Conjectura de Von Neumann - Von Neumann conjecture

Em matemática , a conjectura de von Neumann afirmava que um grupo G não é tolerável se e somente se G contém um subgrupo que é um grupo livre em dois geradores . A conjectura foi refutada em 1980.

Em 1929, durante seu trabalho sobre o paradoxo de Banach-Tarski , John von Neumann definiu o conceito de grupos receptivos e mostrou que nenhum grupo receptivo contém um subgrupo livre de classificação 2. A sugestão de que o inverso pode ser válido, isto é, que todo não -amenable group contém um subgrupo livre em dois geradores, feito por vários autores diferentes nas décadas de 1950 e 1960. Embora o nome de von Neumann seja popularmente ligado à conjectura, sua primeira aparição escrita parece ser devido ao Mahlon Marsh Day em 1957.

A alternativa de Tits é um teorema fundamental que, em particular, estabelece a conjectura dentro da classe dos grupos lineares .

O primeiro contra-exemplo potencial historicamente é o grupo F de Thompson . Embora sua amenização seja um problema aberto, a conjectura geral foi mostrada como falsa em 1980 por Alexander Ol'shanskii ; ele demonstrou que os grupos de monstros Tarski , construídos por ele, que são facilmente vistos como não tendo subgrupos livres de nível 2, não são receptivos. Dois anos depois, Sergei Adian mostrou que certos grupos de Burnside também são contra-exemplos . Nenhum desses contra-exemplos é finitamente apresentado e, por alguns anos, foi considerado possível que a conjectura fosse válida para grupos finitamente apresentados. No entanto, em 2003, Alexander Ol'shanskii e Mark Sapir exibiram uma coleção de grupos finitamente apresentados que não satisfazem a conjectura.

Em 2013, Nicolas Monod encontrou um contra-exemplo fácil para a conjectura. Dado por homeomorfismos projetivos por partes da linha, o grupo é notavelmente simples de entender. Mesmo que não seja tolerável, ele compartilha muitas propriedades conhecidas de grupos receptivos de uma maneira direta. Em 2013, Yash Lodha e Justin Tatch Moore isolaram um subgrupo não passível de apresentação finita do grupo de Monod. Isso fornece o primeiro contra-exemplo finitamente apresentado sem torção e admite uma apresentação com 3 geradores e 9 relações. Lodha posteriormente mostrou que esse grupo satisfaz a propriedade , que é uma propriedade de finitude mais forte.

Referências

  • Adian, Sergei (1982), "Random walk on free periodic groups", Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Esteira. (em russo), 46 (6): 1139–1149, 1343, Zbl  0512.60012
  • Day, Mahlon M. (1957), "Amenable semigroups", Ill. J. Math. , 1 : 509–544, Zbl  0078.29402
  • Ol'shanskii, Alexander (1980), "Sobre a questão da existência de uma média invariante em um grupo", Uspekhi Mat. Nauk (em russo), 35 (4): 199–200, Zbl  0452.20032
  • Ol'shanskii, Alexander; Sapir, Mark (2003), "Non-amenable finitely apresentadas torsion-by-cyclic groups", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 96 (1): 43–169, arXiv : math / 0208237 , doi : 10.1007 / s10240-002 -0006-7 , S2CID  122990460 , Zbl  1050.20019
  • Monod, Nicolas (2013), "Groups of piecewise projetive homeomorphisms", Proceedings of the National Academy of Sciences dos Estados Unidos da América , 110 (12): 4524–4527, arXiv : 1209.5229 , Bibcode : 2013PNAS..110.4524M , doi : 10.1073 / pnas.1218426110 , Zbl  1305.57002
  • Lodha, Yash; Moore, Justin Tatch (2016), "A nonamenable finitely apresentado group of piecewise projetive homeomorphisms", Groups, Geometry, and Dynamics , 10 (1): 177–200, arXiv : 1308.4250v3 , doi : 10.4171 / GGD / 347 , MR  3460335
  • Lodha, Yash (2020), "A nonamenable type group of piecewise projective homeomorphisms", Journal of Topology , 13 (4): 1767-1838, doi : 10.1112 / topo.12172 , S2CID 228915338