de conjugação não trivial de G for infinita (por exemplo, um grupo livre não abeliano), e é o fator hiperfinito do tipo II 1 se, além disso, G for uma união de subgrupos finitos (por exemplo, o grupo de todas as permutações dos inteiros fixando tudo, exceto um número finito de elementos).
  • O produto tensorial de duas álgebras de von Neumann, ou de um número contável com estados, é uma álgebra de von Neumann conforme descrito na seção acima.
  • O produto cruzado de uma álgebra de von Neumann por um grupo discreto (ou mais geralmente localmente compacto) pode ser definido, e é uma álgebra de von Neumann. Casos especiais são a construção espacial de medida de grupo de fatores de Murray e von Neumann e Krieger .
  • As álgebras de von Neumann de uma relação de equivalência mensurável e um grupóide mensurável podem ser definidas. Esses exemplos generalizam as álgebras de grupo de von Neumann e a construção espacial de medida de grupo.

Formulários

As álgebras de Von Neumann encontraram aplicações em diversas áreas da matemática, como teoria do nó , mecânica estatística , teoria quântica de campos , física quântica local , probabilidade livre , geometria não comutativa , teoria da representação , geometria e probabilidade .

Por exemplo, C * -álgebra fornece uma axiomatização alternativa à teoria da probabilidade. Neste caso, o método atende pelo nome de construção Gelfand – Naimark – Segal . Isso é análogo às duas abordagens de medida e integração, onde se tem a opção de construir medidas de conjuntos primeiro e definir integrais depois, ou construir integrais primeiro e definir medidas de conjunto como integrais de funções características.

Veja também

Referências

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