Teorema do bicomutante de Von Neumann - Von Neumann bicommutant theorem

Em matemática , especificamente na análise funcional , o teorema do bicomutante de von Neumann relaciona o fechamento de um conjunto de operadores limitados em um espaço de Hilbert em certas topologias ao bicomutante desse conjunto. Em essência, é uma conexão entre os lados algébrico e topológico da teoria dos operadores .

A declaração formal do teorema é a seguinte:

Teorema do bicommutante de Von Neumann. Seja

M

uma álgebra que consiste em operadores limitados em um espaço de Hilbert

H

, contendo o operador de identidade, e fechado sob adjuntos . Em seguida, os fechamentos de

M

na topologia de operador fraco eo forte topologia operador são iguais, e por sua vez são iguais aos bicommutant

M''

de

M

.

Esta álgebra é chamado de álgebra von Neumann gerada por $M$ .

Existem várias outras topologias no espaço de operadores limitados, e pode-se perguntar quais são as * -álgebras fechadas nessas topologias. Se $M$ for fechado na topologia normal, então é uma álgebra C * , mas não necessariamente uma álgebra de von Neumann. Um exemplo é a álgebra C * de operadores compactos (em um espaço de Hilbert de dimensão infinita). Para a maioria das outras topologias comuns, as álgebras * fechadas contendo 1 são álgebras de von Neumann; isto se aplica em particular ao operador fraco, operador forte, operador * -forte , topologias ultrafraças , ultra fortes e * ultra fortes.

Está relacionado ao teorema da densidade de Jacobson .

Prova

Deixe- $H$ ser um espaço de Hilbert e $G (H)$ dos operadores delimitada $H$ . Considere uma subálgebra unital auto-adjunta $M$ de $L (H)$ (isso significa que $M$ contém os adjuntos de seus membros e o operador de identidade em $H$ ).

O teorema é equivalente à combinação das três seguintes afirmações:

(i)

cl W (M) \subseteq M' '

(ii)

cl S (M) \subseteq cl W (M)

(iii)

M' ' \subseteq cl S (M)

onde os subscritos $W$ e $S$ representam fechamentos nas topologias de operador fraco e forte , respectivamente.

Prova de (i)

Por definição da topologia do operador fraco, para qualquer $x$ e $y$ em $H$ , o mapa T → < Tx , y > é contínuo nesta topologia. Portanto, para qualquer operador $O$ (e substituindo uma vez $y \to O * y$ e uma vez $x \to Ox$ ), o mapa também

{\ displaystyle T \ to \ langle Tx, O ^ {*} y \ rangle - \ langle TOx, y \ rangle = \ langle OTx, y \ rangle - \ langle TOx, y \ rangle.}

Seja S qualquer subconjunto de $L (H)$ , e S ′ seu comutante . Para qualquer operador $T$ não em S ', < OTX , y > - < Tox , y > é diferente de zero para alguns ó em S e alguns x e y em $H$ . Pela continuidade do mapeamento acima mencionado, existe uma vizinhança aberta de $T$ na topologia do operador fraco para a qual este é diferente de zero, portanto esta vizinhança aberta também não está em S ′. Assim, S ′ é fechado no operador fraco, ou seja, S ′ é fechado fracamente . Assim, todo comutante é fracamente fechado, assim como $M' '$ ; uma vez que contém $M$ , também contém seu fechamento fraco.

Prova de (ii)

Isso decorre diretamente da topologia do operador fraco ser mais grosseira do que a topologia do operador forte: para cada ponto $x$ em $cl S (M)$ , cada vizinhança aberta de $x$ na topologia do operador fraco também é aberta na topologia do operador forte e, portanto, contém um membro de $M$ ; portanto, $x$ também é membro de $cl W (M)$ .

Prova de (iii)

Corrija $X \in M' '$ . Mostraremos $X \in cl S (M)$ .

Corrija uma vizinhança aberta $U$ de $X$ na topologia de operador forte. Por definição da topologia de operador forte, U contém uma interseção finita U ( h ₁ , ε ₁ ) ∩ ... ∩ U ( h _n , ε _n ) de conjuntos abertos sub-básicos da forma U ( h , ε) = { O ∈ L ( H ): || Oh - Xh || <ε}, onde h está em H e ε> 0.

Fix h em $H$ . Considere o fecho $Cl (M h)$ de $M h = {Mh : M \in H$ } com respeito à norma de H e equipado com o produto interno de H . É um espaço de Hilbert (sendo um subespaço fechado de um espaço de Hilbert $H$ ), e por isso tem uma correspondente projecção ortogonal que denotam $P$ . $P$ é limitado, então está em $L (H)$ . Em seguida, provamos:

Lema.

P \in M'

.

Prova. Fix

x \in H

. Então

Px \in cl (M h)

, então é o limite de uma sequência

O n h

com

O n

em

M

para todo

n

. Então, para todo

T \in M

,

TO n h

também está em

M h

e, portanto, seu limite está em

cl (M h)

. Por continuidade de

T

(uma vez que é em

L (H)

e, portanto, contínuo de Lipschitz ), esse limite é

TPx

. Como

TPx \in cl (M h)

, PTPx = TPx . Disto se segue que PTP = TP para todos

T

em

M

.

Usando o fechamento de

M

sob o adjunto, temos ainda, para cada

T

em

M

e todos os

x, y \in H

:

{\ displaystyle \ langle x, TPy \ rangle = \ langle x, PTPy \ rangle = \ langle Px, TPy \ rangle = \ langle T ^ {*} Px, Py \ rangle = \ langle PT ^ {*} Px, y \ rangle = \ langle T ^ {*} Px, y \ rangle = \ langle Px, Ty \ rangle = \ langle x, PTy \ rangle}

assim, TP = PT e P está em

M'

.

Por definição do bicomutante XP = PX . Como $M$ é unital, $h \in M h$ , logo $Xh = XPh = PXh \in cl (M h)$ . Assim, para todo $ε > 0$ , existe T em $M$ com $|| Xh - Th || < ε$ . Então T está em U ( h , ε).

Assim, em cada vizinhança aberta $L$ de $X$ na topologia forte operador existe um membro de $H$ , e assim por $X$ está na forte fecho topologia operador de $M$ .

Caso não unital

AC * -álgebra $M$ agindo em H é considerada não degenerada se para h em $H$ , $M h = {0}$ implica $h = 0$ . Neste caso, pode ser mostrado usando uma identidade de aproximadamente em $M$ que o operador identidade I situa-se no fecho forte de $M$ . Portanto, a conclusão do teorema bicommutant vale para $M$ .

Referências

WB Arveson, An Invitation to C * -algebras , Springer, New York, 1976.

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