Universo Von Neumann - Von Neumann universe

Na teoria dos conjuntos e ramos relacionados da matemática , o universo de von Neumann , ou hierarquia de conjuntos de von Neumann , denotada por V , é a classe de conjuntos hereditários bem fundados . Esta coleção, que é formalizada pela teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel (ZFC), é freqüentemente usada para fornecer uma interpretação ou motivação dos axiomas de ZFC. O conceito tem o nome de John von Neumann , embora tenha sido publicado pela primeira vez por Ernst Zermelo em 1930.

A classificação de um conjunto bem fundamentado é definida indutivamente como o menor número ordinal maior que as classificações de todos os membros do conjunto. Em particular, a classificação do conjunto vazio é zero e cada ordinal tem uma classificação igual a si mesmo. Os conjuntos em V são divididos na hierarquia transfinita V _α  , chamada de hierarquia cumulativa , com base em sua classificação.

Definição

A hierarquia cumulativa é uma coleção de conjuntos V _α indexados pela classe de números ordinais ; em particular, V _α é o conjunto de todos os conjuntos com classificações inferiores a α. Assim, existe um conjunto V _α para cada número ordinal α. V _α pode ser definido por recursão transfinita da seguinte forma:

• Seja V ₀ o conjunto vazio :

  ${\ displaystyle V_ {0}: = \ varnothing.}$

• Para qualquer número ordinal β, seja V _{β + 1} o conjunto de potência de V _β :

  ${\ displaystyle V _ {\ beta +1}: = {\ mathcal {P}} (V _ {\ beta}).}$

• Para qualquer limite ordinal λ, seja V _λ a união de todos os estágios V até agora:

  ${\ displaystyle V _ {\ lambda}: = \ bigcup _ {\ beta <\ lambda} V _ {\ beta}.}$

Um fato crucial sobre essa definição é que existe uma única fórmula φ (α, x ) na linguagem de ZFC que define "o conjunto x está em V _α ".

Os conjuntos V _α são chamados de estágios ou postos .

Um segmento inicial do universo de von Neumann. A multiplicação ordinal é revertida de nossa convenção usual; veja aritmética ordinal .

A classe V é definida para ser a união de todos os estágios V :

${\ displaystyle V: = \ bigcup _ {\ alpha} V _ {\ alpha}.}$

Um conjunto de definições equivalente

${\ displaystyle V _ {\ alpha}: = \ bigcup _ {\ beta <\ alpha} {\ mathcal {P}} (V _ {\ beta})}$

para cada ordinal α, onde é o conjunto de poderes de . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X) \!}$${\ displaystyle X}$

A classificação de um conjunto S é o menor α, de modo que Outra maneira de calcular a classificação é: ${\ displaystyle S \ subseteq V _ {\ alpha} \,}$

${\ displaystyle \ operatorname {rank} (S) = \ bigcup \ {\ operatorname {rank} (z) +1 \ mid z \ in S \}}$.

Estágios finitos e de baixa cardinalidade da hierarquia

Os primeiros cinco estágios de von Neumann V ₀ a V ₄ podem ser visualizados como segue. (Uma caixa vazia representa o conjunto vazio. Uma caixa contendo apenas uma caixa vazia representa o conjunto contendo apenas o conjunto vazio e assim por diante.)

Esta sequência exibe crescimento tetracional . O conjunto V ₅ contém 2 ¹⁶ = 65536 elementos; o conjunto V ₆ contém 2 ⁶⁵⁵³⁶ elementos, o que excede substancialmente o número de átomos no universo conhecido ; e para qualquer n natural , o conjunto V _{n + 1} contém 2 ↑↑ n elementos usando a notação de seta para cima de Knuth . Portanto, os estágios finitos da hierarquia cumulativa não podem ser escritos explicitamente após o estágio 5. O conjunto V _ω tem a mesma cardinalidade que ω. O conjunto V _{ω + 1} possui a mesma cardinalidade do conjunto de números reais.

Aplicações e interpretações

Aplicações de V como modelos para teorias de conjuntos

Se ω é o conjunto dos números naturais , então V _ω é o conjunto dos conjuntos hereditariamente finitos , que é um modelo da teoria dos conjuntos sem o axioma do infinito .

V _{ω + ω} é o universo da "matemática comum" e é um modelo da teoria dos conjuntos de Zermelo . Um argumento simples a favor da adequação de V _{ω + ω} é a observação de que V _{ω + 1} é adequado para os inteiros, enquanto V _{ω + 2} é adequado para os números reais, e a maioria das outras matemáticas normais podem ser construídas como relações de vários tipos desses conjuntos sem a necessidade do axioma de substituição para sair de V _{ω + ω} .

Se κ é um cardeal inacessível , então V _κ é um modelo da própria teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel (ZFC), e V _{κ + 1} é um modelo da teoria dos conjuntos de Morse – Kelley . (Observe que cada modelo ZFC também é um modelo ZF, e cada modelo ZF também é um modelo Z).

Interpretação de V como o "conjunto de todos os conjuntos"

V não é "o conjunto de todos os conjuntos " por duas razões. Primeiro, não é um conjunto; embora cada estágio individual V _α seja um conjunto, sua união V é uma classe própria . Em segundo lugar, os conjuntos em V são apenas os conjuntos bem fundamentados. O axioma da fundação (ou regularidade) exige que cada conjunto ser bem fundada e, portanto, em V , e, assim, em ZFE cada conjunto é em V . Mas outros sistemas de axiomas podem omitir o axioma da fundação ou substituí-lo por uma negação forte (um exemplo é o axioma anti-fundação de Aczel ). Essas teorias de conjuntos não bem fundamentadas não são comumente empregadas, mas ainda são possíveis de estudar.

Uma terceira objeção à interpretação do "conjunto de todos os conjuntos" é que nem todos os conjuntos são necessariamente "conjuntos puros", que são construídos a partir do conjunto vazio usando conjuntos de poder e uniões. Zermelo propôs em 1908 a inclusão de urelementos , a partir dos quais ele construiu uma hierarquia recursiva transfinita em 1930. Esses urelementos são usados ​​extensivamente na teoria de modelos , particularmente em modelos de Fraenkel-Mostowski.

V e o axioma de regularidade

A fórmula V = ⋃ _α V _α é freqüentemente considerada um teorema, não uma definição. Roitman afirma (sem referências) que a compreensão de que o axioma da regularidade é equivalente à igualdade do universo dos conjuntos ZF com a hierarquia cumulativa se deve a von Neumann.

O status existencial de V

Visto que a classe V pode ser considerada a arena para a maior parte da matemática, é importante estabelecer que ela "existe" em algum sentido. Visto que existência é um conceito difícil, normalmente se substitui a questão da existência pela questão da consistência, isto é, se o conceito é livre de contradições. Um grande obstáculo é colocado pelos teoremas da incompletude de Gödel , que efetivamente implicam na impossibilidade de provar a consistência da teoria dos conjuntos ZF na própria teoria dos conjuntos ZF, desde que seja de fato consistente.

A integridade do universo de von Neumann depende fundamentalmente da integridade dos números ordinais , que atuam como o parâmetro de classificação na construção, e da integridade da indução transfinita , pela qual tanto os números ordinais quanto o universo de von Neumann são construídos. Pode-se dizer que a integridade da construção do número ordinal repousa sobre os papéis de von Neumann de 1923 e 1928. Pode-se dizer que a integridade da construção de V por indução transfinita foi estabelecida no artigo de 1930 de Zermelo.

História

A hierarquia de tipos cumulativos, também conhecida como universo de von Neumann, é reivindicada por Gregory H. Moore (1982) como imprecisamente atribuída a von Neumann . A primeira publicação do universo de von Neumann foi de Ernst Zermelo em 1930.

A existência e exclusividade da definição geral transfinita recursiva de conjuntos foi demonstrada em 1928 por von Neumann para a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel e a própria teoria dos conjuntos de Neumann (que mais tarde se desenvolveu na teoria dos conjuntos NBG ). Em nenhum desses artigos ele aplicou seu método recursivo transfinito para construir o universo de todos os conjuntos. As apresentações do universo de von Neumann por Bernays e Mendelson dão crédito a von Neumann pelo método de construção por indução transfinita, embora não por sua aplicação à construção do universo de conjuntos comuns.

A notação V não é uma homenagem ao nome de von Neumann. Foi usada para o universo de conjuntos em 1889 por Peano, a letra V significando "Verum", que ele usou tanto como um símbolo lógico quanto para denotar a classe de todos os indivíduos. A notação V de Peano foi adotada também por Whitehead e Russell para a classe de todos os conjuntos em 1910. A notação V (para a classe de todos os conjuntos) não foi usada por von Neumann em seus artigos da década de 1920 sobre números ordinais e indução transfinita. Paul Cohen atribui explicitamente seu uso da letra V (para a classe de todos os conjuntos) a um artigo de 1940 de Gödel, embora Gödel provavelmente tenha obtido a notação de fontes anteriores, como Whitehead e Russell.

Perspectivas filosóficas

Existem duas abordagens para entender a relação do universo de von Neumann V com ZFC (junto com muitas variações de cada abordagem e sombras entre elas). Grosso modo, os formalistas tenderão a ver V como algo que flui dos axiomas ZFC (por exemplo, ZFC prova que todo conjunto está em V). Por outro lado, os realistas são mais propensos a ver a hierarquia de von Neumann como algo diretamente acessível à intuição, e os axiomas de ZFC como proposições para cuja verdade em V podemos dar argumentos intuitivos diretos em linguagem natural. Uma possível posição intermediária é que a imagem mental da hierarquia de von Neumann fornece aos axiomas ZFC uma motivação (de modo que eles não sejam arbitrários), mas não necessariamente descreve objetos com existência real.

Veja também

Notas

Referências

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