Anel regular de Von Neumann - Von Neumann regular ring

Em matemática , um anel regular de von Neumann é um anel R (associativo, com 1, não necessariamente comutativo) tal que para cada elemento a em R existe um x em R com a = axa . Pode-se pensar em x como um "inverso fraco" do elemento a; em geral, x não é determinado exclusivamente por a . Os anéis regulares de Von Neumann também são chamados de anéis absolutamente planos , porque esses anéis são caracterizados pelo fato de que todo módulo R esquerdo é plano .

Os anéis regulares de Von Neumann foram introduzidos por von Neumann  ( 1936 ) sob o nome de "anéis regulares", no curso de seu estudo de álgebras de von Neumann e geometria contínua . Os anéis regulares de Von Neumann não devem ser confundidos com os anéis regulares não relacionados e os anéis locais regulares da álgebra comutativa .

Um elemento a de um anel é chamado de elemento regular de von Neumann se existe um x tal que a = axa . Um ideal é chamado de (von Neumann) ideal regulares se para cada elemento um em que existe um elemento x em tal que a = axa .

Exemplos

Cada campo (e cada campo de inclinação ) é von Neumann regular: para a ≠ 0 podemos tomar x = a −1 . Um domínio integral é von Neumann regular se e somente se for um campo. Todo produto direto dos anéis regulares de von Neumann é novamente regular de von Neumann.

Outra classe importante de exemplos de anéis regulares von Neumann são os anéis M n ( K ) de n -by- n matrizes quadradas com entradas de alguns campo K . Se r é o posto de A ∈ M n ( K ) , a eliminação gaussiana dá matrizes invertíveis U e V tais que

(onde I r é o r -by- r matriz de identidade ). Se definirmos X = V −1 U −1 , então

Mais geralmente, o anel da matriz nxn sobre qualquer anel regular de von Neumann é novamente regular de von Neumann.

Se V é um espaço vetorial sobre um campo (ou campo oblíquo ) K , então o anel de endormorfismo End K ( V ) é regular de von Neumann, mesmo se V não tiver dimensão finita.

O anel de operadores afiliados de uma álgebra de von Neumann finita é von Neumann regular.

Um anel booleano é um anel em que cada elemento satisfaz a 2 = a . Todo anel booleano é von Neumann regular.

Fatos

As seguintes declarações são equivalentes para o anel R :

As instruções correspondentes para os módulos corretos também são equivalentes a R sendo von Neumann regular.

Em um anel regular comutativo de von Neumann, para cada elemento x há um único elemento y tal que xyx = x e yxy = y , então há uma maneira canônica de escolher o "inverso fraco" de x . As seguintes afirmações são equivalentes para o anel comutativo R :

Além disso, os seguintes são equivalentes: para um anel comutativo A

Generalizando o exemplo acima, suponha que S é algum anel e M é um módulo S tal que cada submódulo de M é um somatório direto de M (tais módulos M são chamados de semi-simples ). Então, o anel de endomorfismo End S ( M ) é von Neumann regular. Em particular, todo anel semisimples é von Neumann regular. De fato, os anéis semisimples são precisamente os noetherianos anéis regulares von Neumann.

Cada anel regular de von Neumann tem radical Jacobson {0} e, portanto, é semiprimitivo (também chamado de "Jacobson semi-simples").

Generalizações e especializações

Tipos especiais de anéis regulares de von Neumann incluem anéis regulares de unidade e anéis regulares de von Neumann fortemente e anéis de rank .

Um anel R é chamado de unidade regular se para cada a em R , houver uma unidade u em R tal que a = aua . Cada anel semi-simples é unitário regular, e os anéis unitários regulares são anéis diretamente finitos . Um anel regular de von Neumann comum não precisa ser diretamente finito.

Um anel R é chamado fortemente de von Neumann regular se para cada a em R , houver algum x em R com a = aax . A condição é simétrica esquerda-direita. Anéis regulares fortemente von Neumann são unidades regulares. Todo anel regular fortemente von Neumann é um produto subdireto dos anéis de divisão . Em certo sentido, isso imita mais de perto as propriedades dos anéis regulares comutativos de von Neumann, que são subprodutos de campos. É claro que, para anéis comutativos, von Neumann regular e fortemente von Neumann regular são equivalentes. Em geral, os seguintes são equivalentes para um anel R :

  • R é fortemente von Neumann regular
  • R é von Neumann regular e reduzido
  • R é von Neumann regular e todo idempotente em R é central
  • Todo ideal de esquerda principal de R é gerado por um idempotente central

Generalizações de anéis regulares von Neumann incluem pi anéis -Regular, Esquerda / Direita anéis semihereditary , esquerda / direita anéis não singulares e anéis semiprimitive .

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional